专题1.2 反比例函数的图象与性质（举一反三）（解析版）

专题1.2反比例函数的图象与性质（举一反三讲义） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断反比例函数图象所在象限】 2【题型2根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】 6【题型3识别反比例函数图象】 8【题型4判断反比例函数的增减性】 11【题型5根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】 13【题型6根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】 15【题型7根据反比例函数的增减性求参数】 17【题型8根据比例系数k的几何意义求图形面积】 20【题型9根据图形面积求k的值】 23【题型10比例系数k和面积规律与阴影部分面积】 28【题型11已知点的坐标求反比例函数的解析式】 32【题型12结合几何图形求反比例函数的解析式】 34【题型13反比例函数与一次函数的交点问题】 41【题型14反比例函数与一次函数中结合图象解不等式】 44考点1考点1反比例函数的图象特征与系数k的关系知识点1反比例函数的图象与性质1.描点法做图步骤解读图示①列表自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值②描点以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点③连线用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交2.反比例函数的性质反比例函数y=x，y的取值范围x≠0，y≠0（与坐标轴无交点）k的符号k＞0k＜0图象图象的位置两支曲线分别位于第一、三象限两支曲线分别位于第二、四象限性质在每一象限内，y的值随x值的增大而减小在每一象限内，y的值随x值的增大而增大【题型1判断反比例函数图象所在象限】【例1】（2026·云南德宏·一模）反比例函数y=3x的图像可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据反比例函数y=kx的图像性质，当k>0时，图像位于第一、三象限；当【详解】解：∵反比例函数y=3x中，∴该函数的图像位于第一、三象限，即选项A符合题意．【变式1-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）反比例函数y=kx(k<0)的图象特征是A．第一、三象限 B．第二、四象限C．只在第一象限 D．只在第四象限【答案】B【详解】解：∵对于反比例函数y=kx∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限．【变式1-2】（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b（其中a+b靠近b），那么反比例函数y=a+bx的图象在第【答案】一、三【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出a和b的符号，进而确定a+b的符号．【详解】解：根据数轴上点的位置可知，a+b>a，∴b>0，a+b<b，∴a<0，∵a+b靠近b，意味着点M到点B的距离小于点M到点A的距离，点M到点B的距离为b-(a+b)=-a，点M到点A的距离为a+b-a=b，∴-a<b，∴a+b>0，故函数y=a+bx的【变式1-3】已知五个函数①y=5x，②y=x-1，③y=-x+3，④y=2x，⑤y=-2x，现有两个条件：（1）第二、第四象限内均有它的图象，（2）在每个象限内，y随【答案】⑤【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数图象和性质是解题的关键．画出相应的函数图象，根据一次函数图象和反比例函数图象的性质逐一判断即可．【详解】解：依次画出这五个函数的图象，如图所示，①由y=5x图象可知，经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故①不符合题意；②由函数y=x-1图象可知，第二象限没有它的图象，经过第一、三、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故②不符合题意；③由函数y=-x+3图象可知，经过第一、二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故③不符合题意；④由函数y=2x图象可知，第二、第四象限内没有它的图象，经过第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故④⑤由函数y=-2x图象可知，经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，故⑤综上所述，⑤符合题意；故答案为：⑤．【题型2根据反比例函数图象或象限确定k的符号/取值范围】【例2】已知反比例函数y=m-1x的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是【答案】m<1【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以m-1<0，求出m范围即可．【详解】解：∵反比例函数y=m-1x的∴m-1<0，解得：m<1．【变式2-1】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图是反比例函数y=kx(x>0)的图象．整数k【答案】1【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得k>0，由图得k2【详解】解：由题意得k2解得：k<2，∵图象在第一象限，∴k>0，∵k是整数，∴k=1，故答案为：1．【变式2-2】（2026·重庆大足·一模）已知反比例函数y=m-2x的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组3x+12＞x-1x-m+1【答案】0【分析】根据反比例函数图象的性质得到m-2<0，解关于x的不等式组得-3<x≤m+13，根据不等式组至少有3个整数解求出m的取值范围，得到符合条件的整数【详解】解：∵反比例函数y=m-2x的∴m-2<0，∴m<2，解关于x的不等式组得x>-3x≤∴-3<x≤∵不等式组至少有3个整数解，∴m+13≥解得m≥-1，由上可得，m的取值范围是-1≤m<2，∴整数m是-1，0，1共3个，∴符合条件的整数m的值之积为-1×0×1=0．【变式2-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知反比例函数y=m-1x的图象在第二、四象限，求【答案】m<1，取整数m=0，此时解析式为y=-1x（答案【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象在第二、四象限，可得m-1<0，再进一步求解即可.【详解】解：∵反比例函数图象在第二、四象限∴m-1<0解得：m<1取整数m=0，此时解析式为y=-1x（答案不【题型3识别反比例函数图象】【例3】一次函数y=-x+2与反比例函数y=3x在同一直角坐标系中的图像大致是如图中的（A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握两个函数的图像和性质．根据一次函数和反比例函数的图像和性质，确定函数图像经过的象限即可．【详解】解：由y=-x+2得，k=-1<0，∴y随x的增大而减小，与y轴的交点坐标为0,2，∴一次函数的图像经过一、二、四象限；由y=3x得，∴反比例函数的图选经过一、三象限；故选：A．【变式3-1】反比例函数y=kxk≠0和一次函数y=-kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象A． B．C． D．【答案】D【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断．【详解】A．反比例函数图象在第一、三象限，则k>0，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误；B．反比例函数图象在第一、三象限，则k>0，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误；C．反比例函数图象在第二、四象限，则k<0，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误；D．反比例函数图象在第一、三象限，则k>0，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．【变式3-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=kx-kk≠0与y=kx的大致图象A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵y=kx-k当k<0时，一次函数经过第一、二、三象限，当k>0时，一次函数经过第一、三、四象限A.一次函数中k<0，则当x>0时，函数y=kxB.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，一次函数中k>0，则当x>0时，函数y=kx图象在第一象限，故C选项正确，故选：C．【变式3-3】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算a※b=ab(b>0)-ab(b<0)A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键．按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可．【详解】解：当x>0时，y=1※x=1当x<0时，y=1※x=-1x故选：B．考点考点2反比例函数的增减性【题型4判断反比例函数的增减性】【例4】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知点A-4,m2+1在反比例函数y=kx的图像上，那么在每个象限内，该函数的值y随x的值增大而________．（填“增大【答案】增大【分析】根据点在反比例函数图象上确定k的符号，再结合反比例函数的性质判断y随x的变化规律．【详解】解：∵点A-4,m2∴k=xy=-4m∵m∴m∴k=-4m根据反比例函数的性质，当k<0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．【变式4-1】（24-25九年级上·广东河源·期末）关于反比例函数y=-5x，下列说法中正确的是（A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点C．图象是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限y随x的增大而增大，由此即可求解．【详解】解：反比例函数y=-5∵-5<0，∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限y随x的增大而增大，∴只有B选项符合题意，故选：B．【变式4-2】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）已知Ax1,y1，Bx2,y2A．0 B．正数 C．负数 D．非负数【答案】B【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据x1x2>0，可得x1与x2同号，分两种情况讨论：x1【详解】解：对于反比例函数y=-1x，∴反比例函数y=-1x的图象位于二、四象限，在每个象限内，y随∵x∴x1与x2同号，即x1>0，x若x1>0，x2>0，假设∴x2-∴y若x1<0，x2<0，假设∴x2-∴y综上，y2【变式4-3】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数y=1x+2-1①x>-2时，y的值随x的增大而减小

②x<-2时，y的值随x的增大而增大③图象不经过第二象限

④图象不经过第四象限【答案】①【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．画出图象，根据题意得到x≠-2，那么函数y=1x+2-1在x>-2时，y的值随x的增大而减小，x<-2时，y【详解】解：如图，∵1>0，x+2≠0，即x≠-2，那么函数y=1x+2-1在x>-2时，y的值随x的增大而减小，x<-2时，y由图可知图象经过第二、三、四象限，故①说法正确；②③④的说法错误；故答案为：①．【题型5根据反比例函数的增减性比较函数值的大小】【例5】（2026·陕西汉中·模拟预测）已知m>0，且点Am+1，y1、Bm+3，y2均在反比例函数y=4x的图象上，则【答案】>【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数的增减性，再比较两个点横坐标的大小，结合增减性即可得到纵坐标的大小关系.【详解】解：反比例函数y=4x中，比例系数∴反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小.∵m>0,0<m+1<m+3，且点A，点B都在第一象限的反比例函数图象上.∴y【变式5-1】（2026·四川成都·二模）已知P1x1,y1,P2x2,y2两点都在反比例函数y=-3【答案】<【分析】本题根据反比例函数的性质，先判断比例系数k的符号，得到函数在x<0时的增减性，再结合给定的x1,x【详解】反比例函数y=-3x中，比例系数根据反比例函数的性质，当k<0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1<∴y【变式5-2】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点A-1,y1、B-2,y2、C3,y3都在函数【答案】y3<【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数图象所在象限与增减性，再根据各点横坐标判断点的位置，结合增减性比较函数值大小即可【详解】解：对于反比例函数y=-5∵k=-5<0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵-2<-1<0<3，∴点A(-1,y1)、B(-2,y2)都在第二象限，第二象限内y值恒为正；点∵-2<-1<0，∴y2<y1，且∴y3【变式5-3】（2026·内蒙古通辽·二模）已知点x1,y1x2,y2A．若x1x2<0，则y2C．若x1x3>0，则y2【答案】B【分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键．根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可．【详解】解：∵反比例函数y=k∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，∵xA.若x1x2<0，则x3<B.若x2x3<0，则x3<0<x2C.若x1x3>0，则x1>D.若x2>0，则x1>x2>x【题型6根据反比例函数的增减性比较自变量的大小】【例6】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3都在反比例函数y=-2x【答案】x【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先确定反比例函数图象所在象限及单调性．根据y1<y2<0<y3判断点A、B在第四象限，点C在第二象限．【详解】∵反比例函数y=-2x，∴图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵y3∴点Cx∴x3∵y1∴点A(x1,y1)，∴x1<x2，而第四象限的∴x3故答案为：x3<【变式6-1】（25-26九年级上·湖南湘潭·期中）若点Ax1,2，Bx2,-1都在反比例函数y=2025【答案】x【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数的系数判断其增减性，再结合点的纵坐标大小比较横坐标的大小．先判断反比例函数y=2025x的增减性（k>0，各象限内y随x增大而减小），再根据点A,B纵坐标的正负确定所在象限，进而比较【详解】∵反比例函数y=2025x中∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵点A(x1,2)的纵坐标2>0，所以点A在第一象限，因此x1>0，点B(x2∴x【变式6-2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点m,-4,n,4,k,-1都在反比例函数y=-kx(kA．n>m>k B．n<m<kC．n<m=k D．n=m=k【答案】B【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据k>0比较大小即可．【详解】解：∵点m,-4,n,4,k,-1都在反比例函数y=-k∴将点m,-4代入解析式得：-4=-k∴m=k∵将点n,4代入解析式得：4=-k∴n=-k∵k>0，∴-k4<故选：B．【变式6-3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）若点Ax1,-1，Bx2,2，Cx3,3都在反比例函数y=a2+2xA．x1<x2<x3 B．【答案】B【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小关系即可．【详解】解：∵对于任意实数a均有a2∴k=a∴反比例函数y=a2+2x的图象分别位于一，三象限，且在每一象限内，∵-1<0<2<3，∴点Ax1,-1在第三象限，点B∴x1<0，x2又∵在第一象限内y随x的增大而减小，且2<3，∴x3∴x1【题型7根据反比例函数的增减性求参数】【例7】（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点Aa,y1,B2a+1,y2均在反比例函数y=m2【答案】-1<a<-12【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．【详解】解：∵反比例函数y=m2x∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，若点Aa,y1,B2a+1,∴a<2a+1，解得a>-1，若点Aa,y1,B2a+1,∴2a+1<0，∴a<-1综上分析，a的取值范围是：-1<a<-1故答案为：-1<a<-1【变式7-1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数y=k-2026x图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是【答案】k<2026【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内y随x的增大而增大，由此列出不等式求解即可．【详解】解：∵在反比例函数y=k-2026x图象的每一支曲线上，y都随∴比例系数k-2026<0，解得：k<2026．故答案为：k<2026．【变式7-2】反比例函数y=k2xk≠0过点Aa,y1，BA．-1<a B．-1<a<0 C．a<1 D．0<a<1【答案】B【分析】根据反比例函数图象所经过的象限和函数的增减性解答．【详解】解：∵反比例函数y=k2x（k≠0）中的k2＞∴反比例函数y=k2x（k≠0）的图象经过第一、三象限，且在每一象限内y随∵y2＞y1，a+1＞a，∴点A位于第三象限，点B位于第一象限，∴a<0a+1>0解得-1＜a＜0．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，要掌握反比例函数解析式中系数与图象的关系．【变式7-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若2t-1,y1，t,y2两点在反比例函数y=-m2+1x的【答案】0<t<【分析】先根据反比例函数解析式判断比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据y1>0>y2判断两个点所在的象限，根据象限内点的坐标特征列出关于t【详解】解：在反比例函数y=-m∵m∴m∴k=-(m∴反比例函数y=-m2+1∵y1∴(2t-1,y1)根据象限内点的坐标特征，得2t-1<0t>0解不等式组得0<t<1考点3比例系数k的几何意义知识点考点3比例系数k的几何意义过y=kx(k≠0)图象连接y=kx(k≠0)图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到k的值，进而确定函数表达式.【题型8根据比例系数k的几何意义求图形面积】【例8】（2026·福建莆田·二模）如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=-2x(x<0)的图象上，AB平行x轴，连接OA，A．1 B．32 C．52 D【答案】C【分析】Aka,a，B-2a,a，将△AOB【详解】∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在反比例函数y=∴设Ak∵AB平行x轴，∴B-2∴S△AOB∵2<k<4，∴1<k∴2<k2+1<3，即2<【变式8-1】（25-26九年级下·吉林四平·月考）如图，点A是反比例函数y=2xx>0图象上任意一点，过点A且平行于x轴的直线交反比例函数y=-3xx<0的图象于点B，点D在x轴正半轴上，以AB、【答案】5【分析】连接OA、OB，利用反比例函数k的几何意义求出△OAB的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解．【详解】解：连接OA、OB，设AB交y轴于点E，如图，∵AB∥x轴，∴AB⊥y轴．∵点A在反比例函数y=2x(x>0)∴S△AOE点B在反比例函数y=-3x(x<0)的图象∴S△OAB∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD的面积=2S【变式8-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）反比例函数y1=4xx>0和y2=2xx>0的函数图象如图所示，若点M在y1上，过点M分别作x轴，y轴的垂线，交y2于点A，C，交【答案】2【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义得到【详解】解：∵点M在函数y1=4xx>0上，过点M分别作x轴，y轴的垂线，交y2=2xx>0于点A，∴S矩形OBMD=4∴四边形AOCM的面积为4-1-1=2．故答案为：2．【变式8-3】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数y=kxk>0与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA=4，OC=8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．若SA．8 B．12 C．15 D．8【答案】C【分析】本题考查反比函数系数k的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得∠BAO=∠BCO=∠B=90°，BC=4，AB=8，继而得出BA⊥y轴，BC⊥x轴，根据三角形的面积及反比函数系数k的几何意义得S1=12AD·AO=12k，S2=12CO·EC=12【详解】解：∵四边形OABC是长方形，OA=4，OC=8，∴∠BAO=∠BCO=∠B=90°，BC=OA=4，AB=OC=8，∴BA⊥y轴，BC⊥x轴，∵反比例函数y=kxk>0与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，△OAD、△OCE的面积分别为S1、∴S1=1∴12解得：k=8，∴12AD·AO=12×8，1∴12×4×AD=1∴AD=2，EC=1，∴BD=AB-AD=8-2=6，BE=BC-EC=4-1=3，∴S∴S△ODE=OA⋅OC-=4×8-4-4-9=32-4-4-9=15∴△ODE的面积为15．故选：C．【题型9根据图形面积求k的值】【例9】（2026·黑龙江鸡西·二模）如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=kx与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（

A．125 B．2+1 C．52 D【答案】B【分析】设D(t,kt)【详解】解：设D(t,kt)∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，∴HF=1∴E点的纵坐标为1t当y=1t时，kx=1∴E(kt,1∵矩形HDBE的面积为2，∴(kt-t)(k整理得(k-1)2解得：k=±∵k>0，∴k=2【变式9-1】（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图所示，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=9xx>0和y=kxx<0的图象于C，B两点．若△ABC的面积是A．-1 B．5 C．-5 D．-3【答案】A【分析】连接OB、OC，因为BC∥x轴，可以得出S△ABC=S△BOC，结合反比例函数k的几何意义即【详解】解：如图所示：连接OB、OC，∵BC∥x轴，∴S∵△ABC的面积是5，S△BOC∴12∴k=±1，又∵y=k∴k=-1．【变式9-2】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线y=kxk≠0,x<0,△AOB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BCD=90°，点A位于x轴负半轴上，D是双曲线上一点，若S【答案】-10【分析】设AO=a，CD=b，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得-a-ba-b=k，然后再面积差求出【详解】解：设AO=a，CD=b，∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，∴AO=AB=a，CD=BC=b，∴D-a-b∵点D在反比例函数图象上，∴-a-ba-b=k，即又∵S△OAB-S∴a∴-k=10，∴k=-10．【变式9-3】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B．四边形OAMB的面积为5．则k的值为（A．5 B．4 C．2.5 D．2【答案】A【分析】过点M作x轴、y轴的垂线，构造正方形，利用全等三角形证明四边形OAMB的面积等于正方形面积，进而求出k．【详解】解：如图，过点M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，∵点M在直线y=x上，∴设M(m,m)，则MC=MD=m，四边形OCMD为正方形，∴k=m⋅m=m2∵∠AMB=90°，∠∴∠∴∠DMB=在△MDB和△MCA中，∠MDB=∠MCA=90°MD=MC∠DMB=∠CMA∴△MDB≅△MCA(ASA∴DB=CA，∴OA+OB=(OC+CA)+(OD-DB)=OC+OD=2m，∴S∵S四边形∴m2∵反比例函数的图象在第一三象限，k>0，∴k=5．考点4待定系数法求反比例函数解析式知识点考点4待定系数法求反比例函数解析式利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤步骤设代解写设反比例函数表达式为y=k步骤设代解写设反比例函数表达式为y=把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程解方程，求出待定系数k的值写出函数表达式【例10】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A【答案】2【分析】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为k2，结合图形找到规律S【详解】解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S=1∴S1=S=2，S△OA∵OA∴S2∵O∴S3同理可得S以此类推，Sn∴S故答案为：22025【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，正方形DEFG的边DE在BC上，AB=EF．反比例函数y=kx（k≠0）的图像经过点B，阴影部分的面积为8，则k的值为【答案】16【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，反比例函数比例系数k的几何意义．设OF与BC交于点M，先证△OCM≌△FEMAAS，推出S△OCM=S△FEM【详解】解：如图，设Ba,b，OF与BC交于点M∵四边形OABC是矩形，∴OA=a，OC=AB=b，∠OCB=90°，∵正方形DEFG的边DE在BC上，AB=EF，∴CO=EF，∠FED=90°，在△OCM和△FEM中，∠FEM=∠OCM∠FME=∠OMC∴△OCM≌△FEMAAS∴S△OCM∴阴影部分的面积=S∴ab=16，又∵Ba,b在y=kx∴k=ab=16，故答案为：16．【变式10-2】（2025·安徽·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,2)，过点A作坐标轴的平行线分别交反比例函数y=kx(x>0)的图像于B，C两点，连接OA，OB，OC．若阴影部分的面积为8，则k【答案】14【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，延长BA，CA分别交x轴、y轴于点D，G，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E，先根据S△OAB=S△OAC=12【详解】解：如图，延长BA，CA分别交x轴、y轴于点D，G，过点B作BF⊥y轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E．∵S矩形∴S△OAB∵阴影部分的面积为8，∴12解得k=14．故答案为：14．【变式10-3】（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在反比例函数y=kxk>0,x>0图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线．若OE=ED=DC，且图中阴影部分的面积为12，则kA．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数，由反比例函数k的几何意义可得：S矩形OFPC=S矩形【详解】解：如图所示：由反比例函数k的几何意义可得：S矩形∵OE=ED=DC，∴S矩形DERK=∵S矩形∴S阴影部分∴43解得：k=9，故选：B【题型11已知点的坐标求反比例函数的解析式】【例11】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点M，则此反比例函数表达式为（

）A．y=12x B．y=-12x C．【答案】D【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数k，从而确定函数表达式．【详解】解：设反比例函数的表达式为y=k∵反比例函数图像过-2,1点，∴k=-2×1=-2，∴反比例函数的表达式为y=-2【变式11-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）若反比例函数y=k+1x的图象经过点1,-2，则这个反比例函数的表达式为【答案】y=-【分析】本题考查反比例函数的解析式求解，用待定系数法求未知参数是解题关键．将点的坐标代入反比例函数解析式，求出参数的值，从而得到函数表达式．【详解】解：将点1,-2代入y=k+1可得：-2=k+1解得k=-3，则k+1=-2，故反比例函数的表达式为y=-2故答案为：y=-2【变式11-2】（25-26九年级上·湖南怀化·期末）若点P-3,-4在双曲线y=A．8,-32 B．8,32 C．【答案】B【分析】本题主要考查求反比例函数的解析式，判断点是否在反比例函数图象上，把反比例函数的解析式求出来是解题的关键．利用反比例函数y=kx(k≠0)中k=xy的特点，先根据已知点P-3,-4求出【详解】解：∵点P(-3,-4)在双曲线y=k∴k=(-3)×(-4)=12，∴双曲线上任意一点的横纵坐标乘积为12，A选项：8×(-3B选项：8×3C选项：-3D选项：32∴该双曲线经过选项B对应的点．故选：B．【变式11-3】（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知反比例函数的解析式y=kx，当x=2时，(1)求反比例函数的解析式；(2)当x=-6时，求y的值．【答案】(1)y=(2)y的值为-3【分析】（1）把x=2，y=9代入y=k（2）把x=-6代入解析式，进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，9=k解得k=18；∴y=18（2）解：∵y=18∴当x=-6时，y=18【题型12结合几何图形求反比例函数的解析式】【例12】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，A(1,0)，B(0,2)，D(-2,0)，反比例函数y=kx在第二象限内的图象经过点(1)求反比例函数的表达式．(2)点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)反比例函数的表达式为：y=-(2)点E的坐标为-3,0或-7,0【分析】（1）先利用平行四边形的性质，得出BC=AD=3，BC//AD，进一步得出点C的坐标为-3,2，最后将点C的坐标代入解析式即可；（2）需分两种情况讨论：①当∠CED=90°时，先证出四边形CEOB是矩形，进一步得CE=OB=2，再设点E的坐标为t,0，则DE=-2-t，最后根据两点之间的距离公式和勾股定理求解即可；②当∠DCE=90°时，设Ea,0，则DE=-2-a【详解】（1）解：∵A(1,0)，B0,2，D∴OA=1，OB=2，OD=2，∴AD=OA+OD=3．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=3，BC//AD，∴点C的坐标为-3,2．∵反比例函数y=kx在第二象限内的图象经过点∴k=-3×2=-6，∴反比例函数的表达式为：y=-6（2）解：∵点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，∴有以下两种情况：①当∠CED=90°时，如图1所示：∴∠CED=∠BOA=90°，∴CE∥OB．∵BC//AD，∴四边形CEOB是矩形，∴CE=OB=2．设点E的坐标为t,0，（t<-2），则DE=-2-t，∵CD在Rt△CDE中，由勾股定理得：C∴2整理得：(2+t)∴2+t=1，2+t=-1，由2+t=1，解得：t=-1(不合题意，舍去)，由2+t=-1，解得：t=-3，∴点E的坐标为-3,0；②当∠DCE=90°时，如图2所示：设Ea,0，（a<-2），则DE=-2-a∵CE在Rt△CDE中，由勾股定理得：C∴a解得：a=-7，∴点E的坐标为-7,0．综上所述：点E的坐标为-3,0或-7,0．【变式12-1】（2026·山西晋中·一模）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为5，一边CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y=kxk>0的图象经过点A，则kA．5 B．53 C．10 D．【答案】D【分析】连接AC，根据正六边形的性质可得AB=BC=5，∠BCD=∠BAF=120°，再根据30°所对的直角边为斜边的一半，可得OC=12BC=52【详解】解：连接AC，∵正六边形ABCDEF的边长为5，∴AB=BC=5，∠BCD=∠BAF=120°，∴∠BCO=60°，∴∠CBO=30°∴OC=1∴BO=B∴AC=2BO=53∴A5将A52,53代入解得：k=25【变式12-2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）图，点B为反比例函数y=kx（k>0，x>0）图象上的一点，点A为x轴正半轴上一点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，点B的对应点C恰好也在函数的图象上，若B、C的纵坐标分别为4和1，则k的值为（A．53 B．35 C．320【答案】D【分析】如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，首先证得△ABF≌△CAEAAS，得出AF=CE=1，BF=AE=4，设点Bm,4，则Cm+5,1，根据点B【详解】解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∴∠AEC=∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，由旋转知，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠CAE，∴△ABF≌∴AF=CE，BF=AE，∵B、C的纵坐标分别为4和1，∴AF=CE=1，BF=AE=4，∴设点Bm,4，则C∴4m=1×∴m=∴B代入y=kx得，【变式12-3】（25-26九年级下·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点A在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，∠BAC=90°，点B、C分别在坐标轴上，且AB=AC，若OB=2，OC=4，则k【答案】9【分析】过点A作AE⊥y轴，作AD⊥x轴，利用AAS证明三角形全等，进而证明四边形EODA是正方形，设BE=CD=x，根据相等边建立方程，求出点A的坐标，进而代入反比例函数求出k值．【详解】解：如图，过点A作AE⊥y轴，作AD⊥x轴，∵∠AEO=∠EOD=∠ADO=90°，∴四边形EODA是矩形，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∵∠EAB+∠BAD=90°，∴∠EAB=∠CAD，∵在△BAE和△CAD中，∠AEO=∠ADC=90°∠EAB=∠CAD∴△BAE≌△CADAAS∴AD=AE，BE=CD，∴四边形EODA是正方形，设BE=CD=x，则OD=4-x，OE=2+x，∵OD=OE，∴4-x=2+x，解得x=1，∴OD=3，OE=3，∴点A的坐标为3,3，将3,3代入y=kx，可得考点5反比例函数与一次函数的综合知识点4反比例函数与一次函数考点5反比例函数与一次函数的综合1.反比例函数y=k1x当k1k2>0时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当2.反比例函数y=k1x联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程k2x2+bx-k1=0．判别式∆>0⟺两函数图象有2个交点；∆=0⟺两函数图象3.观察反比例函数y=k1x(k1≠0)与一次函数（1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标x1，x（2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集．如图所示，当k1>0，k2>0时，k2x+b>k1x的解集为x【题型13反比例函数与一次函数的交点问题】【例13】（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数y=k-1x的图象交于Aa,b，Ba-2,b-4两点，则【答案】3【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线AB过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解．【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数y=k-1x的图象交于Aa,b∴Aa,b，B∴a+a-2=0，b+b-4=0，∴a=1，b=2，∴A1,2，B则k-1=1×2，解得k=3．【变式13-1】（2026·广东中山·一模）已知：点Pm,n在直线y=-x+5上，也在双曲线y=2x上，则m【答案】21【分析】把点P的坐标分别代入两个函数的表达式中可推出m+n=5，mn=2，再根据【详解】解：∵点Pm,n在直线y=-x+5上，也在双曲线y=∴n=-m+5，n=2∴m+n=5，∴m2【变式13-2】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax+3的图象与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A2,4，过点B0,2作x轴的平行线分别交y=ax+3与y=kxx>0的图象于C，【答案】6【分析】把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出C,D的坐标，进而求出CD的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：把A2,4代入y=ax+3中得：2a+3=4解得：a=1∴一次函数的解析式为y=1把A2,4代入y=kx解得：k=8，∴反比例函数的解析式为y=8∵BC∥x轴，∴点C和点D的纵坐标都为2，在y=12x+3中，当y=12在y=8x中，当y=8x=2时，∴CD=4--2∵A2,4∴S【变式13-3】（2026·江苏苏州·一模）如图，一次函数y=mx-2m+4m≠0与反比例函数y=kxx>0,k≠0的图像交于A,B两点，点A的横坐标为2，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，连接OA,AC,OA与(1)求k的值；(2)求△ACD面积的最大值，并求出此时m的值．【答案】(1)8(2)1，m=-1【分析】（1）先求出A点坐标，待定系数法求出k的值即可；（2）联立直线和反比例函数的解析式，求出B点坐标，进而求出C点坐标，求出OA的解析式，进而求出D点坐标，根据三角形的面积公式，进行求解即可．【详解】（1）解：∵y=mx-2m+4m≠0∴当x=2时，y=2m-2m+4=4，∴A2,4∴k=2×4=8；（2）解：由（1）知：y=8联立y=8xy=mx-2m+4，解得x=2∴B-∵BC∥x轴，∴C0,-2m设直线OA的解析式为y=nx，把2,4代入，得n=2，∴y=2x，∴当y=2x=-2m时，x=-m，∴D-m,-2m∴CD=-m，∴S==-m∵-1<0，∴当m=-1时，△ACD的面积最大，最大值为1．【题型14反比例函数与一次函数中