2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市长宁区延安中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数在区间，上的平均变化率为．2．设函数在处切线斜率为2，则．3．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是．4．已知事件与相互独立，假设（A），，则（B）．5．若，则正整数的值为．6．．7．若，则正整数的值为．8．若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为．9．若动直线与函数，的图象分别交于点，，当，两点距离最近时，的值为．10．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军．假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为．11．已知函数，则不等式的解集为．12．设集合，，，，，0，，，2，3，4，，那么集合中满足条件“”的元素个数为．二、选择题（每小题4分，共16分）13．“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．设集合，2，3，，、，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有（）A．6个 B．8个 C．12个 D．16个15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）A．36 B．64 C．72 D．8116．有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止．假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（）A．8 B．144 C．120 D．280三、解答题（共48分）17．已知是函数的一个极值点．（1）求的单调区间；（2）求在区间，上的最小值．18．某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人；（1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？（2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求的值及的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．20．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．21．在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量．例如，用表示赢，表示输，当，，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，，游程的长度依次为2，2，3，1，1，3，4，向量．（1）已知，写出对应的输赢序列；（2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；（3）若篮球队有6次赢，4次输，求具有7个游程的概率．

参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1．函数在区间，上的平均变化率为6．解：（3），（1）该函数在区间，上的平均变化率为；故答案为：62．设函数在处切线斜率为2，则．解：函数在处切线斜率为2，（1），（1），故答案为：．3．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是16．解：当两位数不含0时，有种；当这个两位数含有0时，只有4种情况，总的个数为．故答案为：16．4．已知事件与相互独立，假设（A），，则（B）0.4．解：事件与相互独立，则（A）（B），又（A），，故．故答案为：0.4．5．若，则正整数的值为7．解：由，可得，且，即，解得．故答案为：7．6．744．解：根据排列数公式的性质得，解得，．故答案为：744．7．若，则正整数的值为1或4．解：因为，所以，可化为，所以或，解得或，因此正整数的值为1或4．故答案为：1或4．8．若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，则取出的这三个数字之和能被3整除的取法种数为30．解：若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中选取三个不同的数字，被3除余1的数有1，4，7，被3除余2的数有2，5，8，被3整除的数有3，6，9．若要使选取的三个数字的和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，则取出的这三个数字的和能被3整除的种数种．故答案为：30．9．若动直线与函数，的图象分别交于点，，当，两点距离最近时，的值为．解：因为函数的定义域为，依题意，，作出函数与的图象，如图所示：由图知，当取定时，的函数值恒大于的函数值，因，则，设，则（a），则当时，（a），当时，（a），故函数（a）在上单调递减，在上单调递增，则当时，（a）取得最小值，为，即当，两点距离最近时，的值为．故答案为：．10．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军．假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为．解：根据题意可知，一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜，前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为，每局比赛独立，概率为．故答案为：．11．已知函数，则不等式的解集为，，．解：函数的定义域为，求导得．对任意，，故，恒成立．因此在上为单调递减函数．不等式，结合单调递减性质，函数值大对应自变量小．所以．移项整理得，因式分解得．解得或，即解集为，，．故答案为：，，．12．设集合，，，，，0，，，2，3，4，，那么集合中满足条件“”的元素个数为45．解：设，，，，中，有个1，个，则有个0，则需，解得，当时，，，，，，共有种情况；当时，，，，，，共有种情况；当时，，，，，，共有种情况；故共有种情况，即集合中满足条件“”的元素个数为45．故答案为：45．二、选择题（每小题4分，共16分）13．“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：“事件与事件是对立事件”“事件与事件是互斥事件”，“事件与事件是互斥事件”“事件与事件不一定是对立事件”，“事件与事件是对立事件”是“事件与事件是互斥事件”的充分而不必要条件．故选：．14．设集合，2，3，，、，则方程表示焦点位于轴上的椭圆有（）A．6个 B．8个 C．12个 D．16个解：焦点位于轴上的椭圆则，当时，；当时，，2；当时，，2，3；共6个故选：．15．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（）A．36 B．64 C．72 D．81解：依题意可知，其中一个小区必安排2名同学，则先把4名同学分成“1，1，2”的组合，有种方式，再将这三组安排到3个小区，有种方式，所以符合题意的不同的安排方法种数为种．故选：．16．有三串气球，每串气球的个数如图所示，某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止．假设此人每次射击均能击破一只气球，则其击破气球的不同顺序的种数为（）A．8 B．144 C．120 D．280解：某人每次用气枪射击一只气球，且每次都射击某一串气球中最下面的一只，直到所有的气球均被击破为止，将被射击的8个气球排成一列，同一串气球按由下往上的顺序放入，相当于8个位置，取4个位置将中间一串气球按由下往上的顺序放入，有种方法，再从余下4个位置中取3个将左边一串的3个气球按由下往上的顺序放入，有种方法，最后放入右边的一个气球于最后一个位置，有种方法，由分步计数乘法原理得击破气球的不同顺序的种数为．故选：．三、解答题（共48分）17．已知是函数的一个极值点．（1）求的单调区间；（2）求在区间，上的最小值．解：（1），是函数的一个极值点，（1），，，令，解得或；令，解得，所以函数的增区间为，，减区间为．（2）由（1），又在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，又，又（3），函数在区间，上的最小值为．18．某校志愿者团队共派出6人参加志愿者活动，其中男生4人，女生2人；（1）活动后6人排成一排拍照，男生甲在女生乙的左边（甲乙不必相邻），有多少种不同的排法？（2）现要将6名志愿者分配到3所学校参加志愿者服务活动，每所学校至少分配1人，共有多少种不同的安排方法？解：（1）全排列有种排法，男生甲与女生乙共有种排法，故男生甲在女生乙的左边，共有种；（2）先将6名志愿者分成3组，可以分成，1，或，2，或，2，三种不同情况，若人数为，2，，共有种安排方法；若人数为，2，，共有种安排方法；若人数为，1，，共有种安排方法；故共有种不同的安排方法．19．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求的值及的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．再由，得，因此．而建造费用为，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ）方法一：，令，即．解得，（舍去）．当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．方法二：由（Ⅰ）知，，所以，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．20．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．解：（1）甲连胜四场只能是前四场全胜，．（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，故四局内结束比赛的概率为，故需要进行第五场比赛的概率为．（3）法一：设事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，记事件：甲赢，记事件：丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、、、、、，则甲赢终的概率为：；由对称性可知：乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙获胜的概率为．法二：（1）只打四场比赛，此时丙只需赢三场，即第二场到第四场，其概率，（2）打五场比赛，最后一场丙赢，则丙在第二，三，四场比赛必然输一场，因此要继续打分两种情况进行讨论：若丙第二场输，则第四场和第五场丙赢，则，概率，若丙第三场输，则第二场和第五场丙赢，则，概率，若丙第四场输，则前三场必有一人被淘汰，其概率为，综上所述，丙获胜的概率．21．在篮球比赛中，一个赛季结束后，学校球队的成绩为次赢次输；为深入挖掘球队潜力，可研究比赛输赢序列中蕴含的规律，其中一种研究方法是分析输赢的游程情况；游程是指由相同符号组成的连续序列，该序列前后连接的是不同的符号或无符号；游程长度指该连续序列中数据的个数；一个序列中有若干游程，这些游程的总个数记为；假设校篮球队比赛的输赢序列具有个赢的游程，表示第个赢的游程长度，其中，且，则记向量；表示第个赢的游程以前连续输的次数，表示最后一个赢的游程后面输的次数，其中，且，记向量．例如，用表示赢，表示输，当，，一个输赢序列记为：这个序列共有7个游程，其中4个赢的游程，故，，游程的长度依次为2，2，3，1，1，3，4，向量．（1）已知，写出对应的输赢序列；（2）已知篮球队的比赛成绩为3次赢，2次输，即，，若，请写出所有满足条件的输赢序列，以及对应的向量和；（3）若篮球队有6次赢，4次输，求具有7个游程的概率．解：（1）假设校篮球队比