2026年（北师大版）高中数学必修一第11讲-对数函数 含解析

/对数函数____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.2、掌握对数函数的性质，并能应用对数函数解决实际中的问题.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数.（a>0,a≠1）一、对数函数的定义：函数叫做对数函数。二、对数函数的图像和性质：图像性质定义域：值域：过点，即当时，时，；时，时，；时，在上是增函数在上是减函数三、比较对数值的大小，常见题型有以下几类：1、比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论；2、比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较；3、比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较。四、对数不等式的解法：五、对数方程常见的可解类型有：形如的方程，化成求解；形如的方程，用换元法解；形如的方程，化成指数式求解指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。类型一求函数的定义域例1：求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(lg2－x)；(2)y＝eq\f(1,log33x－2)；解析：(1)由题意得lg(2－x)≥0，即2－x≥1，∴x≤1，则y＝eq\r(lg2－x)的定义域为{x|x≤1}．(2)欲使y＝eq\f(1,log33x－2)有意义，应有log3(3x－2)≠0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0,3x－2≠1)).解得x>eq\f(2,3)，且x≠1.答案：(1){x|x≤1}．(2){x|x>eq\f(2,3)，且x≠1.}．练习1：(2014～2015学年浙江舟山中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝eq\f(1,lnx＋1)＋eq\r(4－x2)的定义域为________________．答案：(－1,0)∪(0,2]练习2：(2014·江西理，2)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案:C类型二应用对数函数的性质比较数的大小例2：比较下列各组中两个数的大小：(1)log23.4和log28.5；(2)log0.53.8和log0.52；解析：(1)∵y＝log2x在x∈(0，＋∞)上为增函数，且3.4<8.5，∴log23.4<log28.5.(2)∵y＝log0.5x在x∈(0，＋∞)上为减函数，且3.8>2，∴log0.53.8<log0.52.答案：(1)log23.4<log28.5.(2)log0.53.8<log0.52.练习1：设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b答案：D练习2：(2014·天津文，4)设a＝log2π，b＝eqlog\s\do8(\f(1,2))π，c＝π－2，则()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>b>a答案：C类型三与对数函数有关的图象问题例3：函数y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))|x|的大致图象是()解析：当x＝1时，y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))1＝0，排除A；当x＝2时，y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))2＝－1，排除B、C、，故选D．答案:D练习1：函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()答案:A练习2：已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的()答案：B类型四求反函数例4：求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数．解析:由y＝2x＋1，得2x＝y－1，∴x＝log2(y－1)，∴y＝log2(x－1)．又∵x<0，∴0<2x<1，∴1<2x＋1<2，∴所求函数的反函数为y＝log2(x－1)(1<x<2)．答案：y＝log2(x－1)(1<x<2)．练习1：求函数y＝eq\f(1＋x,1－x)的反函数．答案：y＝eq\f(x－1,x＋1)(x≠－1)．练习2：函数y＝x＋2，x∈R的反函数为()A．x＝2－y B．x＝y－2C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R答案:D类型五互为反函数的图象间的关系例5:函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图象经过()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限解析：因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图象经过第二、三象限．答案：B练习1:已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图象经过点Q(5,2)，则b＝__________.答案：1练习2:已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e答案：C1、(2014～2015学年度武汉二中龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝eq\r(log\f(1,3)x－3)的定义域为()A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C．(3,4] D．(－∞，4]答案：C2、(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则a等于()A．4 B．2eq\r(2)C．2 D．eq\r(2)答案：A3、(2014·北京理，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1) B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A4、(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝lg(x2－4x－5)的值域为()A．(－∞，＋∞) B．(－1,5)C．(5，＋∞) D．(－∞，－1)答案：A5、．函数y＝1－eq\r(x－1)(x≥2)的反函数为()A．y＝(x－1)2＋1(x≥1) B．y＝(x－1)2－1(x≥0)C．y＝(x－1)2＋1(x≤1) D．y＝(x－1)2＋1(x≤0)答案:D6、函数y＝f(x)的图象过点(1,3)，则它的反函数的图象过点()A．(1,2) B．(2,1)C．(1,3) D．(3,1)答案:D__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1．已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是下图中的()答案：B2．(2015·广东理，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案：D3．函数y＝x＋2，x∈R的反函数为()A．x＝2－y B．x＝y－2C．y＝2－x，x∈R D．y＝x－2，x∈R答案：D4．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为()A．－e B．－eq\f(1,e)C．eq\f(1,e) D．e答案：C5．(2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)函数y＝log2(4x－x2)的递增区间为________．答案:(0,2]能力提升6．(2014～2015学年度安徽合肥一中高一上学期期中测试)函数f(x)＝eq\f(3x2,\r(1－x))＋lg(2＋5x－3x2)的定义域是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))答案：B7．(2015·湖南文，8)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D．偶函数，且在(0,1)上是减函数答案：A8.已知函数f(x)＝loga(x－k)的图象过点(4,0)，而且其反函数f－1(x)的图象过点(1,7)，则f(x)是()A．增函数 B．减函数C．奇函数 D．偶函数答案：A9．(2014～2015学年度陕西宝鸡市金台区高一上学期期中测试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,3xx<0))，则f[f(eq\f(1,4))]＝________.答案：eq\f(1,9)10.已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．答案：(1)要使函数f(x)有意义，需满