2025-2026学年湖南省长沙市浏阳市高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省长沙市浏阳市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设复数z=3-i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知平面向量，若，则λ=（）A. B. C. D.3.已知某圆锥的底面积为3π，母线长为，则该圆锥的体积为（）A.6π B.5π C.4π D.3π4.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，C′B′⊥x′轴，C′D′∥y′轴，，A′B′=4，则△A′B′C′的原图形的面积为（）A.

B.

C.

D.5.已知l,m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若l∥m,l∥α，m∥β，则α∥β B.若l⊥m,l⊥α，m∥β，则α∥β

C.若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m D.若l⊥m,l⊥α，m⊥β，则α⊥β6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B1-AC-B的正切值为（）A. B. C. D.7.若非零向量与满足，且，则△ABC为（）A.三边均不等的三角形 B.直角三角形

C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形8.某校国庆节举办爱国知识竞赛，高一某班有A，B两名同学组队参加知识竞赛，每轮比赛由A，B各答题一次.已知每轮比赛中A答对的概率为，B答对的概率为，且A和B答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则（）A.在第一轮比赛中，A，B都没有答对的概率为

B.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率

C.在两轮比赛中，A，B恰好答对三题的概率为

D.在两轮比赛中，A，B至多答对三题的概率为二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列说法正确的是（）A.数据2，3，4，5，6，7，8，9的第75百分位数为7

B.若一组样本数据3，a,7，5，4，8的极差为5，则实数a的取值范围为[3，8]

C.x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为和，若yi=2xi-3（i=1，2，3，4），则

D.在对高一某班学生数学成绩调查中，抽取男生10人，其平均数为105，方差为24，抽取女生5人，其平均数为102，方差为21，则这15名学生数学成绩的方差为2510.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=7，b=8，，则（）A.c=3 B.A=120°

C.△ABC的面积为 D.AB边上的高为11.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式r（cosθ+isinθ），由复数的三角形式可得出，若z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ2+isinθ2），其在复平面内对应的点为Z1，Z2，z1z2=r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]，其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍.根据上面知识，下列选项中正确的有（）A.当，且n为偶数时，复数zn为纯虚数

B.若i,则

C.复平面中，点绕原点O逆时针旋转得到

D.复平面中，将直线l：2x+y+1=0绕O点顺时针旋转得到直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知a=2，b=3，，则C=

.13.已知随机事件A，B相互独立，且，则P（A∪B）的值为

.14.已知正三棱锥P-ABC与正三棱锥Q-ABC的底面重合，且P，Q分别在底面ABC的两侧，AB=2，两个三棱锥的体积之比为3：1，若点A，B，C，P，Q都在球O的球面上，则球O的表面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20，45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[40，45]）.

（1）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的众数和第80百分位数；

（2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35，40）内的概率.16.(本小题15分)

为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点.

（1）证明：PB∥平面ACM；

（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且满足.

（1）求角A的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.19.(本小题17分)

对于平面向量，定义“Fθ变换”：，（0＜θ＜π）

（1）若向量，，求；

（2）已知，，且与不平行，，，证明：；

（3）若向量，求θ.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】BCD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】27.5；37.5

16.【答案】解：（1）在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，

在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响，

设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”，A2=“甲在第二轮比赛中胜出”，

B1=“乙在第一轮比赛中胜出”，B2=“乙在第二轮比赛中胜出”，

则A1，A2，B1，B2相互独立，且，，，，

设C=“甲在比赛中恰好赢一轮”

则．

（2）∵在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则A1A2=“甲赢得比赛”，B1B2=“乙赢得比赛”，

∴，，

∵，∴派甲参赛获胜的概率更大．

（3）设事件D=“甲赢得比赛”，事件E=“乙赢得比赛”，

则D∪E=“两人中至少有一人赢得比赛”，

由（2）知，，，

∴，

，

∴两人中至少有一人赢得比赛的概率为