2026年（北师大版）高中数学选修4-1第1讲-直线与圆的位置关系 含解析

/直线与圆的位置关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握圆周角定理、圆内接四边形性质与判定、圆的切线性质与判定、弦切角的性质、与圆有关的比例线段；教学难点：理解与圆相关的比例线段的证明1、圆周定理（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的_________；（2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的__________；推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。2、圆内接四边形的性质与判定定理定理1.圆的内接四边形的对角_______；定理2.圆内接四边形的外角等于它的内角的__________；圆内接四边形判定定理：________________________________________；推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；3、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：_______________________________________；推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；切线的判定定理：_________________________________________________；4、弦切角的性质弦切角定理：___________________________________________；5、与圆有关的比例线段相交弦定理：_________________________________________________；割线定理：__________________________________________________________；切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；切线长定理：_________________________________________________________________。类型一：圆周角定理、圆内接四边形性质例1.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则eq\f(BC,AD)的值为________．练习1.如图1，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB等于（）A.80°B.50°C.130°D.50°或130°图1例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.练习2.如图2，MN切⊙O于点A，∠AOB=60°，那么∠BAM等于（）A.120°B.90°C.60°D.30°图2类型二：圆的切线性质与判定；弦切角的性质；与圆有关的比例线段例3.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R的长为________．练习3.一个圆的两弦相交，一条弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．例4.如右图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.练习4.已知如下图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．1.已知AB、CD是⊙O的两条直径，，则四边形ABCD一定是（）A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形2.如图3，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（）A.30°B.40°C.50°D.60°3.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为eq\x\to(BD)的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________.4.如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.5.如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．6.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．2.如下图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________.3.如右图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.4.如右图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.5.如下图，圆O和圆O′相交于A、B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD＝________.6.如右图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．7.如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝eq\f(2a,3)，∠OAP＝30°，则CP＝________.8.如图4，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（）A.B.C.D.9.如图5，已知AB是⊙O直径，P是AB延长线上的一点，PCD是割线，⊙O的半径为，PB=CD=2，则BC：AD的值为（）A.B.C.D.图510.如图6，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若CF：DF=1：4，则CF的长为（）A.B.2C.3D.图611.如图7，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA=，PB=BC，那么BC的长是（）A.3B.C.D.图712.如图8，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有个。A.2B.3C.4D.5图813.如图9，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是（）A.△AED∽△BEC B.∠AEB=90°C.∠BDA=45° D.图中共有2对全等三角形图914.如图11，PC切⊙O于点C，PAB和PDE是⊙O的割线，弦CG交PB于点F，则下列等式①；②；③；④。正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4图1115.下列说法错误的是（）A.两条相交直线的平行射影还是相交直线B.两条平行直线的平行射影还是平行直线C.线段中点的平行射影仍然是线段平行射影中的中点D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线能力提升16.如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．17.如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC.求证：AP·BC＝BE·AC.18.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.19.如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝CE·GF.20.如下图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．21.如右图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.(1)求证：AB2＝AE·BC.(2)已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，求EF的长．直线与圆的位置关系____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握圆周角定理、圆内接四边形性质与判定、圆的切线性质与判定、弦切角的性质、与圆有关的比例线段；教学难点：理解与圆相关的比例线段的证明1、圆周定理（1）圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（2）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。2、圆内接四边形的性质与判定定理定理1.圆的内接四边形的对角互补；定理2.圆内接四边形的外角等于它的内角的对角；圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；3、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；4、弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；5、与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。类型一：圆周角定理、圆内接四边形性质例1.如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则eq\f(BC,AD)的值为________．解析：∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴eq\f(BC,AD)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)练习1.如图1，PA、PB切⊙O于A、B两点，∠APB=80°，C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB等于（）A.80° B.50° C.130° D.50°或130°图1答案：D例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析：连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案：125°练习2.如图2，MN切⊙O于点A，∠AOB=60°，那么∠BAM等于（）A.120° B.90° C.60° D.30°图2答案：D类型二：圆的切线性质与判定；弦切角的性质；与圆有关的比例线段例3.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R的长为________．解析：如右图，连接AB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠C，又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,AB)，即eq\f(PA,2R)＝eq\f(PB,AB)，∴R＝eq\f(PA·AB,2PB)＝eq\f(2×\r(22－12),2×1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)练习3.一个圆的两弦相交，一条弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3∶8，则另一弦的长为________．答案：33cm例4.如右图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.解析：设圆的半径为r，AD＝x，连接OD，得OD⊥AC，故eq\f(AD,AC)＝eq\f(OD,BC)，即eq\f(x,8)＝eq\f(r,6)，故x＝eq\f(4,3)r.又由切割线定理得AD2＝AE·AB，即eq\f(16,9)r2＝(10－2r)×10，故r＝eq\f(15,4).由射影定理知DF＝3.答案：3练习4.已知如下图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D.若BC＝2，BD＝4，则AB的长为________．答案：2eq\r(2)1.已知AB、CD是⊙O的两条直径，，则四边形ABCD一定是（）A.等腰梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形答案：C2.如图3，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于（）A.30° B.40° C.50° D.60°答案：D3.如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为eq\x\to(BD)的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________.答案：144.如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.答案：eq\f(3,2)5.如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．答案：56.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．答案：eq\f(3\r(5),5)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.一平面截球面产生的截面形状是________；它截圆柱面所产生的截面形状是________．答案：圆圆或椭圆2.如下图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC＝________.答案：30°3.如右图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.答案：60°4.如右图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.答案：eq\r(3)5.如下图，圆O和圆O′相交于A、B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则BD＝________.答案：86.如右图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．答案：8π7.如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝eq\f(2a,3)，∠OAP＝30°，则CP＝________.答案：eq\f(9,8)a8.如图4，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（）A. B. C. D.答案：A9.如图5，已知AB是⊙O直径，P是AB延长线上的一点，PCD是割线，⊙O的半径为，PB=CD=2，则BC：AD的值为（）A. B. C. D.图5答案：B10.如图6，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10，AF=2，若CF：DF=1：4，则CF的长为（）A. B.2 C.3 D.图6答案：B11.如图7，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA=，PB=BC，那么BC的长是（）A.3 B. C. D.图7答案：A12.如图8，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长为整数，则满足条件的点P有_________个。A.2 B.3 C.4 D.5图8答案：B13.如图9，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是（）A.△AED∽△BEC B.∠AEB=90°C.∠BDA=45° D.图中共有2对全等三角形图9答案：D14.如图11，PC切⊙O于点C，PAB和PDE是⊙O的割线，弦CG交PB于点F，则下列等式①；②；③；④。正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4图11答案：C15.下列说法错误的是（）A.两条相交直线的平行射影还是相交直线B.两条平行直线的平行射影还是平行直线C.线段中点的平行射影仍然是线段平行射影中的中点D.角的平分线的平行射影还是该角平行射影的平分线答案：D能力提升16.如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．答案：如图所示，连接CE，∵PA是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB·PC.又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.∵PA切⊙O于A，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，∴△PAB∽△PCA.∴eq\f(AB,CA)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2).∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5).又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.17.如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC.求证：AP·BC＝BE·AC.答案：由题意可知∠APC＝90°，连BP，则∠APB＝90°，∴B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于AB⊥AC，易证Rt△APB∽Rt△CAB.∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(PB,AB)，即AB2＝BP·BC，又由切割线定理，得BE2＝BP·BC，∴AB＝BE，又Rt△APB∽Rt△CAB，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(AP,CA)，即AP·BC＝AB·AC，∴AP·BC＝BE·AC.18.已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.答案：(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.19.如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，