第02讲 菱形的判定（学生版）-新九年级数学暑假预习讲义（北师大）

第02讲菱形的判定（5种题型）【知识梳理】一、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形。二．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．【考点剖析】题型一：添加一个条件使四边形为菱形例1．（2023·安徽·校联考一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，若，，想要判断四边形是菱形，则可以添加一个条件是_____________．【变式】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使▱ABCD是菱形．题型二：证明四边形为菱形例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：（1）∠E＝∠F；（2）四边形ABCD是菱形．【变式】如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．题型三：根据菱形的判定与性质求角度例4．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接．(1)求证：；(2)若，证明：直线与互相垂直．【变式】（2023·江西·模拟预测）如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，作．(2)在图2中，作的角平分线．题型四：根据菱形的判定与性质求线段长例5.（2023·山西长治·校联考二模）如图，在中，对角线，相交于点O，E为的中点，连接，．(1)实践与操作：利用尺规在线段上作出点F，使得四边形为平行四边形，连接，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)应用与求解：若，求的长．【变式】如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．题型五：根据菱形的判定与性质求面积例6.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．【过关检测】一、单选题1．（2023·陕西西安·校考二模）在下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北随州·统考一模）如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（

）

A．点O为的对称中心 B．平分C． D．四边形为菱形3．（2023·陕西西安·校考一模）在平行四边形中，添加下列条件，能判定平行四边形是菱形的是(

)A． B． C． D．4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为和，其面积用科学记数法表示为(

)A． B． C． D．5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在下列条件中，能够判定为菱形的是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2023·湖南长沙·统考二模）如图，菱形的对角线相交于点O，H是的中点，连接，若，，则______．7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）如图，是小明作线段的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形一定是______________．8．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是__________．9．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在中，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交与点，若，，则的值为________．10．（2023·湖南长沙·校考二模）如图，平行四边形中，在上截取，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于，若，，则的长为__________．11．（2023春·四川成都·九年级专题练习）如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D．连接、．若，则__________．12．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，在平行四边形中，，点M为的中点，连接于点E，则的长为___________．13．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______．三、解答题14．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在中，的平分线交于点．请利用尺规分别在、上求作点、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）

15．（2023·云南·统考二模）如图，四边形的对角线交于点O，且，E是上一点，连接．

(1)求证：．(2)若，试判断四边形的形状，并说明理由．16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点O是上的中点，将绕着点O旋转得(1)求证：四边形是菱形；(2)如果，求菱形的面积．17．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，的顶点和点O均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出，使和关于点O对称（点A、B、C的关于点O的对称点分别为点D、E、F）；(2)在方格纸中画出以线段为一边的菱形，且菱形的面积为3，连接．请直接写出线段的长．18．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知：如图，在四边形中，对角线与交于点，，，，．求证：四边形是菱形．

19．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图，在中，，，是的中点，过点作交于点，延长至，使，连接，，．

(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．20．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，的对角线，相交于点，点作的垂线，与，分别相文于点，，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，的面积是2，求的面积．21．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四边形中，，过作交于点，过作交于，且．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件______，使得四边形是菱形，并说明理由．22．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，四边形是平行四边形，、分别是线段、上的点，点是与的交点．若将沿直线折叠，则点与点重合．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，且平行四边形的面积为，求的值．23．（2023·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中的边上确定一点D，连接，使；(2)在图②中的边上确定一点E，连接，使；(3)在图③中的边上确定一点F，连接，使．24．（2023·广东江门·校考一模）如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，的周长为36，求菱形的面积．25．（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由