小学五年级数学下册《公因数（一）》核心素养教学设计

小学五年级数学下册《公因数（一）》核心素养教学设计一、教材与学情双维解构：确立素养导向的学习坐标【基础·背景分析】“公因数”这一概念，是数论初步知识体系中的重要基石，它建立在学生已经系统掌握了因数、倍数、以及找一个数的所有因数的方法之上。它不仅是本单元“因数和倍数”知识网络中的关键节点，更是后续学习“约分”、“通分”以及解决现实生活中有趣数学问题的逻辑起点。本节课作为公因数教学的第一课时，其核心任务并非仅仅是让学生记住“什么是公因数”、“什么是最大公因数”的文字定义，而是要引导学生经历概念从无到有的“再创造”过程。通过有层次的探究活动，让学生从“各自为政”的“私有”因数，走向“求同存异”的“公有”视域，感受数学概念内部的辩证统一。从思维发展的角度来看，五年级学生正处于从具体形象思维向初步逻辑思维过渡的关键期，他们能够进行一定的抽象思考，但这种抽象依然需要坚实的具体表象作为支撑。因此，将抽象的数的关系，转化为直观的形的操作，是本课设计必须遵循的认知规律【5】。【重要·核心素养聚焦】基于2022年版义务教育数学课程标准，本课着力培养的核心素养聚焦于“数感”、“量感”的初步渗透以及“推理意识”的形成。通过“形”的剪拼活动，感悟数的可分解性与组合性，建立数与形之间的联系；在寻找公因数的过程中，通过有序思考，培养学生的逻辑推理能力；通过对不同方法的归纳与优化，发展抽象概括能力和模型意识。这不是简单的技能操练课，而是一节充满探索趣味的数学思维课。二、教学目标层级设定：构建“四基四能”的成长阶梯【基础·知识技能】1.理解公因数与最大因数的本质概念：结合具体情境，理解两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数【5】【9】。2.掌握基本方法与规范表达：掌握用列举法（列表法和集合法）求两个数公因数和最大公因数的方法，并能正确、规范地书写和表达。初步了解集合图（韦恩图）在表示两个数因数关系时的直观作用。【重要·过程方法】1.体验概念形成过程：经历“问题情境——操作探究——观察发现——抽象概括”的数学化过程，在动手“分一分、画一画”的活动中，发现长、宽与小正方形边长的内在联系，自主建构公因数的意义【5】。2.感悟数学思想方法：在观察、比较、分析不同组数据的过程中，初步体会“交集”这一数学思想，感受“数形结合”、“有序思考”在解决问题中的价值。【热点·情感态度价值观】1.激发探究兴趣：在解决“铺地砖”、“剪正方形”等生活模拟问题中，感受数学的魅力，体会数学知识来源于生活又服务于生活的价值【1】【2】。2.培养科学精神：养成严谨、有序的思考习惯，在小组合作中学会倾听、辨析与分享，培养敢于质疑、善于优化的科学态度。三、教学重难点聚焦：于“求同”处探寻数学的密码【难点·核心剖析】本课的教学重点是理解公因数与最大公因数的意义，掌握用列举法求两个数的公因数与最大公因数。而真正的教学难点在于：如何让学生深刻理解“公”字的含义，即为什么既是这个数的因数，又是那个数的因数，从而突破思维的局限性，从关注单个数的“私有”属性，跃升到关注两个数关系的“公有”属性。特别是当引入集合图表示时，学生需要理解“交集”部分数与两个大集合之间的关系，这是抽象思维的一次重要提升【8】。四、教学流程设计：在“形”与“数”的对话中深度建构（一）创设真实情境，驱动思维冲突

教学伊始，教师不直接出示数学概念，而是创设一个源于生活的装修情境：“同学们，学校美术教室要铺设地面。这间教室长16分米，宽12分米。现在市场上有一些边长为整分米数的正方形防滑地砖。如果要用一种整块的地砖铺满整个地面，不允许切割拼接，可以选择边长是几分米的地砖？如果要让地砖最大，又该选哪一种？”【1】【5】

这个问题情境的创设具有多重意图：其一，它是真实的，贴近学生生活经验的；其二，它蕴含着潜在的数学冲突——“既要铺满长边，又要铺满宽边，还不能有剩余”，这自然地将学生的注意力引向对长和宽的“整除性”的关注上。教师顺势揭示课题：“今天，我们就带着这个装修任务，走进数学的世界，去认识一对新朋友——‘公因数’。”（二）自主探究协作，深度建构概念

环节一：直观操作，积累表象（数形结合第一层）

为了降低思维的难度，教师引导学生将实际问题抽象为数学模型：用一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸片模拟地面，用不同的小正方形纸片（边长1cm、2cm、3cm、4cm、5cm等）模拟地砖，进行“模拟铺装”实验【5】。学生以四人小组为单位展开活动。

学生动手操作，很快就会发现：边长1厘米、2厘米、4厘米的小正方形可以恰好铺满长方形；而边长3厘米、5厘米的小正方形则不行。此时，教师并不急于总结，而是引导学生将操作结果填入任务单：“能正好铺满的小正方形边长与长方形的长和宽有什么关系？”

通过小组讨论，学生不难发现：“能铺满的边长，既是20的因数，又是12的因数！”这个发现至关重要，它是从“形”的具体操作，迈向“数”的抽象概括的关键一步。教师适时板书：20的因数：1，2，4，5，10，20；12的因数：1，2，3，4，6，12。并用红笔圈出两者重合的部分：1，2，4。

环节二：抽象概括，揭示概念（数形结合第二层）

基于刚才的发现，教师引导学生给这些特殊的数命名：“像1、2、4这样，既是20的因数，又是12的因数，我们就把它们叫做20和12的——（学生齐答）公因数！”【非常重要】教师强调“公”字的含义就是“公共、共有”。紧接着追问：“其中最大的那个公因数是几？它就叫最大公因数。”

为了强化概念的内涵，教师引入集合图（韦恩图）进行教学。教师先在黑板上画出两个交叉的椭圆，分别标上“20的因数”、“12的因数”。引导学生将因数填在对应的区域，重点处理交叉部分的“1、2、4”该怎么填【4】。这一过程，将抽象的文字定义转化为了直观的图形结构，让学生清晰地看到了“独有”和“公有”的关系，思维层次再次得到提升。

环节三：及时巩固，内化理解

练习设计要有坡度。先出示基础题：找出8和12的公因数与最大公因数【8】【9】。要求学生先用列举法分别列出8和12的所有因数，再圈出公因数，最后确定最大公因数。教师巡视，重点关注学生是否有遗漏因数（强调有序思考），以及能否准确判断公因数。随后，请学生板演，并用集合图进行展示，进一步巩固概念。（三）方法优化，探寻策略

环节一：自主尝试，暴露思维

出示例题：求18和27的最大公因数【4】。这一环节不再提供直观的学具操作，而是要求学生直接利用因数的知识进行抽象思考。教师放手让学生独立尝试，鼓励用自己喜欢的方法。

预设学生会出现多种方法：

方法一（全面列举法）：分别写出18和27的所有因数，再找公因数。

方法二（筛选法）：先写出18的因数，再从18的因数中从小到大依次判断是不是27的因数，找出最大的那个。

方法三（从大到小筛选法）：先写出18的因数，然后从大到小依次看是否是27的因数，第一个找到的就是最大公因数（如9）。这种方法更具优化意识。

方法四（分解质因数法）：若有学生提前预习或基础较好，可能会用短除法或分解质因数（18=2×3×3，27=3×3×3，公有质因数3×3=9），教师要予以肯定，并将其作为后续学习的延伸点。

环节二：辨析比较，总结方法

组织学生对不同的方法进行评议：“你最喜欢哪种方法？为什么？”引导学生认识到，方法没有好坏之分，只有是否合适。对于数字较小的情况，列举法清晰明了；对于稍微复杂的数字，筛选法更加快捷。但无论哪种方法，其核心思想都是“在变化中寻找不变”——即寻找共有的部分。教师总结：“求两个数的最大公因数，本质就是找出它们因数集合中的‘交集’部分。”【难点】

环节三：专项观察，发现特例

设计一组有结构的练习：找出下列各组数的最大公因数（4，8）；（5，7）；（3，5）；（2，4）；（8，9）；（7，21）【8】【9】。

学生快速计算后，引导学生观察：你发现了什么特殊的情况？

在讨论中总结出两种特殊关系：

1.【重要】倍数关系：当一个数是另一个数的倍数时，较小的数就是它们的最大公因数（如4和8，最大公因数是4）。

2.【重要】互质关系：当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数就是1（如5和7，8和9）。教师顺势介绍“互质数”的概念，但不要求死记硬背，重在理解这种“唯一公因数”的特殊情况。（四）回归情境，解决问题（应用拓展）

教学回归开篇的装修问题：教室长16分米，宽12分米。现在请同学们运用今天所学的知识，为美术教室的设计师提供一份专业的建议书【1】。

学生通过计算16和12的公因数与最大公因数，得出：

可以选择边长是1dm、2dm、4dm的地砖。

如果想让地砖最大，铺起来更大气、更少缝隙，应该选择边长是4dm的地砖（即最大公因数）。

此时，教师进一步追问思维深度：“如果教室的长是16分米，宽是12分米，用边长4分米的正方形地砖铺，长边需要铺几块？宽边需要铺几块？一共需要多少块？”引导学生用除法计算：（16÷4）×（12÷4）=4×3=12（块）。这一步不仅巩固了除法意义，更让学生看到数学内部的一致性与和谐美。（五）分层练习，智慧闯关

【基础关·夯实双基】

1.填空：18的因数有（）；24的因数有（）；18和24的公因数有（）；最大公因数是（）。

2.把下面各数中两个数的公因数圈出来。（题目略）

【应用关·生活链接】

1.把一张长30厘米、宽24厘米的长方形纸剪成同样大的正方形，且纸没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？最大是多少厘米？【5】

【拓展关·思维挑战】

1.有两个数，它们的最大公因数是6。猜一猜，这两个数可能是多少？请写出三组不同的答案。（六）课堂总结与反思

教师引导学生回顾：“这节课我们是怎么认识‘公因数’的？”引导学生从“生活情境——动手操作——抽象概念——寻找方法——实际应用”这条主线进行总结。最后，抛出思考性问题：“今天我们研究了两个数的公因数，你猜猜，三个数的公因数该怎么找？公因数在未来的学习中，还会在哪里出现？”为后续学习埋下伏笔，激发持续探究的欲望。五、作业设计与课后延伸

【必做作业】

1.完成练习册中与公因数、最大公因数相关的基础练习题。

2.寻找生活中的公因数：观察家里的地砖铺设，或者自己设计一个由长方形格子组成的图案，计算一下如果把它分割成若干个相同的小正方形，可以怎么分？最大的小正方形边长是多少？写一篇简短的数学日记。

【选做作业】

查阅资料或向家长请教，了解“辗转相除法”（欧几里得算法）是怎样求两个数的最大公因数的。尝试用