广东省肇庆市2026届高三数学下学期二模试题（一）【含答案】

本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的市（县､区）､学校､班级､姓名､考场号､座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡的“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1.已知是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算即得.【详解】由题意，得.故选：B.2.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】因为，其中为偶数，，其中为奇数，则，即为奇数集，所以为偶数集，又集合表示奇数集合，集合表示偶数集合，集合表示4的整数倍数加2对应的数组成的集合，集合表示4的整数倍数对应的数组成的集合.3.双曲线与双曲线的（）A.顶点相同 B.焦点相同C.虚轴长相等 D.离心率相等【答案】B【解析】【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可.【详解】由表示双曲线，得，得，所以焦点在轴上，又，所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率，双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率，因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足.4.直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角形面积公式求得，得，由点到直线的距离公式列出方程，求得的值，即可判断.【详解】因为，所以，即，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以“”是“的面积为”的充分不必要条件.5.若函数是偶函数，则（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因是偶函数，则，即，也即函数是偶函数，则，，则得，所以，则.6.已知是等比数列的前项和，且，，则（）A.32 B.30 C.64 D.62【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的前项和公式联立方程组求出和，再计算即可.【详解】设数列的首项为，公比为，由题可知，由题意，解得，，则.故选：D7.已知一个盛有水的玻璃容器，该容器由圆柱和半球组合而成，圆柱底面半径与球的半径相等，且圆柱部分的体积是半球部分的体积的3倍.如图放置容器时，水面恰好经过圆柱的上底面，若将容器竖直倒置，则水的高度与容器高度的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用球的体积公式结合圆柱体积公式计算求解.【详解】设半球的半径为，则半球体积为，设圆柱的高为，则圆柱体积为，由题意得，所以，容器竖直倒置后，圆柱部分的水的体积为，此时圆柱部分的水的高为，所以水的高度与容器高度的比值为.8.一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字，随机投掷该骰子3次，得到的点数依次记为，则满足的有序数对的个数为（）A.48 B.36 C.24 D.12【答案】A【解析】【分析】不妨设，由得到，则有2，分别按照和的差值是讨论求解.【详解】不妨设，则，故，所以要使得，只需要2.若，此时三个数的取值有和三种情况，当三个数的取值为时，有序数对共有3种情况；当三个数的取值为时，有序数对共有6种情况；当三个数的取值为时，有序数对共有3种情况；所以当时，有序数对的个数共有12种.同理，，；；的不同情况也均为12种，故满足的有序数对的个数为.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（）A.B.C.在上单调递增D.在上单调递减【答案】BC【解析】【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D.【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”.又因为，所以，故A错误､B正确；此时在上单调递增，在和上单调递减，所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误.10.在正四棱柱中，，点分别为棱上的点（含端点），则（）A.当为的中点时，存在点，使得平面B.当为的中点时，存在点，使得平面平面C.对任意给定的点，存在点，使得D.对任意给定的点，存在点，使得【答案】ACD【解析】【分析】A注意到当点与点重合时，，据此可判断；B取中点，连接与，由平面平面，平面与平面有一个公共点，可判断；C注意到，据此可判断；D以分别为轴建立空间直角坐标系，设Fm,0,2,E1,1,h,m∈[0,1,h∈0,2]，通过方程是否有解可判断.【详解】A，如图1，当点与点重合时，平面平面，所以平面，正确；B，如图2，取中点，连接与，易证明平面C1DF//平面，此时，平面与平面有一个公共点，且显然与平面不重合，所以不存在点使得平面与平面平行，错误；C，如图3，因为平面平面，所以，所以对任意给定的点，存在与点重合的点，使得，正确；D，如图4，以分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，设Fm,0,2,E1,1,h,m∈[0,1则，假设，则，即，所以，因为m∈0,1,(h-所以对于任意，存在使得成立，即对任意给定的点，存在点，使得，正确.11.已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（）A.B.的最小值为C.D.存在点，使得【答案】BCD【解析】【分析】设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D.【详解】对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误；对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确；对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确；对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.12.设的内角所对边的长分别为.若，，则__________.【答案】##【解析】【详解】，由正弦定理得，即，因为，所以，所以.13.已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示）【答案】【解析】【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案.【详解】因为，构造函数，因为，所以函数是增函数，因为，所以，因为，所以原不等式即，解得，所以不等式的解集为.14.正2026边形内接于单位圆，任取它的两个不同的顶点，的概率为__________.【答案】【解析】【分析】应用向量数量积公式及运算律计算化简得出向量夹角，再应用古典概型计算求解.【详解】因为，所以，解得，即向量与的夹角不超过.因为，所以对任意给定的向量，满足条件的向量的取法有种，故正2026边形内接于单位圆，任取它的两个不同的顶点，的概率为.四､解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16､17题15分，第18､19题17分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效15.树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立.（1）求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率；（2）记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望.【答案】（1）（2）0123.【解析】【分析】（1）利用全概率公式求解；（2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望.【小问1详解】记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为，则，由题意得，所以.【小问2详解】记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为则由题意得的所有可能取值为则..所以的分布列为0123所以的数学期望为.16.如图，在三棱锥中，.（1）证明：；（2）若二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，由条件证明平面，再由线面垂直的性质推得，结合线段中垂线的性质即可得证；（2）由题意建系，利用几何法推得二面角的平面角为，求出相关点的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得.【小问1详解】如图，取的中点，连接和，因为，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，因，所以.【小问2详解】由（1）知，，平面平面，所以二面角的平面角为，即，在平面内，过点作，易知两两相互垂直，如图，以分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以满足，即，则，于是，因为，则，所以，设平面的法向量为，则，即，故可取，设平面的法向量为，则，即，故可取，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.设数列满足且.（1）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（2）若，求正整数的值.【答案】（1）证明见解析，（2）.【解析】【小问1详解】因为，所以，所以，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.所以.【小问2详解】由解得，因为，所以，所以，所以，所以，即，解得.18.已知函数，其中且.（1）当时，求函数图象在处的切线方程；（2）若对于给定的自然数，函数有意义，求的取值范围；（3）对任意的，若，求的最大值.【答案】（1）（2）.（3）.【解析】【分析】（1）代入化简，对其求导并计算处的导数值得到切线斜率，由确定切点为原点，最后用点斜式写出过原点的切线方程为.（2）根据不等式在给定区间恒成立，分离参数，构造关于的函数，利用底数小于1的指数函数单调递减，判断复合函数单调性，求出函数在区间上的最大值，进而得到参数的取值范围.（3）由判断各指数函数单调递增，结合得到内层和函数单调递增，进而推出在区间上单调递增，故最大值为.根据恒成立列出对数不等式，化简整理得到关于的不等式，构造新函数求导判断单调性，求出函数取值范围，最终确定正整数的最大值为3.【小问1详解】当时，函数，求导得，所以，因为，所以切点为原点，所以函数图象过原点的切线方程为.【小问2详解】由题意得，对于给定的自然数在上恒成立，因为，所以恒成立，因为，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以.【小问3详解】因为，所以在上单调递增，又因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，所以，由恒成立，所以，即，所以，令，求导得恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，即的最大值为.19.已知抛物线的焦点为，准线为，直线交准线和抛物线于两点，且.（1）求的值；（2）如图，若抛物线上有三个点，且直线均与抛物线相切.（i）证明：直线与抛物线相切.（ii）探究点与外接圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）2（2）（i）证明见解析；（ii）点在的外接圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线定义结合正切值计算得出参数值；（2）（i）先设点，再结合判别式计算证明直线和抛物线关系；（ii）应用两角和正切公式计算，再结合向量数量积坐标公式计算得出四点共圆即可求解.【小问1详解】如图，由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形，所以，记准线与轴的交点为，因为的纵坐标为，所以，由抛物线的定义知，所以，所以.【小问2详