有限元法基础考试题目

有限元法基础考试题目一、选择题（20分）1.有限元法的基本思想是（）A.将连续体离散为有限个简单的单元B.用解析方法求解复杂问题C.通过实验方法获取结果D.利用经验公式直接计算2.有限元法中，形函数的主要作用是（）A.描述单元内部位移分布B.计算单元刚度矩阵C.确定边界条件D.求解系统方程组3.在有限元分析中，刚度矩阵的物理意义是（）A.结构抵抗变形的能力B.结构的质量分布特性C.结构的热传导特性D.结构的阻尼特性4.有限元法中，等参单元的主要特点是（）A.单元内坐标和整体坐标采用相同的插值函数B.单元形状规则C.计算精度低D.只适用于线性问题5.有限元分析中，收敛性是指（）A.随着网格细化，解趋近于精确解B.计算速度随网格细化而提高C.内存需求随网格细化而减少D.计算误差随网格细化而增大6.在有限元法中，Gauss积分的主要作用是（）A.计算单元刚度矩阵B.进行数值积分C.求解特征值问题D.处理边界条件7.有限元分析中，边界条件的类型不包括（）A.Dirichlet边界条件B.Neumann边界条件C.Robin边界条件D.Fourier边界条件8.在有限元法中，单元刚度矩阵的性质不包括（）A.对称性B.奇异性C.正定性D.稀疏性9.有限元法中，协调元是指（）A.位移在单元间连续B.应力在单元间连续C.应变在单元间连续D.边界条件在单元间连续10.有限元分析中，收敛准则不包括（）A.位移收敛B.力收敛C.能量收敛D.温度收敛二、填空题（20分）1.有限元法的基本步骤包括：离散化、单元分析、整体分析、________和结果后处理。2.在有限元法中，形函数必须满足________条件，即在节点处形函数值为1，在其他节点处为0。3.有限元分析中，刚度矩阵的组装遵循________原理，即每个自由度上的贡献来自相关单元。4.在有限元法中，Gauss积分点的数量与积分精度有关，对于n次多项式，需要至少________个Gauss积分点才能精确积分。5.有限元分析中，收敛性要求随着网格尺寸的减小，数值解趋近于________。6.在有限元法中，等参单元是指单元内坐标和整体坐标采用________的插值函数。7.有限元分析中，边界条件可以分为________边界条件和________边界条件。8.在有限元法中，单元刚度矩阵的积分通常采用________方法进行数值计算。9.有限元分析中，收敛性要求形函数必须满足________和________条件。10.在有限元法中，协调元要求位移在________连续，非协调元则允许在________处不连续。三、判断题（10分）1.有限元法是一种精确求解微分方程的数值方法。（）2.形函数在单元内部必须满足完备性条件。（）3.有限元分析中，网格划分越细，计算结果一定越精确。（）4.有限元法中，单元刚度矩阵总是正定的。（）5.在有限元法中，Gauss积分点越多，计算精度一定越高。（）6.有限元分析中，边界条件的施加方式不影响计算结果。（）7.有限元法中，等参单元可以更好地拟合复杂几何形状。（）8.有限元分析中，收敛性要求形函数必须满足协调性条件。（）9.有限元法中，单元刚度矩阵的组装遵循直接刚度法。（）10.有限元分析中，网格划分的质量只影响计算精度，不影响计算稳定性。（）四、简答题（30分）1.简述有限元法的基本思想和主要步骤。2.解释有限元法中形函数的概念及其性质。3.说明有限元法中刚度矩阵的物理意义及其性质。4.解释有限元法中等参单元的概念及其优势。5.说明有限元法中收敛性的概念及其要求。6.简述有限元法中边界条件的类型及其处理方法。7.解释有限元法中Gauss积分的原理及其应用。8.说明有限元法中协调元与非协调元的区别。9.简述有限元法中网格划分的原则和注意事项。10.解释有限元法中误差的主要来源及其控制方法。五、计算题（20分）1.考虑一个一维杆单元，长度为L，截面积为A，弹性模量为E。假设单元的位移场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的刚度矩阵。2.考虑一个二维三角形单元，节点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)。假设位移场为线性分布，形函数为N1=1-x-y，N2=x，N3=y。请计算该单元的刚度矩阵。3.考虑一个一维热传导问题，长度为L，热导率为k。假设温度场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的传导矩阵。4.考虑一个一维杆单元，长度为L，截面积为A，密度为ρ。假设位移场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的质量矩阵。5.考虑一个二维四边形单元，节点坐标为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)。假设位移场为双线性分布，形函数为N1=(1-x)(1-y)/4，N2=(1+x)(1-y)/4，N3=(1+x)(1+y)/4，N4=(1-x)(1+y)/4。请计算该单元的刚度矩阵。答案：一、选择题（20分）1.A.将连续体离散为有限个简单的单元解释：有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为有限个简单的单元，在每个单元内假设简单的位移场，然后通过单元分析和整体分析得到整个系统的解。2.A.描述单元内部位移分布解释：形函数用于描述单元内部位移分布，它将节点位移与单元内部任意点的位移联系起来，是有限元法中非常重要的概念。3.A.结构抵抗变形的能力解释：刚度矩阵表示结构抵抗变形的能力，它描述了节点力与节点位移之间的关系，是有限元分析中的核心矩阵。4.A.单元内坐标和整体坐标采用相同的插值函数解释：等参单元的主要特点是单元内坐标和整体坐标采用相同的插值函数，这使得等参单元能够更好地拟合复杂几何形状。5.A.随着网格细化，解趋近于精确解解释：有限元分析中的收敛性是指随着网格细化，数值解趋近于精确解，这是有限元法的重要性质。6.B.进行数值积分解释：在有限元法中，Gauss积分主要用于进行数值积分，特别是在计算单元刚度矩阵和质量矩阵时。7.D.Fourier边界条件解释：有限元分析中，边界条件通常包括Dirichlet边界条件（位移边界条件）、Neumann边界条件（力边界条件）和Robin边界条件（混合边界条件），但不包括Fourier边界条件。8.D.稀疏性解释：单元刚度矩阵具有对称性、奇异性（在未施加边界条件前）和正定性，但不一定具有稀疏性，稀疏性通常是整体刚度矩阵的性质。9.A.位移在单元间连续解释：协调元是指位移在单元间连续的单元，这是为了保证解的收敛性。10.D.温度收敛解释：有限元分析中，收敛准则通常包括位移收敛、力收敛和能量收敛，但不包括温度收敛，除非是热传导问题。二、填空题（20分）1.求解方程组解释：有限元法的基本步骤包括离散化、单元分析、整体分析、求解方程组和结果后处理。其中求解方程组是得到数值解的关键步骤。2.单位分片解释：形函数必须满足单位分片条件，即在节点处形函数值为1，在其他节点处为0，这是形函数的基本性质之一。3.直接刚度解释：刚度矩阵的组装遵循直接刚度原理，即每个自由度上的贡献来自相关单元，这是有限元法中组装整体刚度矩阵的基本方法。4.(n+1)/2解释：在Gauss积分中，对于n次多项式，需要至少(n+1)/2个Gauss积分点才能精确积分。例如，对于线性多项式（n=1），需要1个Gauss积分点；对于二次多项式（n=2），需要2个Gauss积分点。5.精确解解释：有限元分析中的收敛性要求随着网格尺寸的减小，数值解趋近于精确解，这是有限元法的重要性质。6.相同解释：等参单元是指单元内坐标和整体坐标采用相同的插值函数，这使得等参单元能够更好地拟合复杂几何形状。7.Dirichlet,Neumann解释：有限元分析中，边界条件可以分为Dirichlet边界条件（位移边界条件）和Neumann边界条件（力边界条件），以及混合边界条件（Robin边界条件）。8.Gauss积分解释：在有限元法中，单元刚度矩阵的积分通常采用Gauss积分方法进行数值计算，这是一种高效的数值积分方法。9.完备性,协调性解释：有限元分析中的收敛性要求形函数必须满足完备性条件和协调性条件，完备性条件保证单元能表示刚体位移和常应变状态，协调性条件保证位移在单元间连续。10.单元边界,节点解释：有限元法中，协调元要求位移在单元边界连续，非协调元则允许在节点处不连续，但通常要求在单元内部满足一定的连续性条件。三、判断题（10分）1.错误解释：有限元法是一种近似求解微分方程的数值方法，而不是精确求解方法。虽然随着网格细化，解可以趋近于精确解，但一般情况下无法得到精确解。2.正确解释：形函数在单元内部必须满足完备性条件，即能够表示刚体位移和常应变状态，这是保证有限元解收敛性的必要条件。3.错误解释：有限元分析中，网格划分越细，计算结果不一定越精确。如果网格划分不当，可能会导致数值误差增大，甚至出现网格畸变等问题。4.错误解释：有限元法中，单元刚度矩阵在没有施加边界条件前是奇异的，因为存在刚体位移。施加适当的边界条件后，刚度矩阵变为正定。5.错误解释：在有限元法中，Gauss积分点越多，计算精度不一定越高。过多的积分点会增加计算量，而精度提高有限；过少的积分点则可能导致积分精度不足。6.错误解释：有限元分析中，边界条件的施加方式会影响计算结果。不同的边界条件会导致不同的解，因此必须正确施加边界条件。7.正确解释：有限元法中，等参单元采用相同的插值函数描述几何和场变量，这使得等参单元能够更好地拟合复杂几何形状，提高计算精度。8.错误解释：有限元分析中的收敛性要求形函数必须满足完备性条件，但不一定要求满足协调性条件。非协调元在某些情况下也能得到收敛的解。9.正确解释：有限元法中，单元刚度矩阵的组装遵循直接刚度法，即根据节点自由度编号，将单元刚度矩阵组装到整体刚度矩阵的相应位置。10.错误解释：有限元分析中，网格划分的质量既影响计算精度，也影响计算稳定性。网格畸变可能导致数值不稳定，甚至计算失败。四、简答题（30分）1.简述有限元法的基本思想和主要步骤。有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为有限个简单的单元，在每个单元内假设简单的位移场，然后通过单元分析和整体分析得到整个系统的解。这种方法结合了解析法和数值法的优点，能够处理复杂几何形状和边界条件的问题。有限元法的主要步骤包括：-离散化：将连续的求解区域划分为有限个简单的单元，并确定节点位置。-单元分析：在每个单元内，假设简单的位移场，建立单元刚度矩阵和质量矩阵。-整体分析：将单元矩阵组装成整体矩阵，形成系统的代数方程组。-求解方程组：求解代数方程组，得到节点位移或其他未知量。-结果后处理：根据节点位移或其他未知量，计算单元内的应力、应变等，并进行可视化处理。2.解释有限元法中形函数的概念及其性质。形函数是有限元法中描述单元内部位移分布的函数，它将节点位移与单元内部任意点的位移联系起来。形函数通常表示为：u(x)=N1(x)u1+N2(x)u2+...+Nn(x)un其中，u(x)是单元内部任意点的位移，ui是节点i的位移，Ni(x)是节点i的形函数。形函数具有以下性质：-单位分片性：在节点i处，Ni(x)=1；在其他节点j(j≠i)处，Ni(x)=0。-完备性：形函数能够表示刚体位移和常应变状态，这是保证有限元解收敛性的必要条件。-协调性：对于协调元，形函数保证位移在单元间连续。-线性无关性：形函数是线性无关的，即它们之间不能相互表示。3.说明有限元法中刚度矩阵的物理意义及其性质。刚度矩阵是有限元法中表示结构抵抗变形能力的矩阵，它描述了节点力与节点位移之间的关系。刚度矩阵的物理意义是：当节点产生单位位移时，需要在节点上施加的力。刚度矩阵具有以下性质：-对称性：刚度矩阵是对称的，即Kij=Kji。这是因为应变能是位移的二次函数，且满足能量守恒定律。-奇异性：在没有施加边界条件前，刚度矩阵是奇异的，因为存在刚体位移。施加适当的边界条件后，刚度矩阵变为非奇异。-正定性：施加适当的边界条件后，刚度矩阵是正定的，即对于任何非零位移向量u，有u^TKu>0。这是因为应变能总是非负的。-带状性：刚度矩阵通常是带状矩阵，即非零元素集中在主对角线附近。这是因为每个节点只与相邻节点有直接联系。4.解释有限元法中等参单元的概念及其优势。等参单元是指单元内坐标和整体坐标采用相同的插值函数的单元。在等参单元中，几何坐标和场变量（如位移）都使用相同的形函数进行插值：x=ΣNi(xi)xiu=ΣNi(ui)ui其中，x是整体坐标，u是场变量，xi和ui分别是节点i的整体坐标和场变量值，Ni是形函数。等参单元具有以下优势：-能够更好地拟合复杂几何形状：等参单元可以通过调整节点位置来拟合各种复杂的几何形状。-计算精度高：等参单元能够精确表示高阶场变量，提高计算精度。-数值稳定性好：等参单元的数值积分通常比较稳定，能够避免数值误差。-适应性强：等参单元可以用于各种类型的分析，如结构分析、热传导分析等。5.说明有限元法中收敛性的概念及其要求。收敛性是有限元法的重要性质，它指的是随着网格细化，数值解趋近于精确解的能力。收敛性是保证有限元解可靠性的关键因素。有限元法的收敛性要求包括：-完备性：形函数必须能够表示刚体位移和常应变状态。这是保证有限元解收敛性的必要条件。-协调性：对于协调元，位移在单元间必须连续。这保证了应变能的正确计算。-网格细化：随着网格尺寸的减小，数值解应该趋近于精确解。-积分精度：数值积分的精度应该足够高，以保证刚度矩阵和质量矩阵的计算精度。6.简述有限元法中边界条件的类型及其处理方法。有限元分析中，边界条件可以分为以下几种类型：-Dirichlet边界条件：也称为位移边界条件或essential边界条件，它直接指定节点的位移值。-Neumann边界条件：也称为力边界条件或natural边界条件，它指定节点上的力或面力。-Robin边界条件：也称为混合边界条件，它同时涉及位移和力的关系。边界条件的处理方法包括：-直接代入法：对于Dirichlet边界条件，可以直接将已知位移值代入方程组，并修改相应的方程。-乘子法：对于复杂的边界条件，可以使用拉格朗日乘子法来处理。-罚函数法：通过引入罚函数项来近似处理边界条件，这种方法简单但可能会影响计算精度。-对角线元素修改法：通过修改刚度矩阵的对角线元素来施加边界条件，这种方法简单有效。7.解释有限元法中Gauss积分的原理及其应用。Gauss积分是一种高效的数值积分方法，它通过在积分区间内选取特定的积分点（Gauss点）和相应的权重系数，来近似计算积分值。Gauss积分的基本原理是：对于n次多项式，可以选择适当的n个Gauss点和权重系数，使得积分结果精确等于多项式的积分值。Gauss积分在有限元法中的应用主要包括：-计算单元刚度矩阵：刚度矩阵通常涉及复杂的积分，可以使用Gauss积分来近似计算。-计算单元质量矩阵：质量矩阵的计算也需要进行积分，Gauss积分是一种有效的数值积分方法。-计算单元载荷向量：对于分布载荷，需要计算积分，可以使用Gauss积分来近似计算。-计算单元应力：应力计算也需要进行积分，可以使用Gauss积分来近似计算。Gauss积分的优点是：对于给定的积分点数量，Gauss积分的精度最高；对于高维积分，Gauss积分的效率较高。8.说明有限元法中协调元与非协调元的区别。协调元与非协调元的主要区别在于位移连续性的要求：-协调元：要求位移在单元间连续，即相邻单元在公共边界上的位移相同。这保证了应变能的正确计算，使得有限元解能够收敛于精确解。-非协调元：允许位移在单元间不连续，即相邻单元在公共边界上的位移可以不同。非协调元在某些情况下能够提高计算精度，但需要满足一定的条件才能保证收敛性。协调元的优点是：理论基础牢固，解的收敛性有保证；缺点是：对于复杂问题，协调元的构造可能比较困难。非协调元的优点是：构造灵活，能够更好地适应复杂问题；缺点是：解的收敛性需要额外验证，某些非协调元可能不收敛。在实际应用中，协调元和非协调元都有广泛应用，选择哪种单元取决于具体问题的特点和计算要求。9.简述有限元法中网格划分的原则和注意事项。网格划分是有限元分析中的重要步骤，网格的质量直接影响计算精度和计算效率。网格划分的原则和注意事项包括：-网格密度：在梯度变化大的区域（如应力集中区），应该采用较密的网格；在梯度变化小的区域，可以采用较稀的网格。-网格形状：网格应该尽量规则，避免出现畸变严重的网格。对于四边形单元，尽量接近正方形；对于三角形单元，尽量接近等边三角形。-网格过渡：不同密度网格之间的过渡应该平滑，避免出现网格尺寸突变。-边界拟合：网格应该尽量拟合几何边界，特别是在曲边界附近，应该采用较密的网格。-单元类型：根据问题的特点选择合适的单元类型，如线性单元、二次单元等。-网格验证：通过网格收敛性分析，验证网格划分是否足够精细，以确保计算精度。网格划分的注意事项包括：-避免出现过小的单元，这可能导致数值不稳定和计算时间过长。-避免出现长宽比过大的单元，这可能导致数值误差增大。-在关键区域（如载荷作用点、约束点附近）应该采用较密的网格。-对于动态问题，应该考虑网格对频率计算的影响，避免出现虚假频率。10.解释有限元法中误差的主要来源及其控制方法。有限元分析中的误差主要来源于以下几个方面：-离散化误差：由于将连续问题离散为有限个单元而产生的误差，随着网格细化，离散化误差会减小。-数值积分误差：由于使用数值积分近似计算刚度矩阵和质量矩阵而产生的误差，增加积分点数量可以减小这种误差。-边界条件误差：由于边界条件近似处理而产生的误差，精确施加边界条件可以减小这种误差。-截断误差：由于形函数截断高阶项而产生的误差，使用高阶形函数可以减小这种误差。误差的控制方法包括：-网格细化：通过细化网格减小离散化误差。-提高积分精度：通过增加积分点数量减小数值积分误差。-精确施加边界条件：通过精确施加边界条件减小边界条件误差。-使用高阶形函数：通过使用高阶形函数减小截断误差。-收敛性分析：通过网格收敛性分析，评估网格细化对结果的影响，确定合适的网格密度。-误差估计：通过后验误差估计方法，评估局部误差分布，指导网格细化。五、计算题（20分）1.考虑一个一维杆单元，长度为L，截面积为A，弹性模量为E。假设单元的位移场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的刚度矩阵。解：对于一维杆单元，位移场可以表示为：u(x)=N1(x)u1+N2(x)u2=(1-x/L)u1+(x/L)u2其中，u1和u2分别是节点1和节点2的位移。应变可以表示为：ε=du/dx=d[(1-x/L)u1+(x/L)u2]/dx=(-1/L)u1+(1/L)u2应力可以表示为：σ=Eε=E[(-1/L)u1+(1/L)u2]应变能可以表示为：U=(1/2)∫Vε^TEεdV=(1/2)∫0^Lε^TEεAdx=(1/2)∫0^L[(-1/L)u1+(1/L)u2]^TE[(-1/L)u1+(1/L)u2]Adx=(1/2)EA/L∫0^L(u1-u2)^2dx=(1/2)EA/L(u1-u2)^2L=(1/2)EA(u1-u2)^2/L根据虚功原理，节点力可以表示为：F1=∂U/∂u1=EA(u1-u2)/LF2=∂U/∂u2=EA(u2-u1)/L因此，单元刚度矩阵可以表示为：[F1][EA/L-EA/L][u1][F2]=[-EA/LEA/L][u2]所以，单元刚度矩阵为：K=(EA/L)[1-1][-11]2.考虑一个二维三角形单元，节点坐标为(0,0)、(1,0)、(0,1)。假设位移场为线性分布，形函数为N1=1-x-y，N2=x，N3=y。请计算该单元的刚度矩阵。解：对于二维三角形单元，位移场可以表示为：u(x,y)=N1(x,y)u1+N2(x,y)u2+N3(x,y)u3v(x,y)=N1(x,y)v1+N2(x,y)v2+N3(x,y)v3其中，u和v分别是x和y方向的位移，ui和vi分别是节点i在x和y方向的位移。应变可以表示为：εx=∂u/∂x=∂[N1u1+N2u2+N3u3]/∂x=∂[(1-x-y)u1+xu2+yu3]/∂x=-u1+u2εy=∂v/∂y=∂[N1v1+N2v2+N3v3]/∂y=∂[(1-x-y)v1+xv2+yv3]/∂y=-v1+v3γxy=∂u/∂y+∂v/∂x=∂[(1-x-y)u1+xu2+yu3]/∂y+∂[(1-x-y)v1+xv2+yv3]/∂x=-u1+u3-v1+v2应变可以表示为矩阵形式：[εx][-100][u1][-100010][u1][εy]=[001][v1]=[000-101][v1][γxy][010][u2][010-100][u2][v2][u3][v3]简化表示为：ε=Bd其中，B是应变矩阵，d是位移向量。应变能可以表示为：U=(1/2)∫Vε^TDεdV=(1/2)∫Aε^TDεtdA其中，D是弹性矩阵，t是厚度。对于平面应力问题，弹性矩阵D为：D=[E/(1-ν^2)νE/(1-ν^2)0][νE/(1-ν^2)E/(1-ν^2)0][00G]其中，G=E/[2(1+ν)]。单元刚度矩阵可以表示为：K=∫AB^TDBtdA由于应变矩阵B是常数矩阵（对于线性三角形单元），所以：K=B^TDBtA其中，A是三角形单元的面积，A=1/2。计算应变矩阵B：B=[-100010][000-101][010-100]计算B^TDB：B^TDB=[-100][E/(1-ν^2)νE/(1-ν^2)0][-100][001][νE/(1-ν^2)E/(1-ν^2)0][000][000][00G][010][0-10][-100][100][001][010][0-10]经过矩阵乘法运算，得到：B^TDB=[E/(1-ν^2)νE/(1-ν^2)0-E/(1-ν^2)-νE/(1-ν^2)0][νE/(1-ν^2)E/(1-ν^2)0-νE/(1-ν^2)-E/(1-ν^2)0][00G/200-G/2][-E/(1-ν^2)-νE/(1-ν^2)0E/(1-ν^2)νE/(1-ν^2)0][-νE/(1-ν^2)-E/(1-ν^2)0νE/(1-ν^2)E/(1-ν^2)0][00-G/200G/2]因此，单元刚度矩阵为：K=(t/2)B^TDB其中，t/2是面积因子。3.考虑一个一维热传导问题，长度为L，热导率为k。假设温度场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的传导矩阵。解：对于一维热传导问题，温度场可以表示为：T(x)=N1(x)T1+N2(x)T2=(1-x/L)T1+(x/L)T2其中，T1和T2分别是节点1和节点2的温度。温度梯度可以表示为：dT/dx=d[(1-x/L)T1+(x/L)T2]/dx=(-1/L)T1+(1/L)T2热流密度可以表示为：q=-kdT/dx=-k[(-1/L)T1+(1/L)T2]=(k/L)(T1-T2)热能可以表示为：U=(1/2)∫V(dT/dx)^Tk(dT/dx)dV=(1/2)∫0^L(dT/dx)^2kAdx=(1/2)∫0^L[(-1/L)T1+(1/L)T2]^2kAdx=(1/2)kA/L^2∫0^L(T1-T2)^2dx=(1/2)kA/L^2(T1-T2)^2L=(1/2)kA(T1-T2)^2/L根据虚功原理，节点热流可以表示为：Q1=∂U/∂T1=kA(T1-T2)/LQ2=∂U/∂T2=kA(T2-T1)/L因此，单元传导矩阵可以表示为：[Q1][kA/L-kA/L][T1][Q2]=[-kA/LkA/L][T2]所以，单元传导矩阵为：K=(kA/L)[1-1][-11]4.考虑一个一维杆单元，长度为L，截面积为A，密度为ρ。假设位移场为线性分布，形函数为N1=1-x/L，N2=x/L。请推导该单元的质量矩阵。解：对于一维杆单元，位移场可以表示为：u(x)=N1(x)u1+N2(x)u2=(1-x/L)u1+(x/L)u2其中，u1和u2分别是节点1和节点2的位移。动能可以表示为：T=(1/2)∫Vρ(du/dt)^2dV=(1/2)∫0^Lρ(du/dt)^2Adx=(1/2)ρA∫0^L[(1-x/L)du1/dt+(x/L)du2/dt]^2dx=(1/2)ρA∫0^L[(1-x/L)v1+(x/L)v2]^2dx=(1/2)ρA∫0^L[(1-2x/L+x^2/L^2)v1^2+(2x/L-2x^2/L^2)v1v2+(x^2/L^2)v2^2]dx=(1/2)ρA[∫0^L(1-2x/L+x^2/L^2)dxv1^2+∫0^L(2x/L-2x^2/L^2)dxv1v2+∫0^L(x^2/L^2)dxv2^2]=(1/2)ρA[Lv1^2+(L/3)v2^2+(L/3)v1v2]其中，v1=du1/dt，v2=du2/dt。质量矩阵可以表示为：[T]=(1/2)[v1v2][ρAL/3ρAL/6][v1][ρAL/6ρAL/3][v2]因此，单元质量矩阵为：M=(ρAL/3)[11/2][1/21]5.考虑一个二维四边形单元，节点坐标为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)。假设位移场为双线性分布，形函数为N1=(1-x)(1-y)/4，N2=(1+x)(1-y)/4，N3=(1+x)(1+y)/4，N4=(1-x)(1+y)/4。请计算该单元的刚度矩阵。解：对于二维四边形单元，位移场可以表示为：u(x,y)=N1(x,y)u1+N2(x,y)u2+N3(x,y)u3+N4(x,y)u4v(x,y)=N1(x,y)v1+N2(x,y)v2+N3(x,y)v3+N4(x,y)v4其中，u和v分别是x和y方向的位移，ui和vi分别是节点i在x和y方向的位移。应变可以表示为：εx=∂u/∂x=∂[N1u1+N2u2+N3u3+N4u4]/∂xεy=∂v/∂y=∂[N1v1+N2v2+N3v3+N4v4]/∂yγxy=∂u/∂y+∂v/∂x=∂[N1u1+N2u2+N3u3+N4u4]/∂y+∂[N1v1+N2v2+N3v3+N4v4]/∂x计算形函数的导数：∂N1/∂x=-(1-y)/4,∂N1/∂y=-(1-x)/4∂N2/∂x=(1-y)/4,∂N2/∂y=-(1+x)/4∂N3/∂x=(1+y)/4,∂N3/∂y=(1+x)/4∂N4/∂x=-(1+y)/4,∂N4/∂y=(1-x)/4因此，应变可以表示为：εx=[-(1-y)/4]u1+[(1-y)/4]u2+[(1+y)/4]u3+[-(1+y)/4]u4εy=[-(1-x)/4]v1+[-(1+x)/4]v2+[(1+x)/4]v3+[(1-x)/4]v4γxy=[-(1-x)/4]u1+[-(1+x)/4]u2+[(1+x)/4]u3+[(1-x)/4]u4+[-(1-y)/4]v1+[-(1+y)/4]v2+[(1+y)/4]v3+[(1-y)/4]v4应变可以表示为矩阵形式：[εx][-(1-y)/4(1-y)/4(1+y)/4-(1+y)/40000][u1][εy]=[0000-(1-x)/4-(1+x)/4(1+x)/4(1-x)/4][v1][γxy][-(1-x)/4-(1+x)/4(1+x)/4(1-x)/4-(1-y)/4-(1+y)/4(1+y)/4(1-y)/4][u2][v2]