2027年高考数学一轮复习：人教A版选必一知识点清单

第第页2027年高考数学一轮复习：人教A版选必一知识点清单模块十一空间向量与立体几何1.空间向量共线定理：对空间任意两个向量，存在实数，使得（短变长，长变短，或平行转移）2.空间向量共面定理：若向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对，使空间向量共面定理可用于证明四点共面、线面平行3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数对，使得.其中叫做表示空间向量的一个基底，都叫做基向量4.空间向量的坐标运算：设，则(1)模长公式：(2)数量积公式：(3)夹角公式：(4)垂直：(5)平行：5.充分利用直线的方向向量和平面的法向量(找而定之，设而求之)证明空间中——线、面的平行、垂直，求夹角、求距离设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则(1)【线线关系】(2)【线线关系】(3)【线面关系】(4)【线面关系】(5)【面面关系】(6)【面面关系】(7)【线线角】设异面直线夹角为，其方向向量分别为a，b，则(8)【线面角】设直线与平面所成角为，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则(9)【面面角】设平面与平面所成角为，μ，v分别为平面α，β的法向量说明：三角函数值的转换：，6.(1)点到直线的距离：已知是直线上一点，是直线外一点，直线的单位向量为，设，则向量在直线上的投影向量，所以点到直线的距离为(2)点到平面的距离：设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则点到平面的距离为模块十二直线和圆的方程1.(1)直线的倾斜角的取值范围是(2)斜率，直线的方向向量2.直线的方程：1.直线方程：形式方程局限已知条件点斜式y－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直线(x0,斜截式y＝kx＋b不能表示斜率不存在的直线k是斜率，b是直线在y轴上的截距两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2(x1,y截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示与坐标轴平行及过原点的直线a,b分别是直线在x轴、y轴上的截距一般式Ax＋By＋C＝0A3.两条直线的位置关系：方程lll1:y＝k1x＋l2:y＝k2x＋垂直A（当B1B2k平行A1Bk重合A1=λA2，B1k4.(1)两点间的距离公式：(2)点到直线的距离公式：点到直线：的距离(3)两条平行直线和：间的距离：5.对称问题：①点关于点对称:点P(x1,y证明：设点P(x1,y1)关于点Q(x0,y②点关于直线对称：点P(x0,y0)关于直线l：Ax(证明：点P(x0,y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的点为(x1,y1)，连接，交l于M点，则l垂直平分，所以⊥l，且M为中点，又因为M③直线关于点对称：直线l：Ax＋By＋C＝0关于点(x0Ax＋By-（2Ax0+2By0+C）求直线关于点对称的直线方程方法为：法一：在已知直线上取两点，求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．6.①直线到角的公式：直线l1:y=k1x+b1逆时针旋转到与直线l2:y=k2x+b②直线夹角公式：直线l1:y=k1x+b1与直线l2:y=k2x+b7.(1)圆的标准方程：()，圆心坐标为，半径为.圆的问题尽量与圆心、弦的中点联系起来【该圆上的点的坐标可设为】思考：上、下、左、右的半圆方程怎么表示？(2)圆的一般方程：，圆心坐标，半径8.圆的弦长公式：如图，，其中为弦心距9.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则(1)相离；(2)相切；(3)相交【还要掌握：求过一点与圆相切的切线方程】10.圆与圆的位置关系：设圆半径分别为(),(1)外离(四条公切线)(2)外切(三条公切线)(3)相交(两条公切线)(4)内切(一条公切线)(5)内含(无公切线)11.公共弦所在直线方程，由两圆方程相减（消去二次项）得到12.阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离比为常数的点的轨迹；任何一个圆都可以用阿波罗尼斯圆的定义表示13.①过圆上一点的切线方程：与圆(x−a)2(x②切点弦所在的直线方程：过圆(x−a)2+(y−b)2=模块十三椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的标准方程和几何性质：定义PF1+焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程xy焦点((焦距F顶点ABAB轴长短轴长：2b，长轴长：2aa,b,c的关系a范围−a≤−b≤对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点离心率e=c当e越接近1时，c越接近a，椭圆越扁；当e越接近0时，c越接近0，椭圆越圆。通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段通径长：2b2.椭圆焦点三角形的性质：P为椭圆x2a2+y2b①△F1PF2②S△③4c3.直线与椭圆的位置关系：直线y＝kx＋m与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<04.双曲线的方程和性质：定义PF1−焦点位置焦点在x轴焦点在y轴标准方程xy图形焦点坐标((焦距F顶点AA轴长虚轴长：2b，实轴长：2a对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点离心率e=e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大渐近线y=y=通径过双曲线的焦点与双曲线的实轴垂直的直线被椭圆所截得的线段通径长：25.双曲线焦点三角形的性质：P为双曲线x2a2−y2b6.直线与双曲线的位置关系：设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：x2a把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点。7.抛物线的标准方程与几何性质：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FpF−F0,F0,−准线方程x＝−x＝py＝−y＝p顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p8.直线与抛物线的位置关系：直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组y＝kx＋by2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．9.圆锥曲线的弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|AB|=10.椭圆有关解题大招：（1）与椭圆有关的最值问题：①椭圆上的点P到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c；②当椭圆上的点P在短轴端点时，∠F1（2）椭圆中点弦的相关结论：设椭圆的弦AB的中点为P，则：①椭圆方程为x2a2+y2b（3）椭圆的切线方程：过椭圆x2a2+y2b2=1上一点P（4）椭圆的切点弦方程：过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点P(x0,y0（5）椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)（6）椭圆与蒙日圆：椭圆x2a2+y11.双曲线有关解题大招：（1）双曲线的切线方程：过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)（2）双曲线切点弦方程：过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)外一点P(x0,（3）双曲线焦点到渐近线的距离常用结论：设双曲线x2F（±c,0），渐近线方程为y=±ba（4）双曲线中点弦结论：若双曲线与直线l交于AB两点，M为AB中点，且kAB与kOM斜率存在时，kAB∙kOM=（5）双曲线斜率乘积为定值相关问题：设A、B是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0（6）双曲线与蒙日圆：双曲线x2a2−y212.抛物线有关解题大招：（1）抛物线焦点弦性质：AB是过抛物线y2A(x1,y1)，B(x2,y2)，焦点F(p2,0)，准线l：x=−p2，AP⊥l，为倾斜角