2026年（北师大版）高中数学必修四第10讲-简单的三角恒等变换 含解析

/简单的三角恒等变换____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.降幂公式：1、公式推导：试以表示．二、积化和差、和差化积公式：公式推导：（１）；（２）．三、本章节公式汇编：例1已知.练习：在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S<1.例2证明=tan(+).练习：已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.例3求证:.练习：1.求证:.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.3.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为()A.5B.-5C.D.4.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于()A.B.C.D.5.已知sinθ=,3π<θ<,则tan_________________.例4（1）化简:.（2）化简:sin50°(1+tan10°).例5已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.变式训练(2007年高考浙江卷,12)已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋eq\f(π,4))－sin2(x＋eq\f(π,4))，x∈R，则函数f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝()A．2π B．π C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，eq\f(\r(2),2))的模为eq\f(\r(3),2)，则cos2α＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)3．已知taneq\f(α,2)＝3，则cosα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5) C.eq\f(4,15) D．－eq\f(3,5)4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形5．(2010·绵阳市诊断)函数f(x)＝2sin(x－eq\f(π,2))＋|cosx|的最小正周期为()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π6．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为()A．±eq\f(\r(17),3) B．－eq\f(\r(17),3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(17),3)7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()A．x≤y B．x＜yC．x≥y D．x＞y(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是()A．2ab>c2 B．a2＋b2<c2C．2bc>a2 D．b2＋c2<a28．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移eq\f(π,2)个单位长度B．向左平移eq\f(π,4)个单位长度C．向右平移eq\f(π,2)个单位长度D．向右平移eq\f(π,4)个单位长度9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，若a·b＝eq\f(2,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,7) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)10．(2010·湖北黄冈模拟)若eq\f(5π,2)≤α≤eq\f(7π,2)，则eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)等于()A．－2coseq\f(α,2) B．2coseq\f(α,2)C．－2sineq\f(α,2) D．2sineq\f(α,2)二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，则cos2θ＝________.12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝eq\f(tanx－tan3x,1＋2tan2x＋tan4x)的最大值与最小值的积是________．13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2eq\f(θ,2)＝________.(理)eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值及最小值．16．(文)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝eq\f(1,3)，f(eq\f(C,2))＝－eq\f(1,4)，且C为锐角，求sinA的值．(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A的值；(2)求eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))的值．17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为eq\f(π,2).(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求点A的坐标．(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求eq\f(1＋2sin2x,cos2x－sinxcosx)的值．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)3．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π4．若tanα＝3，则eq\f(sin2α,cos2α)的值等于()A．2 B．3C．4 D．65．计算eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)等于()A．－2cos5° B．2cos5°C．－2sin5° D．2sin5°6．eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝()A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)二、填空题7．若tanθ＝eq\f(1,3)，则cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝________.8．taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))的值等于________．三、解答题9．已知cosα＝－eq\f(12,13)，α∈(π，eq\f(3π,2))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．能力提升一、选择题1．设a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b(cosα，eq\f(1,3))，且a∥b，则锐角α为()A．30° B．60°C．75° D．45°2．若α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，则eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)的值为()A．2coseq\f(α,2) B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2) D．－2sineq\f(α,2)3．设a＝eq\f(\r(2),2)(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝eq\f(\r(3),2)，则()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c4．已知等腰三角形底角的余弦值为eq\f(2,3)，则顶角的正弦值是()A．eq\f(4\r(5),9) B．eq\f(2\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9) D．－eq\f(2\r(5),9)二、填空题5．函数f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))的最小正周期是________．6．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，则sin2θ＝________.三、解答题7．若cos(eq\f(π,4)＋x)＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<x<eq\f(7π,4)，求：(1)cosx＋sinx的值；(2)eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．8．(2014·江苏，15)已知α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sin(eq\f(π,4)＋α)的值；(2)求cos(eq\f(5π,6)－2α)的值．9．(2014·天津理，15)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋eq\f(π,3))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．简单的三角恒等变换____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.一、降幂公式：1、公式推导：试以表示．解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以代2，代）解：因为，可以得到；因为，可以得到．两式相除可以得到．点评：⑴以上结果还可以表示为：[ww#w~.z%zst@ep^.com]并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.二、积化和差公式：1、公式推导:（１）；（２）．证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．两式相加得；即；（２）由（１）得①；设，那么．[来&源~:*zzstep.co@m%]把的值代入①式中得．三、本章公式梳理：例1已知.证明一:∵,∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B.∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.∴cos2B+sin2B=1.证明二:令=sinα,则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.∴=cos2B+sin2B=1.点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.练习：在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S<1.证明:∵S=又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,∴tanA·tanB>1.∴S<1.例2证明=tan(+).解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得=tan(+).点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.练习：已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,②①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(-2β).∵α∈(0,),∴tanα>0.∴tan(-2β)>0.又∵β∈(0,),∴<-2β<.结合tan(-2β)>0,得0<-2β<.∴由tanα=tan(-2β),得α=-2β,即α+2β=.例3求证:证明:证法一:左边===右边.∴原式成立.证法二:右边=1-===左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力.练习：1.求证:.分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于,此式右边就是tan2θ.证明:原等式等价于.而上式左边==tan2右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理.证明:由sinβ=msin(2α+β)sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα](1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinαtan(α+β)=tanα.练习：1.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为()A.5B.-5C.D.2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于()A.B.C.D.3.已知sinθ=,3π<θ<,则tan_________________.解答:A2.D3.-3例4化简:.解:原式==tan.点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+tan10°).解:原式=sin50°=2sin50°·=2cos40°·=1.例5已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.解:由sinx-cosx=,得(sinx-cosx)2=,即1-2sinxcosx=,∴sinxcosx=.∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.练习：(2007年高考浙江卷,12)已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.答案:一、选择题1．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f(x)＝cos2(x＋eq\f(π,4))－sin2(x＋eq\f(π,4))，x∈R，则函数f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为eq\f(π,2)的奇函数D．最小正周期为eq\f(π,2)的偶函数[答案]A[解析]f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x为奇函数，周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(理)(2010·辽宁锦州)函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝()A．2π B．π C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,3)[答案]B[解析]y＝sin2x＋sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，∴最小正周期T＝π.2．(2010·重庆一中)设向量a＝(cosα，eq\f(\r(2),2))的模为eq\f(\r(3),2)，则cos2α＝()A．－eq\f(1,4) B．－eq\f(1,2) C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]∵|a|2＝cos2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝cos2α＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，∴cos2α＝eq\f(1,4)，∴cos2α＝2cos2α－1＝－eq\f(1,2).3．已知taneq\f(α,2)＝3，则cosα＝()A.eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5) C.eq\f(4,15) D．－eq\f(3,5)[答案]B[解析]cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(1－9,1＋9)＝－eq\f(4,5)，故选B.4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角的三角形[答案]B[解析]∵sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，∴eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)(1＋cosC)，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC，∴cos(A－B)＝1，∵－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△ABC为等腰三角形．5．(2010·绵阳市诊断)函数f(x)＝2sin(x－eq\f(π,2))＋|cosx|的最小正周期为()A.eq\f(π,2) B．π C．2π D．4π[答案]C[解析]f(x)＝－2cosx＋|cosx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－cosxcosx≥0,－3cosxcosx<0))，画出图象可知周期为2π.6．(2010·揭阳市模考)若sinx＋cosx＝eq\f(1,3)，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为()A．±eq\f(\r(17),3) B．－eq\f(\r(17),3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(17),3)[答案]D[解析]由sinx＋cosx＝eq\f(1,3)两边平方得，1＋2sinxcosx＝eq\f(1,9)，∴sin2x＝－eq\f(8,9)<0，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝eq\f(17,9)且sinx>cosx，∴sinx－cosx＝eq\f(\r(17),3)，故选D.7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是()A．x≤y B．x＜yC．x≥y D．x＞y[答案]D[解析]∵π>A＋B＞eq\f(π,2)，∴cos(A＋B)＜0，即cosAcosB－sinAsinB＜0，∴x＞y，故应选D.(理)(2010·皖南八校)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是()A．2ab>c2 B．a2＋b2<c2C．2bc>a2 D．b2＋c2<a2[答案]B[解析]∵cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，且A＋B＋C＝π，∴cos(π－A＋B)＋2sinA·sinB<0，∴cos(π－A)cosB－sin(π－A)sinB＋2sinAsinB<0，∴－cosAcosB＋sinAsinB<0，即cos(A＋B)>0，∴0<A＋B<eq\f(π,2)，∴C>eq\f(π,2)，由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，∴a2＋b2－c2<0，故应选B.8．(2010·吉林省调研)已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象()A．向左平移eq\f(π,2)个单位长度B．向左平移eq\f(π,4)个单位长度C．向右平移eq\f(π,2)个单位长度D．向右平移eq\f(π,4)个单位长度[答案]D[解析]y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos2x，将f(x)＝a·b＝2sinxcosx＝sin2x，向右平移eq\f(π,4)个单位得，sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝－cos2x，故选D.9．(2010·浙江金华十校模考)已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，若a·b＝eq\f(2,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,7) C.eq\f(1,7) D.eq\f(2,3)[答案]C[解析]a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝eq\f(2,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，∵eq\f(π,4)<α<π，∴cosα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1,7).10．(2010·湖北黄冈模拟)若eq\f(5π,2)≤α≤eq\f(7π,2)，则eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)等于()A．－2coseq\f(α,2) B．2coseq\f(α,2)C．－2sineq\f(α,2) D．2sineq\f(α,2)[答案]C[解析]∵eq\f(5π,2)≤α≤eq\f(7π,2)，∴eq\f(5π,4)≤eq\f(α,2)≤eq\f(7π,4).∴eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)＝eq\r(1＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＋eq\r(1－2sin\f(α,2)cos\f(α,2))＝eq\r(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)2)＋eq\r(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)2)＝－(sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2))－(sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2))＝－2sineq\f(α,2).二、填空题11．(2010·广东罗湖区调研)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，则cos2θ＝________.[答案]－eq\f(7,25)[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(3,5)，∴cosθ＝eq\f(3,5)，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25).12．(2010·江苏无锡市调研)函数y＝eq\f(tanx－tan3x,1＋2tan2x＋tan4x)的最大值与最小值的积是________．[答案]－eq\f(1,16)[解析]y＝eq\f(tanx－tan3x,1＋2tan2x＋tan4x)＝eq\f(tanx1－tan2x,1＋tan2x2)＝eq\f(tanx,1＋tan2x)·eq\f(1－tan2x,1＋tan2x)＝eq\f(sinxcosx,cos2x＋sin2x)＋eq\f(cos2x－sin2x,cos2x＋sin2x)＝eq\f(1,2)sin2x·cos2x＝eq\f(1,4)sin4x，所以最大与最小值的积为－eq\f(1,16).13．(2010·浙江杭州质检)函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．[答案]1[解析]y＝sinxcos10°＋cosxsin10°＋cosxcos40°－sinxsin40°＝(cos10°－sin40°)sinx＋(sin10°＋cos40°)cosx，其最大值为eq\r(cos10°－sin40°2＋sin10°＋cos40°2)＝eq\r(2＋2sin10°cos40°－cos10°sin40°)＝eq\r(2＋2sin－30°)＝1.14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2eq\f(θ,2)＝________.[答案]eq\f(1,3)[解析]设OC＝r，∵AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，∴AD＝eq\f(3r,2)，∴OD＝eq\f(r,2)，∴CD＝eq\f(\r(3),2)r，∴tanθ＝eq\f(CD,OD)＝eq\r(3)，∵tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(\r(3),3)(负值舍去)，∴tan2eq\f(θ,2)＝eq\f(1,3).(理)eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝________.[答案]－4eq\r(3)[解析]eq\f(\r(3)tan12°－3,4cos212°－2sin12°)＝eq\f(\r(3)sin12°－\r(3)cos12°,2cos24°sin12°cos12°)＝eq\f(2\r(3)sin12°－60°,\f(1,2)sin48°)＝－4eq\r(3).三、解答题15．(文)(2010·北京理)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(eq\f(π,3))的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析](1)f(eq\f(π,3))＝2coseq\f(2π,3)＋sin2eq\f(π,3)－4coseq\f(π,3)＝－1＋eq\f(3,4)－2＝－eq\f(9,4).(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3(cosx－eq\f(2,3))2－eq\f(7,3)，x∈R因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝eq\f(2,3)时，f(x)取最小值－eq\f(7,3).(理)(2010·广东罗湖区调研)已知a＝(cosx＋sinx，sinx)，b＝(cosx－sinx,2cosx)，设f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数f(x)的最大值及最小值．[解析](1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cos2x＋\f(\r(2),2)sin2x))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，∴当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)时，f(x)有最大值eq\r(2)；当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)时，f(x)有最小值－1.16．(文)设函数f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝eq\f(1,3)，f(eq\f(C,2))＝－eq\f(1,4)，且C为锐角，求sinA的值．[解析](1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋sin2x＝cos2xcoseq\f(π,3)－sin2xsineq\f(π,3)＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sin2x，所以函数f(x)的最大值为eq\f(1＋\r(3),2)，最小正周期为π.(2)f(eq\f(C,2))＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)sinC＝－eq\f(1,4)，所以sinC＝eq\f(\r(3),2)，因为C为锐角，所以C＝eq\f(π,3)，在△ABC中，cosB＝eq\f(1,3)，所以sinB＝eq\f(2\r(2),3)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(2)＋\r(3),6).(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，eq\o(OM,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB，cosC)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinC，sinB－cosB)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－eq\f(1,5).(1)求tan2A的值；(2)求eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))的值．[解析](1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－eq\f(1,5)，∴sinA＋cosA＝－eq\f(1,5)①两边平方并整理得：2sinAcosA＝－eq\f(24,25)，∵－eq\f(24,25)<0，∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinA－cosA＝eq\r(1－2sinAcosA)＝eq\f(7,5)②联立①②得：sinA＝eq\f(3,5)，cosA＝－eq\f(4,5)，∴tanA＝－eq\f(3,4)，∴tan2A＝eq\f(2tanA,1－tan2A)＝eq\f(－\f(3,2),1－\f(9,16))＝－eq\f(24,7).(2)∵tanA＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(2cos2\f(A,2)－3sinA－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))))＝eq\f(cosA－3sinA,cosA＋sinA)＝eq\f(1－3tanA,1＋tanA)＝eq\f(1－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))))＝13.17．(文)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为eq\f(π,2).(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求点A的坐标．[解析](1)f(x)＝sin2ax－eq\r(3)sinaxcosax＝eq\f(1－cos2ax,2)－eq\f(\r(3),2)sin2ax＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ax＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(3,2)，由题设知，函数f(x)的周期为eq\f(π,2)，∴a＝2，所以m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(3,2)，a＝2.(2)∵f(x)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴令sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6)))＝0，得4x＋eq\f(π,6)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq\f(kπ,4)－eq\f(π,24)(k∈Z)，由0≤eq\f(kπ,4)－eq\f(π,24)≤eq\f(π,2)(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,24)，\f(1,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,24)，\f(1,2))).(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求eq\f(1＋2sin2x,cos2x－sinxcosx)的值．[解析](1)f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx，∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴当2x＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)时，F(x)max＝1＋eq\r(2).最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)∵f(x)＝2f′(x)，∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx，∴tanx＝eq\f(1,3)，∴eq\f(1＋2sin2x,cos2x－sinxcosx)＝eq\f(3sin2x＋cos2x,cos2x－sinxcosx)＝eq\f(3tan2x＋1,1－tanx)＝2__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[答案]D[解析]∵cosθ>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴sinθ<0，∴角θ是第四象限角．2．若tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值．tanθ＋eq\f(1,tanθ)＝eq\f(sinθ,cosθ)＋eq\f(cosθ,sinθ)＝eq\f(1,sinθcosθ)＝eq\f(1,\f(1,2)sin2θ)＝4，∴sin2θ＝eq\f(1,2).3．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是()A．eq\f(π,2) B．πC．2π D．4π[答案]B[解析]f(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x，∴函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.4．若tanα＝3，则eq\f(sin2α,cos2α)的值等于()A．2 B．3C．4 D．6[答案]D[解析]由eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(2sinαcosα,cos2α)＝2tanα＝2×3＝6，故选D.5．计算eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)等于()A．－2cos5° B．2cos5°C．－2sin5° D．2sin5°[答案]C[解析]eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°)＝eq\r(1－cos80°)－eq\r(1＋cos80°)＝eq\r(2sin240°)－eq\r(2cos240°)＝eq\r(2)(sin40°－cos40°)＝2(eq\f(\r(2),2)sin40°－eq\f(\r(2),2)cos40°)＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°.6．eq\f(2sin2α,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝()A．tanα B．tan2αC．1 D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]原式＝eq\f(2sin2α,2cos2α)·eq\f(cos2α,cos2α)＝eq\f(sin2α,cos2α)＝tan2α.二、填空题7．若tanθ＝eq\f(1,3)，则cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝________.[答案]eq\f(6,5)[解析]cos2θ＋eq\f(1,2)sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ＝eq\f(cos2θ＋sinθcosθ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋tanθ,1＋tan2θ)＝eq\f(1＋\f(1,3),1＋\f(1,9))＝eq\f(4,3)×eq\f(9,10)＝eq\f(6,5).8．taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))的值等于________．[答案]－2eq\r(3)[解析]taneq\f(π,12)－eq\f(1,tan\f(π,12))＝eq\f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))＝－eq\f(21－tan2\f(π,12),2tan\f(π,12))＝－2coteq\f(π,6)＝－2eq\r(3).三、解答题9．已知cosα＝－eq\f(12,13)，α∈(π，eq\f(3π,2))，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析]∵cosα＝－eq\f(12,13)，α∈(π，eq\f(3π,2))，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－－\f(12,13)2)＝－eq\f(5,13)，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×(－eq\f(5,13))×(－eq\f(12,13))＝eq\f(120,169)，cos2α＝2cos2α－1＝2×(－eq\f(12,13))2－1＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(120,119).一、选择题1．设a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b(cosα，eq\f(1,3))，且a∥b，则锐角α为()A．30° B．60°C．75° D．45°[答案]D[解析]由题意，得eq\f(3,2)×eq\f(1,3)＝sinαcosα，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)，∴sin2α＝1.∴α为锐角，∴2α＝90°，∴α＝45°.2．若α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，则eq\r(1＋sinα)＋eq\r(1－sinα)的值为()A．2coseq\f(α,2) B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2) D．－2sineq\f(α,2)[答案]D[解析]∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，\f(7π,2)))，∴eq\f(α,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，∴原式＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))＝－sineq\f(α,2)－coseq\f(α,2)－sineq\f(α,2)＋coseq\f(α,2)＝－2sineq\f(α,2).3．设a＝eq\f(\r(2),2)(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝eq\f(\r(3),2)，则()A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c[答案]A[解析]a＝eq\f(\r(2),2)cos17°＋eq\f(\r(2),2)cos17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b＝2cos213°－1＝cos26°＝sin(90°－26°)＝sin64°，c＝eq\f(\r(3),2)＝sin60°.由正弦函数单调性可知：b>a>c.4．已知等腰三角形底角的余弦值为eq\f(2,3)，则顶角的正弦值是()A．eq\f(4\r(5),9) B．eq\f(2\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9) D．－eq\f(2\r(5),9)[答案]A[解析]令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cosα＝eq\f(2,3)，∴sinα＝eq\f(\r(5),3)，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(5),9).二、填空题5．函