2026年（北师大版）高中数学必修四第4讲-三角函数的图像与性质 含解析

能力提升一、选择题1．若函数f(x)＝sineq\f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A．eq\f(π,2) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(3π,2) D．eq\f(5π,3)[答案]C[解析]本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y＝sineq\f(x＋φ,3)是偶函数知eq\f(φ,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，即φ＝eq\f(3π,2)＋3kπ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝eq\f(3π,2)适合．本题也可用偶函数定义求解．2．若A、B是钝角△ABC的两个锐角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]∵A、B是钝角△ABC的两个锐角，∴A＋B<eq\f(π,2)，0<A<eq\f(π,2)－B<eq\f(π,2)，0<B<eq\f(π,2)－A<eq\f(π,2).∵y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，∴sinA<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－B))，sinB<sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))，∴sinA<cosB，sinB<cosA，∴点P在第四象限．3．已知方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则a的范围是()A．[－2,5] B．(－∞，5]C．[－4,4] D．[0,5][答案]C[解析]原式可化为：(sinx－2)2＝5－a.∵－1≤sinx≤1，∴1≤(sinx－2)2≤9，∴1≤5－a≤9，解得a∈[－4,4]．4．函数y＝eq\f(7,4)＋sinx－sin2x的最大值是()A．eq\f(7,4) B．－eq\f(1,4)C．2 D．不存在[答案]C[解析]y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2＋2，∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝eq\f(1,2)时，函数y＝－(sinx－eq\f(1,2))2＋2取最大值2.二、填空题5．函数y＝a＋bsinx的最大值是eq\f(3,2)，最小值为－eq\f(1,2)，则a＝________，b＝________.[答案]eq\f(1,2)±1[解析]当b>0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝1)).当b<0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝－1)).6．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的单调递减区间为________．[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)[解析]y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))的递减区间，即为函数y′＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的递增区间，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z，∴函数y＝sin(－x＋eq\f(π,4))的单调递减区间为[－eq\f(π,4)＋2kπ，eq\f(3π,4)＋2kπ](k∈Z)．三、解答题7．已知函数f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))，求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的取值集合．[解析]当2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值1，此时x＝eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z.即f(x)的最大值是1，取最大值时x的取值集合为{x|x＝eq\f(3π,8)＋kπ，k∈Z}．8．用五点法画出函数f(x)＝3sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))＋3在一个周期内的图象．[解析]列表如下：x－eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy36303描点连线：9．已知函数f(x)＝logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x)).(1)求f(x)的定义域、值域和单调区间；(2)判断f(x)的奇偶性．[解析](1)要使函数有意义，须sin2x>0，∴2kπ<2x<2kπ＋π，∴kπ<x<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，∴f(x)定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z.∵0<sin2x≤1，∴0<eq\f(1,2)sin2x≤eq\f(1,2)，∴logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x))≥1，即值域为[1，＋∞)．令y＝sin2x，则函数y＝sin2x的增区间即为函数f(x)的减区间，函数y＝sin2x的减区间即为函数f(x)的增区间．∴函数f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\(\