【哈达玛变换矩阵与正交编码相位矩阵概述2300字】

哈达玛变换矩阵与正交编码相位矩阵概述目录TOC\o"1-3"\h\u22119哈达玛变换矩阵与正交编码相位矩阵概述 1125651.1.1引言 1291641.1.2哈达玛变换矩阵的性质 168981.1.3利用哈达玛变换构建正交编码数据集 2引言哈达玛变换技术作为一种重要的手段，目前已经应用于各种研究中，其思想来源于统计学中的称重理论，而人们对其的研究也由来已久，法国的数学家哈达玛（JacquesHadamard）在前人的基础上做了深入的探索，并于1893年提出了著名的哈达玛(Hadamard)矩阵[82]。人们对哈达玛变换相关的研究一开始只是在数学领域，但是随着科学的发展哈达玛矩阵已逐渐在光谱检测与成像领域、数字通信等多个领域扮演了重要的作用，可见其应用之广阔。哈达玛变换矩阵的性质可以通过克罗内克（Kronecker）乘积运算法则得到哈达玛变换矩阵，且在一定条件下沃尔什函数可以其用来表示[82-83]。具有正交性的哈达玛矩阵一般由“+1”和“−1”两个数构成，因此可以定义最低阶哈达玛矩阵H2如下：H(2-14)当n是2的整数倍，通过哈达码变换有：[H2n]=[Hn]⊗[H2]，其中⊗是克罗内克运算积形如：A⊗B=(2-15)故有：[H2n]=H(2-16)以上可以看出哈达玛变换矩阵是正交矩阵，具有特性如下:abc利用哈达玛变换构建正交编码数据集根据上一节所述，同时通过推导我们可以看到hadamard矩阵的每一行（列）向量之间相互正交，满足下列表达式:k=1(2-17)其中alk，ajk均代表矩阵中的某一行（列）与上一节提到的无干扰全息再现，参考光的位相必须满足的条件极其类似。于是我们就想到了将哈达玛矩阵Hn的每一行（列）按kl矩阵（k,l分别代表矩阵行和列，且为偶数）形式重新排列构成一个新的矩阵称作矩阵Pk，令k=l则有n=kk，以此为基础将矩阵PM1=M3=我们通过克罗内克运算积可将这4种矩阵利用哈达玛变换得到16种不同的4阶P4矩阵，依次类推可以得到k2种不同的k阶Pk矩阵，我们发现将这k阶矩阵排列成一行时所得到结果恰好是Hn中的某一行（其中n=k2），即P2，P4P2k（k为自然数）分别是是Hadamard矩阵中H4，H16H4k的某一行按k阶矩阵的有序排列，P2k矩阵可由P2k−1矩阵经过Hadamard变换而来，这证明了我们这一理论的完备性。因为H4k矩阵有4当用哈达玛矩阵对n个点的光谱信息进行采集时，可以将这n阶H哈达玛矩阵逐行提出，提出的行向量转化为方阵模板后被加载到空间光调制器中，就能够实现对光的调制作用。下面我们通过相位调制实现此正交相位编码，我们可以通过相位调制对同一种光进行编码，附加的相位信息为exp(iPk)，其为我们之前构造的矩阵，按照位相寻址可得相位信息为（φ1n=1(2-18)如果exp⁡iφn用1或−1表示，则我们看到式(2-17)与式(2-18)刚好对应，因此有Hadamard矩阵中1和−1相对的位相延迟分别为0和π。以H4矩阵为例，如图2.8所示：在一个4阶Hadamard矩阵的情况下，Hadamard码有4位。为简单起见，我们将一个全息图Ep(x,y)中的每个像素进行加密，注意在这里我们只显示加密全息图中第(x,y)个像素的相位信息。如图2.8(b)所示。Hadamard矩阵第一行的四个元素H(x,y)映射到掩码第(x,y)个像素的2×2段，称为‘二进制相位掩码(BPMs)’。元素1表示为exp(i0)，对应于将相位移动0弧度。同时，元素-1表示为exp(图2.8相位调制示意图：(a)初始携带信息的全息图：(b)二进制相位掩码(c)全息图的加密；(d)加密全过程；(e)多路复用图简单总结一下，就是将与M1相位编码图像中的像素相一致的M2、M3和M4相位编码图像中的像素展开，然后分别用相同的Hadamard矩阵的第2、3和4行进行相位编码。这四个全息图是通过应用四个BPMs进行相位编码的，而这四个BPMs分别由四行四阶阿达玛矩阵生成，被称为‘四组BPMs’，将这四幅相位编码图像相叠加就得到了一幅复杂的多路图。如上所述，类似于存储过程的四个加密全息图作为一个多路图，而当需要存储n幅加密全息图时可以通过使用n个BPM存储为一个多路图，这是来自n阶哈达玛矩阵。多路图像可以表示为：M(2-19