初中9年级数学 暑假自学预习 专题02 勾股定理(暑假复习讲义)(解析版)

专题02勾股定理内容导航01复习目标→明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标02知识重构

→系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系03题型突破

→汇总常考题型，举一反三，方法提炼题型1勾股数的判断题型2判断能否构成直角三角形题型3勾股定理与网格问题题型4勾股定理的应用题型5利用勾股定理求最短路径问题题型6利用勾股定理解决折叠问题题型7利用勾股定理的逆定理求解题型8勾股定理的证明方法04综合通关

→综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官

05错题留痕

→预留固定区域，记录错题题号、错因与正解常考考点命题风向1.直接应用求直角三角形边长。2.逆定理判定三角形形状。3.勾股数识别与构造。4.折叠问题中列方程求线段长。5.最短路径问题（圆柱、长方体表面）。6.实际应用（梯子、芦苇、航海）。1.基础计算必考：直接利用勾股定理求直角三角形的边长是选择题、填空题的必考内容，需特别注意区分直角边与斜边。2.逆定理应用强化：利用逆定理判断三角形形状及找勾股数是中档题热点，“小方和等于大方”的判定口诀是实用技巧。3.实际情境建模：将梯子滑动、芦苇出水、航海距离等实际问题转化为直角三角形模型是核心考查能力。4.折叠与最值综合：结合矩形折叠列方程求边长、立体图形表面最短路径是解答题的高频题型。5.数形结合与分类讨论：涉及等腰三角形或不确定直角位置的问题，需运用分类讨论思想求解。考情解码：根据2026年新教材考情，《勾股定理》强调从计算到实际建模的转化。高频考点包括直接求边长、逆定理判定三角形形状，以及折叠问题中构造方程求线段。常与坐标系、几何体（圆柱、长方体）表面最短路径结合，考查数形结合思想。同时重视勾股数规律探究及在网格构图中的应用，体现直观想象素养。知识点一勾股定理勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【易错警示】-定理：a2+b2=c2，其中c为斜边，勿忽略直角前提，乱用边。-验证：常见拼图面积法，注意中间小正方形边长为|a-b|，勿错。即时即练1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决．【详解】解：如图1，，，，∵，∴，如图2，同理可得，，∵，，，，∴，故选：C．2．如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边．(1)已知，，求c；(2)已知，，求b．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）根据勾股定理可进行求解；（2）根据勾股定理可进行求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，即，∴；（2）解：∵，，，∴，即，∴．知识点二勾股定理逆定理勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.勾股数像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【易错警示】-找最大边：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和比较，勿随意设c。-条件满足：只有a2+b2=c2时才是直角三角形，漏等号或误用为锐角/钝角判断需谨慎。-书写规范：结论要说清哪个角是直角。即时即练1．下列各组数中，是勾股数的是（

）A．，， B．，，1 C．4，5，6 D．9，40，41【答案】D【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐一判断即可．【详解】解：A．，，，不是整数，不是勾股数；B．，，不是整数，不是勾股数；C．，不是勾股数；D．，是勾股数；故选：D2．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．（1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论；（2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案．【详解】（1）解：．理由如下：，．∴为直角三角形，，；（2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图，，∴．又，∴，．，，在中，，∴，根据勾股定理，得，，∴解得：．．购物车把手点到的距离为．知识点三勾股定理的应用1.解决实际问题：勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.2.平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【易错警示】-实际情境：需判断题目所求是直角边还是斜边，勿套错公式。-单位统一：边长单位不一致时先换算，再代入计算。-隐含条件：无图时考虑多解（如高在形内或形外），勿漏情况。-非整数解：结果保留根号或按要求近似。即时即练1．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里．(1)求渔船A与渔船B之间的距离．(2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？【答案】(1)750海里(2)12小时【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解．（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解．【详解】（1）解：由题意，得：，，，海里，海里，（海里），即渔船A与渔船B之间的距离为750海里；（2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，，，，（海里），海里，（海里），则（海里），行驶时间为（小时），答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时．2．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．(1)与垂直吗？请说明理由；(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．【答案】(1)与垂直，理由见详解(2)【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；（1）根据题意易得，然后问题可求解；（2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．【详解】（1）解：与垂直，理由如下：∵，，∴，∴；（2）解：由题意可设，则有，∵，∴，即，解得：，∴．题型1勾股数的判断例1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】本题考查勾股数，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐一进行判定即可．【详解】解：A．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意；B．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意；C．，，，故该选项是勾股数，符合题意；D．，，，故该选项不是勾股数，不符合题意．故选：C．例2．在下列四组数中，是勾股数的是（

）A．2，1， B．6，8，12 C．7，40，41 D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据勾股数是三个正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐项判断即可．【详解】解：A、含，不是正整数，不符合定义，故该选项错误；B、，，，不符合定义，故该选项错误；C、，，，不符合定义，故该选项错误；D、，，相等且均为正整数，符合定义，故该选项正确；故选：D．【技巧总结】1.验证平方：判断较小两数平方和是否等于最大数平方。2.观察倍数：一组勾股数同乘整数倍仍为勾股数。3.奇偶特征：勾股数中必含偶数，且若a为奇数，则b,c为连续整数（如3,4,5）。【变式训练1-1】下列四组数中，是勾股数的一组是（

）．A．1，1，2 B．，，C．3，4，5 D．3，4，6【答案】C【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键．根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得．【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意；B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意；C、，且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意；D、，故此项不是勾股数，不符合题意；故选：C．【变式训练1-2】勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（

）A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34【答案】D【分析】本题主要考查了勾股数，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A、，，，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符合题意；B、∵0.3，0.4，0.5非整数，∴0.3，0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意；C、非整数，∴1，1，不是勾股数．故此选项不符合题意；D、，，，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题意．故选：D．题型2判断能否构成直角三角形例3．在中，的对边分别是．下列条件中，不能判断为直角三角形的是（

）A．，， B．C．，， D．【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的判断，分别根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：A．∵，∴∴不是直角三角形，则符合题意；B．∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形，则不符合题意；C．∵，∴∴是直角三角形，则不符合题意；D．∵，∴设，∴，∴是直角三角形，则不符合题意．故选：A．例4．在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算各选项判断是否能构成直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．【详解】解：A、∵，，，∴，故是直角三角形，不符合题意；B、∵，∴设，则，，∵，∴，解得，∴，故是直角三角形，不符合题意；C、∵，∴设，，，∵，∴，解得，∴，故不是直角三角形，符合题意；D、∵，且，∴，即，∴，故是直角三角形，不符合题意；故选：C．【技巧总结】1.排序：将三边从小到大排序为a≤b≤c。2.验勾股：计算a2+b2是否等于c2，相等则直角。3.钝/锐角：若a2+b2<c2为钝角；大于则为锐角。4.先判三边：需先满足三角形两边之和大于第三边。【变式训练2-1】满足下列条件的，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判断每个选项是否满足直角三角形条件，通过计算得到选项D的角比例计算后均为锐角，因此不是直角三角形，从而得到答案.【详解】解：A、∵∴，由勾股定理逆定理，是以b为斜边的直角三角形.B、∵，且，∴是直角三角形.C、∵，且，代入得，∴，是直角三角形.D、设，则，解得：，∴，均小于，∴不是直角三角形.【变式训练2-2】在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答．【详解】解：对于条件①：∵，且，∴，即，∴是直角三角形．对于条件②：设，则，∴，∴，∴不是直角三角形．对于条件③：∵，∴由勾股定理逆定理，是直角三角形．对于条件④：∵，即，∴，∴，∴不是直角三角形．对于条件⑤：设，则，∴，∴是直角三角形．∴能确定是直角三角形的条件有①、③、⑤，共3个．故选：C题型3勾股定理与网格问题例5．如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（）A． B．C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为【答案】C【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式．根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可．【详解】解：，A说法正确；，，则三边长均为无理数，C说法错误；则，即，B说法正确；设边上的高为，则，解得，D说法正确；故选：C．例6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点到直线的距离是2【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意；B、，，，，，本选项结论正确，不符合题意；C、，本选项结论错误，符合题意；D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意；故选：C．【技巧总结】1.构造直角三角形：以格点为顶点，利用网格横竖线作直角边，斜边即所求距离。2.巧用面积：直接求三角形面积或用“割补法”间接求，再结合勾股定理列方程。3.数形结合：格点间水平竖直距离已知，转化为代数计算。【变式训练3-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形的顶点都在格点（网格线的交点）上．(1)求线段和的长．(2)是直角吗？请说明理由．【答案】(1)，(2)是直角，理由见解析【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．（1）根据勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理逆定理即可．【详解】（1）解：根据题意得：，；（2）解：是直角，理由如下：如图，连接，根据题意得：，∴，∴为直角三角形，且，即是直角．【变式训练3-2】如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题：(1)线段的长为______，线段的长为______；(2)连接，判断的形状，并证明你的结论．【答案】(1)，；(2)是直角三角形，证明见解析【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．（1）根据勾股定理进行计算即可；（2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】（1）解：由图可知，，，故答案为：，；（2）解：是直角三角形，证明：由知，，，，，是直角三角形．题型4勾股定理的应用例7．如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米．(1)求观赏池边的长；(2)求草坪的面积．【答案】(1)20米(2)600平方米【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）利用勾股定理求解即可；（2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可.【详解】（1）解：因为四边形为长方形，所以．在Rt中，米，米，由勾股定理，得，即，所以米．答：观赏池边的长为20米;（2）解：连接．因为,米，米，根据勾股定理，得，所以米．因为在中，，，所以，所以是直角三角形，且，所以（平方米）．答：草坪的面积为600平方米．例8．如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，．(1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）．【答案】(1)的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析(2)【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理，推导出，即，由垂线段最短，得到的长是攀梯A到泳道l的最近距离，即可解答；（2）根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下：在中，，，即，由垂线段最短，的长为攀梯A到泳道l的最近距离．（2），．在中，．答：的长度为．【技巧总结】1.识直角三角形：找或构造垂直关系（如高、对角线）。2.列方程：设未知边，用a2+b2=c2建立方程。3.统一单位：注意实际问题的单位换算。4.常见模型：梯子滑动、芦苇出水、最短路径（展开侧面）、折叠问题。【变式训练4-1】一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？【答案】(1)(2)北偏西【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；（1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可；（2）先证明，可得，再进一步求解即可．【详解】（1）解：由题意可知．在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，而，∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴岛在港的北偏西方向上．【变式训练4-2】小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】(1)不会(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意求得米，米，得到米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）解：如图，出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）解：设出发秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意得，，解得此时，此时，即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．题型5利用勾股定理求最短路径问题例9．步行台阶每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是．【答案】130【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将蚂蚁行进过程中的多个平面展开形成一个矩形是解题的关键．将阶梯的表面展开，形成一个矩形，根据勾股定理求解即可；【详解】解：如图，阶梯的表面展开，形成一个矩形，∵台阶阶梯每一层高，宽，长，∴，，∴在中，．故答案为：130．例10．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走的路程．（取）【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键．【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，由题意可得，，∴，∵，∴，∴它至少要走的路程，故答案为：．【技巧总结】1.化曲为直：将立体图形表面沿棱展开成平面，连接起点与终点。2.勾股计算：展开图中水平、竖直距离为直角边，斜边长即最短路径。3.分类讨论：不同展开方式路径不同，需比较取最小值。4.注意起点：从一点到对侧点常需跨过棱。【变式训练5-1】课本再现：方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________．方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________．（3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________．（4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3）【答案】（1），（2）26（3）（4）【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解．【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和．根据勾股定理，最短路径为：（2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为，根据勾股定理，，绕两周彩条最短长度为：；（3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为；根据勾股定理，金属丝最短长度为：（4）底面是半圆长加一个半径，，高为6，根据勾股定理，爬行最短长度为．【变式训练5-2】阅读并回答下列问题【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由．【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值．【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3）【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解．（1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解；（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可；（3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可．【详解】解：（1）由轴对称的性质可得，∴，∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点；（2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，∴，∴，∴当点三点共线时，的值最小，最小值为∵，，∴，∵，，∴，同理，∴，∴，∴最小值为；（3）解：∵，∴代数式的值表示点到点和点的距离之和，设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，∴，∴代数式的最小值为．题型6利用勾股定理解决折叠问题例11．如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为．【答案】【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解．【详解】解：如图，过点E作于点P，则，根据题意得：，，∴，∵，∴，由折叠的性质得：，，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴，在中，，∴．故答案为：例12．如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合：(1)若，则的度数为_____；(2)若，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解；（2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解．【详解】（1）解：由折叠性质得，中，，即，又，，，故答案为：；（2）解：由折叠性质得，设，则，中，，即，解得，即．【技巧总结】1.找等量：折叠前后对应边、角相等，设未知数表示相关线段。2.构直角三角形：利用折叠后重合点的位置，在折叠痕迹处构造直角三角形。3.列方程：用勾股定理a2+b2=c2建立方程，解出未知边长。【变式训练6-1】我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，．(1)求的长；(2)的面积为__________；(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值；【答案】(1)(2)6(3)或3或【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质．（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可；（2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可；（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E．，∵四边形是长方形，．，，；设，则，在中，，根据勾股定理得，，，，，；（2）解：由（1）得，∴，根据翻折的性质得，，∴的面积为，故答案为：6；（3）解：①若，，；②若，作于点，，，，，，；③若，则，，，，，，；综上所述，或3或．【变式训练6-2】在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）．(1)如图1，当点E在边上时，求的长度．(2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长．(3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长．【答案】(1)3(2)(3)4或16【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解；（2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意得：，由折叠的性质得：，，∵，∴，，∴，在中，，∴，解得：；（2）解：由翻折的性质得：，∴，设，则，∵，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，即；（3）解：当点Q在线段上时，如图：由翻折的性质得：，∴，∵四边形是长方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；当点Q在延长线上时，如图：由翻折的性质得：，∴，设，则，∵，∴，在中，由勾股定理得：，，解得：，即；综上所述，的长为4或16．题型7利用勾股定理的逆定理求解例13．某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米．(1)求证：．(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)米．【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理即可推出；（2）根据勾股定理求出的长，据此即可求解．【详解】（1）解：米，米，米，，，；（2）解：，，（米），（米）．例14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同．(1)求，之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．【答案】(1)180米(2)珍珍的观点正确，见解析【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．（1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可；（2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可．【详解】（1）解：∵，∴．在中，，由勾股定理得，即B，N之间的距离为180米；（2）解：珍珍的观点正确，过程如下：由（1）得，∴．在中，由勾股定理得．∵，，，∴，∴，即，∴是垂线段，∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．【技巧总结】1.判直角：已知三边长，计算较小两边的平方和与最大边的平方比较。2.证垂直：在几何题中，若三边满足a2+b2=c2，则边c所对角为直角。3.建方程：设未知边长，利用逆定理列等式求值或证明垂直。【变式训练7-1】为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示：项目主题为校园空地设计创意花坛项目背景“综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛．实践工具卷尺、铅笔等．设计说明如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇．测量数据，，，．项目任务分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积．请你完成项目任务．【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解．【详解】解：∵，，在中，，由勾股定理可得：，∴，又∵，∴，则是直角三角形，，∴种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为．【变式训练7-2】综合与实践问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计．欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水．强强设计的铺设管道方案如下：方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F；方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道．社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了．(1)施工人员测量的是点与点之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用．【答案】(1)A，C(2)建造绿化地的费用为11300元(3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答．（2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答；（3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论．【详解】（1）解：连接，施工人员测量的是A，C两点之间的距离，∵∴，∴，即当测量A，C两点之间的距离为∴满足勾股逆定理得；∴，故答案为：A，C；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴∴四边形的面积，∴建造绿化地的费用（元）；（3）解：∵，∴∵，∴，∴∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），∵∴铺设管道所需的最少费用为700元．题型8勾股定理的证明方法例15．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：(1)试说明：(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系．（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；（2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，∴∴．（2）解：大正方形面积为13，，，，又小正方形面积为3，，，，．例16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)证明勾股定理取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理．(2)应用勾股定理①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________；②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．【答案】(1)见解析；(2)①；②绳索的长为【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用．（1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明；（2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可；②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可．【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为，又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为，∴，即，∴．即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．（2）解：①∵在中，，，∴，∴，∴点表示的数是，答案为：；②∵，，∴．设秋千的绳索长为，即，∴，∵在中，，∴，解得：．∴绳索的长为．【技巧总结】1.面积法：用四个全等直角三角形拼成大正方形，列面积等式导出a2+b2=c2。2.相似法：作斜边上的高，由相似三角形对应边成比例推得。3.等积变形：通过割补图形，保证总面积不变，建立方程。【变式训练8-1】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．【结论探究】（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；【结论应用】（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？【问题拓展】（3）中，，垂足为，请求出的值．【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案；（3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出．【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为，，即；（2）设千米，千米，在中，根据勾股定理得：，，解得，即千米，(千米)，答：新路比原路少千米；（3）解：如图，设，，，，，，根据勾股定理：在中，，在中，，，即，解得：，，．【变式训练8-2】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．【证法再现】如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；【知识运用】如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；(2)该最短距离和为多少米？【答案】证法再现：，，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求．（2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值，【详解】证法再现：由题意，，，．满足关系式：．整理得：；故答案为：，，．知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图．∴又,当三点共线时，的最小值为，的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短．（2）作交的延长线于E．在中，∵米，米，∴（米）．故答案为：200．1．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（

）A． B．，，C． D．【答案】A【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解．【详解】解：∵三角形内角和为，对选项A，设，由，得，，则，解得，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形；对选项B，，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；对选项C，设三个角分别为，，，则，解得，得最大角，是直角三角形；对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；综上，不能判断为直角三角形的是A选项．2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理可得大正方形的面积等于正方形、、、的面积的和，代入数据，即可求解．【详解】解：如图，根据勾股定理可得正方形的面积等于正方形的面积，正方形的面积等于正方形的面积，正方形的面积等于正方形的面积，∴大正方形的面积．3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（

）A． B．C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2【答案】C【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．【详解】解：A、，正确，不符合题意；B、，，，，，正确，不符合题意；C、，结论错误，符合题意；D、设点到直线的距离为，，，则，解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意．4．如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接，将沿直线翻折，得到，连接，当的长最小时，的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由翻折的性质可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，求出，设此时，利用勾股定理列方程，即可解得答案．【详解】解：由翻折的性质可知，，∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，的长最小，∵四边形是正方形，∴，，∴，此时，设此时，则，在中，，即，解得．5．若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________．【答案】6【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再利用非负数的性质求出的值，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可.【详解】解：由题意，，解得，将代入原式得，∴，，解得，，，该三角形是直角三角形，直角边长为和，面积为.6．如图是小英爸爸设置的手机手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿顺序解锁．按此手势解锁一次的路径长为__________．【答案】【分析】由题意可得：，，由勾股定理求出，进而得出答案．【详解】解：如图所示：作交于点，由题意，得，，在中，由勾股定理，得，∴，又∵，，∴按手势解锁一次的路径长为：．7．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________．【答案】【分析】根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，画出对应的示意图可得的边上的高满足，据此可得答案．【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的四边形也是正方形，∴，，∴．8．在中，，，，是的中点，为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，当与垂直时，的长为___________．【答案】或【分析】由折叠的性质可知，根据点P位置的不同，分两种情况讨论，结合勾股定理，角所对的直角边是斜边的一半，求出的长度．【详解】解：沿翻折，得到，，，，，有两种情况，①点P在左侧，延长，交于点E，如下图是的中点，，，与垂直，，，，在中，，，，即点E是中点，，②点P在右侧，如下图，，，，是的