初中九年级数学《图形的相似》核心知识清单

初中九年级数学《图形的相似》核心知识清单一、相似图形的基本概念与性质（一）相似图形的定义【基础】▲在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形。这就要求图形的形状完全相同，只是大小不一定相等。这里强调的是“形状相同”，它与图形的位置、颜色、材料等无关。全等图形是相似图形的特例，即大小也相同的情况。（二）相似多边形的定义【基础】▲如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。这个定义包含了两层涵义，既是判定两个多边形相似的条件，也是相似多边形本身所具有的性质。（三）相似比【核心概念】★相似多边形对应边的比叫做相似比（similarityratio）。通常用字母k表示。例如，若多边形A与多边形B的相似比为k，则意味着多边形A的每条边与多边形B的对应边的长度之比为k。特别地，当相似比k=1时，这两个多边形不仅相似，而且全等。（四）相似多边形的性质【重要】★1.对应角相等：这是相似多边形最重要的特征之一，是进行角度计算和推理的基础。2.对应边成比例：即所有对应边的比值都相等，都等于相似比。这是建立方程求解未知边长的主要依据。3.周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。4.面积比等于相似比的平方：这是相似图形中一个极易出错但又极为重要的性质，在解决面积问题时必须牢记。二、线段的比与比例线段【基础】（一）两条线段的比在同一单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比。求两条线段的比时，两条线段的长度单位必须统一。（二）成比例线段【重要】在四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即(a/b)=(c/d)（或a：b=c：d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时，线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项。（三）比例的基本性质【核心运算法则】★1.基本性质：如果(a/b)=(c/d)，那么ad=bc(bd≠0)。反之亦成立，即如果ad=bc(a、b、c、d都不为0)，那么(a/b)=(c/d)。2.合比性质：如果(a/b)=(c/d)，那么(a+b)/b=(c+d)/d。3.分比性质：如果(a/b)=(c/d)，那么(ab)/b=(cd)/d。4.等比性质：如果(a/b)=(c/d)=…=(m/n)(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b。（四）分割【高频考点、难点】★☆1.定义：如图1所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果(AC/AB)=(BC/AC)，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的分割点，AC与AB的比叫做比。【图1：线段AB，点C位于线段上，靠近B的三等分点附近，标注AC>BC，并标注比例关系(AC/AB)=(BC/AC)】2.比的计算：设AB=1，AC=x，则BC=1x。根据定义(x/1)=(1x)/x，解得x=(√51)/2≈0.618。因此比为(√51)/2:1，通常取其近似值0.618。3.重要结论：一条线段有两个分割点，它们关于线段的中点对称。在分割中，较长线段是原线段与较短线段的比例中项。三、平行线分线段成比例定理【重要工具】★（一）平行线分线段成比例定理（基本事实）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。【图2：三条平行线l1∥l2∥l3，分别截直线m于点A、B、C，截直线n于点D、E、F。标注AB、BC、AC、DE、EF、DF】如图2，若l1∥l2∥l3，则(AB/BC)=(DE/EF)，(AB/AC)=(DE/DF)，(BC/AC)=(EF/DF)。（二）平行线分线段成比例定理的推论（三角形中的运用）【核心】★平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。1.截两边（内截型）：【图3：三角形ABC，DE∥BC，D在AB上，E在AC上】如图3，在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E，则(AD/DB)=(AE/EC)，(AD/AB)=(AE/AC)，(BD/AB)=(CE/AC)。2.截延长线（外截型）：【图4：三角形ABC，DE∥BC，D在BA延长线上，E在CA延长线上】如图4，在△ABC中，DE∥BC，交BA延长线于D，交CA延长线于E，则同样有(AD/AB)=(AE/AC)=(DE/BC)等比例关系成立。（三）平行线分线段成比例定理的逆用（判定平行）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。这是证明两条直线平行的一种重要方法。四、相似三角形的判定【重中之重、高频考点】★★★★★（一）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。若△ABC与△A‘B’C‘相似，记作△ABC∽△A’B‘C’，读作“三角形ABC相似于三角形A‘B’C‘”。表示对应顶点的字母要写在对应的位置上。（二）相似三角形的预备定理（判定引理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。【图5：与图3相同】如图5，在△ABC中，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC。这个定理是证明其他判定定理的基础。（三）相似三角形的判定定理【核心方法】★1.判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。【热点、最常用】这是最常用的判定方法。只要找到两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形就必然相似。在复杂的几何图形中，寻找等角（如对顶角、公共角、平行线产生的同位角或内错角、同角或等角的余角或补角）是解题的关键。2.判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。【重要、易错点】使用此定理时，必须注意是“夹角”相等，即比例的两边的夹角要对应相等。如果不是夹角，则不能判定相似。3.判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。当已知条件集中在边长时，通常用此定理进行判定。计算时需将三边按从大到小（或从小到大）的顺序对应排列，再验证比例是否相等。（四）直角三角形相似的判定定理【特殊化应用】★1.（HL）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。2.推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。【非常重要的基本图形】★【图6：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D】如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则有：△ACD∽△ABC（共用∠A，直角相等）△CBD∽△ABC（共用∠B，直角相等）△ACD∽△CBD（由前两个传递性可得，或由等角的余角相等证∠A=∠BCD等）由此图形可推导出一系列重要的等积式：AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，CD²=AD·DB。（五）相似三角形的判定思路总结【解题策略】1.分析法：从结论出发，寻找需要证明的条件。2.综合法：从已知条件出发，推导出隐含的等角或比例关系。3.基本图形法：熟悉常见的相似三角形基本图形（如“A”字型、“8”字型、母子直角三角形型、一线三等角型等），能快速从复杂图形中识别出它们。五、相似三角形的性质【解题工具】★★★★★（一）基本性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例。（二）重要性质定理【高频考点】★1.性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。注意：“对应”二字至关重要，必须是相似三角形中对应的线段（即处于对应位置上的线段）。2.性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。3.性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。【最易错】★☆这是考试中出错率最高的知识点之一。学生在计算面积时，容易忘记平方，直接将面积比当作相似比。（三）性质的应用【考向分析】1.求线段长度或比值：利用对应边成比例建立方程。2.求角度：利用对应角相等进行等量代换。3.求周长和面积：牢记周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。4.解决实际问题：如测量河宽、建筑物高度等，通常利用相似三角形构造比例式求解。六、相似三角形的应用【实践与综合】★（一）测量高度1.利用阳光下的影子：在同一时刻，物高与影长成正比。即(人的身高)/(人的影长)=(旗杆的高度)/(旗杆的影长)。2.利用标杆：通过观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端三点共线，构造相似三角形。3.利用镜子的反射：根据入射角等于反射角，构造直角三角形相似。（二）测量宽度如测量河宽，可以在河对岸选定一个目标点，在河这边通过构造全等或相似三角形来间接测量。通常利用“A”字型或“8”字型相似。（三）位似变换在作图中的应用利用位似可以将一个图形放大或缩小，这在实际绘图和设计中有着广泛应用。七、位似图形【拓展与延伸】★（一）位似图形的定义如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。【图7：两个相似的五边形，对应顶点连线交于一点O】如图7，点O是位似中心。位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。（二）位似图形的性质【重要】1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。2.位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且成比例。（三）位似变换与坐标【数形结合】★在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(kx,ky)。当位似图形在原点的同侧时，取正号；在异侧时，取负号。（四）画位似图形的一般步骤1.确定位似中心。2.分别连接位似中心和能代表原图的关键点。3.根据相似比，在位似中心与各关键点的连线上（或其延长线上）确定所作的位似图形的关键点。4.顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。八、考点、考向、易错点与解题步骤全析（一）核心考点归纳1.【高频考点1：相似三角形的判定】通常以选择题或填空题的形式，要求从给定的条件中判断哪组三角形相似；或在解答题中，作为证明线段比例关系或角相等的第一步。2.【高频考点2：相似三角形的性质应用】主要考查利用相似三角形的对应边成比例求线段长度，利用面积比等于相似比的平方求面积。常出现在填空题和解答题中。3.【高频考点3：平行线分线段成比例】多与相似三角形结合，用于推导比例式，是解决几何综合题的常用工具。4.【高频考点4：相似与四边形、圆的综合】在矩形、菱形、正方形或圆中构造相似三角形，解决复杂的几何证明和计算问题。5.【高频考点5：相似的实际应用】如测量问题，将实际问题抽象为数学模型，利用相似三角形的性质求解。6.【热点题型】动态几何问题中，探究相似三角形的存在性问题，需要分类讨论，是压轴题的常见形式。（二）常见考向分析1.考向一：给定一组或多组条件，判断两个三角形是否相似，并说明理由。2.考向二：在平行四边形、矩形等背景下，求某条线段的长度或两个三角形的面积比。3.考向三：在网格中，画一个与已知三角形相似的格点三角形。4.考向四：证明等积式（如AC²=AD·AB），通常需要转化为比例式，然后证明比例式所在的三角形相似。5.考向五：坐标系中，求满足相似条件的点的坐标。（三）解题步骤与解答要点1.证明线段比例式或等积式的一般步骤：（1）找：观察比例式中的四条线段，看它们分别在哪两个可能相似的三角形中。（2）证：证明这两个三角形相似（利用AA、SAS、SSS等判定定理）。（3）得：根据相似三角形的性质，得到对应边成比例，从而得出要证的结论。2.利用相似三角形求线段长度的一般步骤：（1）根据题意，识别或构造相似三角形。（2）写出比例式，将已知线段和未知线段代入。（3）解这个比例方程（或方程），求出未知线段的长。3.解决相似三角形存在性问题的策略（压轴题）：（1）分类讨论：明确两个三角形中，哪个角与哪个角是对应角。通常需要按对应角的不同分情况讨论。（2）表示边长：用含参数的代数式表示出动点形成的三角形的各边长。（3）列比例式：根据对应边成比例，列出比例方程并求解。（4）检验：将求出的解代回原题，检验是否符合题意（如点是否在线段上，时间是否为正等）。（四）易错点与难点剖析【学霸警示】★☆1.【易错点1】对相似比的理解偏差：相似比是有顺序的。△ABC∽△DEF，相似比为(AB/DE)，而△DEF∽△ABC的相似比则为(DE/AB)，两者互为倒数。2.【易错点2】混淆面积比与相似比：在解题时，看到面积比，首先要想到它等于相似比的平方，切忌直接当作相似比使用。3.【易错点3】判定相似时找错对应元素：尤其是在用SAS判定时，必须确保比例的两条边是夹着对应相等的那组角的两边。如果角不是夹角，则判定无效。