2026年（北师大版）高中数学选修2第2讲-方程与曲线 含解析

/曲线与方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．【重点知识梳理】1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——________________________________________．(2)设点——_____________________________________________________．(3)列式——__________________________________________________________．(4)代换——_____________________________________________________________________．(5)证明——______________________________________________________．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．类型一曲线与方程的关系例１：如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有()A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}练习１：f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件练习2.(2014•石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是() B. C. D.类型二直接法求轨迹方程例2：已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．练习1：在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．求椭圆的离心率e；设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BM,\s\up8(→))＝－2，求点M的轨迹方程．练习2：平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为eq\r(6)，求圆O的方程。类型三定义法求轨迹方程例3：已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.练习1：【2015江苏高考，18】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.求椭圆的标准方程；练习2：在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq\o(BD,\s\up8(→))|－|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，求顶点A的轨迹方程．类型四相关点法求轨迹方程例4：如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：eq\f(x2,9)＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．练习1：.设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A.y2=x与y= B.y=lgx2与y=2lgxC.=1与lg（y+1）=lg（x-2） D.x2+y2=1与|y|=2.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（）A． B. C. D.3.(2014•天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=___________.4.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=____________.5.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．6.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________________．[来7.【2015高考福建，理3】若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A.11 B.9 C.5 D.3__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.(2014•青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是()A.两条直线 B.一条直线和一双曲线 C.两个点 D.圆2.【2015高考天津，理6】已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()A. B. C. D.3.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)4.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足eq\o(OC,\s\up8(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up8(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up8(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线5.已知双曲线C与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．6.(2014·山东)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C与x轴所得弦的长为2eq\r(3)，则圆C的标准方程为________________．能力提升7.与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆C的方程是_______________________________________．8．坐标平面上有两个定点A，B和动点P，如果直线PA，PB的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：__________．9.【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．求椭圆E的方程；10．【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.（1）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.曲线与方程____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．【重点知识梳理】1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上点的坐标与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解满足如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．类型一曲线与方程的关系例１：如果曲线C上点的坐标满足方程F(x,y)=0,则有()A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选C.A,B错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不一定在曲线C上,若以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则点集{P|P∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D错,选C.【答案】C.练习１：f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,若点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上,则必有f(x0,y0)=0;又当f(x0,y0)=0时,点P(x0,y0)也一定在方程f(x,y)=0对应的曲线上,故选C.【答案】C.练习2.(2014•石家庄高二检测)方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是()Ａ. B. C. D.【解析】选C.方程x2+y2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分。【答案】C.类型二直接法求轨迹方程例2：已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.试求动圆圆心的轨迹C的方程．【解析】如图设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.【答案】动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.练习1：在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a＞b＞0)为动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e；（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足eq\o(AM,\s\up8(→))·eq\o(BM,\s\up8(→))＝－2，求点M的轨迹方程．【解析】（1）解：设，由题意，可得，即，整理得，得（舍）或，所以；（2）解：由（Ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线PF2方程为，A，B两点的坐标满足方程组，消去y并整理，得，

解得，得方程组的解，不妨设，设点M的坐标为(x，y)，则，由，得，于是，，由，即，化简得，将代入，得，所以x＞0，因此，点M的轨迹方程是。【答案】(1)(2)练习2：平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为eq\r(6)，求圆O的方程。【解析】因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为eq\f(1,\r(2))，所以圆O的半径为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\r(2)，所以圆O的方程为x2＋y2＝2.【答案】因为O点到直线x－y＋1＝0的距离为eq\f(1,\r(2))，所以圆O的半径为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2)＝eq\r(2)，所以圆O的方程为x2＋y2＝2.类型三定义法求轨迹方程例3：已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．【答案】(x≠－2)．练习1：【2015江苏高考，18】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.求椭圆的标准方程；【解析】求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得。【答案】由题意，得且，解得，，则，所以椭圆的标准方程为．练习2：在△ABC中，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|eq\o(BD,\s\up8(→))|－|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，求顶点A的轨迹方程．【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.∴|AB|－|AC|＝2eq\r(2)，∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝eq\r(2)，c＝2，∴b＝eq\r(2)，∴轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x＞eq\r(2))。【答案】轨迹方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1(x＞eq\r(2)).类型四相关点法求轨迹方程例4：如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：eq\f(x2,9)＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左，右顶点．求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．【解析】设出、两点坐标，求得直线、的方程，联立两直线方程，得出交点坐标，消去参数，即可求得交点的轨迹方程（注意、的取值范围）。【答案】设，，又知，，则直线的方程为，直线的方程为。两式相乘可得：。由点在椭圆上可知：，故，代入得：。故直线与直线交点的轨迹方程为。练习1：设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．【解析】设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up8(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x【答案】设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(PF,\s\up8(→))，eq\o(PM,\s\up8(→))＝(x0，－y0)，eq\o(PF,\s\up8(→))＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋yeq\o\al(2,0)＝0.由eq\o(MN,\s\up8(→))＝2eq\o(MP,\s\up8(→))得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－x0＝－2x0，,y＝2y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－x，,y0＝\f(1,2)y，))∴－x＋eq\f(y2,4)＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x1.下面四组方程表示同一条曲线的一组是()A.y2=x与y= B.y=lgx2与y=2lgx C.=1与lg（y+1）=lg（x-2） D.x2+y2=1与|y|=【答案】选C.2.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（）A． B. C. D.【答案】B.3.(2014•天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x2-ay2=1上,则a=_____________.【答案】a=1/34.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的一点,则m=____________.【答案】1/45.已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．【答案】eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝16.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________________．[来【答案】x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)7.【2015高考福建，理3】若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A.11 B.9 C.5 D.3【答案】B__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.(2014•青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是()A.两条直线 B.一条直线和一双曲线 C.两个点 D.圆【答案】C.2.【2015高考天津，理6】已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为()A. B. C. D.【答案】D.3.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2)【答案】D.4.平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足eq\o(OC,\s\up8(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up8(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up8(→))(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线