实际问题与二次函数（第3课时实物抛物线问题）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第3课时其他问题——实物抛物线等第二十六章26.4实际问题与二次函数2026-2027学年人教版数学九年级上册学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题；(重点)2.利用二次函数解决抛物线形实物及运动轨迹相关问题；(难点)

3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．情境引入日常生活中经常见到实物抛物线问题，如拱形洞、桥梁、隧道等建筑的外形，那么怎样用二次函数的知识解决这些问题呢？本节课将学习这个内容.推进新课

图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m时，水面宽度增加多少？分析：(1)建立合适的直角坐标系；(2)将实际建筑数学化，数字化；(3)明确具体的数量关系，如函数解

析式；(4)分析所求问题，代入解析式求解。探究(2,-2)(-2,-2)xyO解：以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.设抛物线解析式为y=ax2.将点(-2，-2)代入解析式，可得-2=a·(-2)2.xyO(2,-2)(-2,-2)水面水面下降一米，即此时y=-3.新知探究探究2在建立好坐标系之后，请同学们规范求解.

想一想

新知探究

①水面在拱顶下方，纵坐标为负数

易错提醒：

反思感悟本题的求解过程中有两个关键环节：一是由于题目中没有平面直角坐标系且(2)中所得的结果与平面直角坐标系的位置无关，所以建立的平面直角坐标系应方便于问题的求解，如本题，此时得到的二次函数解析式最简单，则有效地减小了后续解题的运算量；二是建立如图所示的平面直角坐标系后，某些点的坐标可能会出现负值.应用1

池塘问题

知识小结思考解决实物抛物线问题的一般步骤是什么？建立平面直角坐标系的原则是什么？最简便的方法是什么？①实物抽象为抛物线②建立适当的平面直角坐标系（优先顶点为原点）③设出对应的二次函数解析式④用待定系数法求解析式⑤代入求解，结合实际意义得出结论跟踪训练

如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分.经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米.(1)在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；解以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A作垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.yO(2,1)(-2,1)水面x(0,3)水面下降一米，即此时y=0.虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的.你还有其他的方法吗？

yO(2,0)(-2,0)x(0,2)

还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算.新知巩固

拱桥模型

【分析】本题考查了二次函数的应用的拱桥模型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

设抛物线的解析式为：

新知巩固

拱桥模型

(2)结合(1)中所画图象，求出该抛物线表示的二次函数；

(3)现有一游船(截面为矩形)宽度为4米，顶棚到水面的高度为2.8米.当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于0.5米，请判断该游船能否安全通过此拱桥.

随堂演练基础巩固1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为(精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计)()A.9.2m B.9.1mC.9m D.5.1mB2.某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是

.y=-3.75x2AB综合应用3.某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(如图)，若抛物线最高点M离墙1米，离地面

米，求水流落地点B离墙的距离.

A．25米 B