2026年（北师大版）高中数学选修4-5第1讲-不等式的性质与绝对值不等式 含解析

/不等式的性质与绝对值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；教学难点：理解绝对值不等式的解法1、基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_____________(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2、几个重要的不等式3、算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为________，几何平均数为______，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题已知则(1)如果积是定值那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)．5、若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离）7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：即类型一：基本不等式的性质例1.已知且则的最小值为()A．18 B．36 C．81 D．243练习1.若则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． ② ③ ④ ⑤练习2.已知则的最小值是________．例2：求函数的最大值练习3.求下列函数的值域练习4.求下列函数的值域类型二：绝对值不等式的性质及其解法例3.解不等式练习5.解不等式练习6.解不等式例4.解不等式。练习7.解不等式练习8.解关于的不等式1.已知成等差数列成等比数列，则的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．42.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为()A.eq\f(1,4) B.eq\r(2) C.eq\f(3,2)＋eq\r(2) D.eq\f(3,2)＋2eq\r(2)3.若且恒成立，则的最小值是________4.求的值域5.解不等式的值。6.解不等式的值。__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.若函数在处取最小值，则()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3) C．3 D．42.已知则的()A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为eq\f(1,8) D．最大值为eq\f(1,8)3.函数的值域为____________________．4.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是________．5.若满足则的最小值是()A.eq\f(24,5) B.eq\f(28,5) C．5 D．66.已知则的最大值为________．7.下列不等式一定成立的是()A． B．C． D.8.设且不等式恒成立，则实数的最小值等于()A．0 B．4 C．－4 D．－29.已知是内的一点，且·＝2eq\r(3)，若和的面积分别为则的最小值是()A．20 B．18 C．16 D．1910.已知则的最小值为________11.已知，且，求的最小值12.若恒成立，求实数a的取值范围。13.数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。14.解关于的不等式15.解关于的不等式能力提升16.已知两条直线和与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、,记线段和在x轴上的投影长度分别为当变化时，的最小值为()A．16eq\r(2) B．8eq\r(2) C． D．17.对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )A．k<3 B.k<-3 C.k≤3 D. k≤-318.函数的图象过定点若点在直线上，求的最小值；19.若正数满足求的取值范围20.解关于的不等式21.解关于的不等式22.设全集，解关于的不等式：不等式的性质与绝对值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法；教学难点：理解绝对值不等式的解法1、基本不等式(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．2、几个重要的不等式3、算术平均数与几何平均数设则的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4、利用基本不等式求最值问题已知则(1)如果积是定值那么当且仅当时，有最小值是(简记：积定和最小)．(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是(简记：和定积最大)．5、若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则(当且仅当时取“=”）若，则（当且仅当时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离）7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）（1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理：即类型一：基本不等式的性质例1.已知且则的最小值为()A．18 B．36 C．81 D．243解析：因为m>0，n>0，所以m＋n≥2eq\r(mn)＝2eq\r(81)＝18答案：A练习1.若则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)． ② ③ ④ ⑤答案：=1\*GB3①=3\*GB3③=5\*GB3⑤练习2.已知则的最小值是________．答案：4例2：求函数的最大值解析：注意到与的和为定值。又，所以当且仅当=，即时取等号。故。答案：练习3.求下列函数的值域答案：值域为[eq\r(6)，+∞）练习4.求下列函数的值域答案：值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）类型二：绝对值不等式的性质及其解法例3.解不等式解析：原等式等价于∴原不等式的解集是答案：原不等式的解集是练习5.解不等式答案：练习6.解不等式答案：例4.解不等式。解析：原不等式(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0。答案：练习7.解不等式答案：原不等式的解集为练习8.解关于的不等式答案：原不等式的解集为1.已知成等差数列成等比数列，则的最小值是()A．0 B．1 C．2 D．4答案：D2.若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为()A.eq\f(1,4) B.eq\r(2) C.eq\f(3,2)＋eq\r(2) D.eq\f(3,2)＋2eq\r(2)答案：C3.若且恒成立，则的最小值是________答案：4.求的值域答案：5.解不等式的值。答案：原不等式等价于＜06.解不等式的值。答案：原不等式等价于，所以不等式解集为__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.若函数在处取最小值，则()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3) C．3 D．4答案：C2.已知则的()A．最小值为8 B．最大值为8 C．最小值为eq\f(1,8) D．最大值为eq\f(1,8)答案：D3.函数的值域为____________________．答案：4.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于、两点，则线段长的最小值是________．答案：45.若满足则的最小值是()A.eq\f(24,5) B.eq\f(28,5) C．5 D．6答案：C6.已知则的最大值为________．答案：7.下列不等式一定成立的是()A． B．C． D.答案：C8.设且不等式恒成立，则实数的最小值等于()A．0 B．4 C．－4 D．－2答案：C9.已知是内的一点，且·＝2eq\r(3)，若和的面积分别为则的最小值是()A．20 B．18 C．16 D．19答案：B10.已知则的最小值为________答案：1811.已知，且，求的最小值答案：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，12.若恒成立，求实数a的取值范围。答案：由几何意义可知，的最小值为1，所以实数a的取值范围为13.数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距离之和最小。答案：设M则它到A、B、C三点的距离之和即由图象可得：当14.解关于的不等式答案：原不等式等价于，即∴原不等式的解集为15.解关于的不等式答案：原不等式等价于能力提升16.已知两条直线和与函数的图象从左至右相交于点、，与函数的图象从左至右相交于点、,记线段和在x轴上的投影长度分别为当变化时，的最小值为()A．16eq\r(2) B．8eq\r(2) C． D．答案：B17.对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )A．k<3 B.k<-3 C.k≤3 D.k≤-3答案：