2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册 第25章 一元二次方程 单元测试卷3

2026-2027学年上学期人教版九年级数学上册

第25章一元二次方程单元测试卷3一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中一定是一元二次方程的是(

)A.x2−4y=0 B.x3−4x=5 C.2.一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A.5，4，1 B.5，4，−1 C.5，−4，−1 D.5，−4，13.已知x=1是方程x2−2x+c=0的一个根，则实数c的值是(

)A.−1 B.0 C.1 D.24.若关于x的一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5A.0 B.±3 C.3 D.−35.若x1，x2是一元二次方程x2−4x−5=0的两根，则xA.−5 B.5 C.−4 D.46.一元二次方程2x2−3x+1=0的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根

C.有两个相等的实数根 D.无法确定7.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为(

)A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=58.关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，则a的取值范围是A.a≤14且a≠−2 B.a≤14 C.a<19.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是(

)A.300(1+x)=507

B.300(1+x)2=507

C.300(1+x)+300(1+x10.对于任意实数a，b，定义：fa,b=a2+5a−b，如：f2,3=2A.1或−6 B.−1或6 C.−5或1 D.5或−111.已知a、b是关于x的一元二次方程x2−6x−n+1=0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为(

)A.−4 B.8 C.−4或−8 D.4或−812.定义新运算“a∗ b”：对于任意实数a，b，都有a∗ b=a2+ b2−2 ab−2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5∗6=52+6A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.根据图中的程序，当输入一元二次方程x2−2x=0的解为x时，输出的结果y=

．

14.若菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2−9x+20=0的一个根，则该菱形的周长为

．15.如图所示，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则点P，Q运动

s时，△PBQ的面积为5cm2．

16.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m−2)x−2m=0是“倍根方程”，那么m三、计算题：本大题共3小题，共18分。17.用配方法解方程：(1) x(2) 2x2−8x+3=0．

18.用公式法解方程：(1)x(2)x2−2x+5=2x+4．

19.解下列方程：(1)x(2)3x2+6x−4=0．

四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

21.(本小题8分)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

22.(本小题8分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙．

(1)若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？(2)围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？(3)若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？

23.(本小题8分)

某水果超市经销一种高档水果，售价每千克50元．(1)若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；(2)若按现价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该超市希望每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？

答案解析

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中一定是一元二次方程的是(

)A.x2−4y=0 B.x3−4x=5 C.【答案】C

【解析】略2.一元二次方程5x2A.5，4，1 B.5，4，−1 C.5，−4，−1 D.5，−4，1【答案】C

【解析】解：一元二次方程5x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、故选：C根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项．此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，3.已知x=1是方程x2−2x+c=0的一个根，则实数cA.−1 B.0 C.1 D.2【答案】C

【解析】【分析】本题考查方程的解的定义．使方程左右两边相等的未知数的值班叫方程的解．

根据方程解的定义，把x=1代入方程得到关于c的一个方程，解之即可．【解答】解：把x=1代入方程得

1−2+c=0，

解方程得c=14.若关于x的一元二次方程(m−3)x2+mA.0 B.±3 C.3 D.−3【答案】D

【解析】一元二次方程(m−3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后为(m−3)x2+(m2−9)x−5=0.因为该方程不含一次项，所以m2−9=0，所以5.若x1，x2是一元二次方程x2−4x−5=0A.−5 B.5 C.−4 D.4【答案】A

【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于ca是解题的关键．

利用根与系数的关系可得出x【解答】

解：∵x1，x2是一元二次方程x2−4x−5=0的两根，

∴6.一元二次方程2x2A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根

C.有两个相等的实数根 D.无法确定【答案】A

【解析】解：∵a=2，b=−3，c=1，

∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×1=1>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

把a=2，b=−3，c=1代入判别式Δ=b2−4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．

本题考查了一元二次方程ax27.一元二次方程x2−4x−1=0A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5【答案】D

【解析】解：x2−4x−1=0，

x2−4x=1，

x2−4x+4=1+4，

(x−2)2=58.关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，则A.a≤14且a≠−2 B.a≤14 C.a<1【答案】A

【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a+2)x2−3x+1=0有实数根，

∴Δ≥0且a+2≠0，

∴(−3)2−4(a+2)×1≥0且a+2≠0，

解得：a≤14且a≠−2，

故选：A．

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且Δ≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax9.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是(

)A.300(1+x)=507

B.300(1+x)2=507

C.300(1+x)+300(1+x【答案】B

【解析】【分析】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

设这两年的年利润平均增长率为x，根据2018年初及2020年初的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，

根据题意得：300(1+x)2=507．

10.对于任意实数a，b，定义：fa,b=a2+5a−b，如：f2,3A.1或−6 B.−1或6 C.−5或1 D.5或−1【答案】A

【解析】略11.已知a、b是关于x的一元二次方程x2−6x−n+1=0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则nA.−4 B.8 C.−4或−8 D.4或−8【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关系结合等腰三角形的性质，求出a，b的值是解题的关键．

利用根与系数的关系可求出a+b=6，结合等腰三角形的性质可得出a=b=3或a，b两数分别为1，5，再利用两根之积等于−n+1，即可求出n值．

【解答】

解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2−6x−n+1=0的两根，

∴a+b=6．

又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，

∴a=b=3或a，b两数分别为1，5．

当a=b=3时，−n+1=3×3，解得：n=−8；

当a，b两数分别为1，5时，−n+1=1×5，解得：n=−4．

故选12.定义新运算“a∗ b”：对于任意实数a，b，都有a∗ b=a2+ b2−2 ab−2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5∗6=52A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程无实数根．

利用新定义得到x2+k2−2xk−2=kx，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ>0可判断方程根的情况．

【解答】

解：∵对于任意实数

a，

b，都有

a∗

b=

a2+

b2−2

ab−2，

所以x∗k=x2+k2−2kx−2，

∵

x∗

k=二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.根据图中的程序，当输入一元二次方程x2−2x=0的解为x时，输出的结果y=

．【答案】−4或2

【解析】解：

x2−2x=0，解得x1=0，x2=2，

当x=0<1时，y=x−4=−4;

当x=2>1时，y=−x+4=214.若菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2−9x+20=0的一个根，则该菱形的周长为【答案】20

【解析】略15.如图所示，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则点P，Q运动

s时，△PBQ的面积为5cm2．【答案】1

【解析】略16.当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”.如果关于x的一元二次方程x2+(m−2)x−2m=0【答案】−4或−1

【解析】解：∵x2+(m−2)x−2m=0，

∴(x+m)(x−2)=0，

∴x1=−m，x2=2，

由题意−m=2×2或2=2×(−m)，

解得m=−4或−1．

当m=−4时，Δ=(−6)2−4×−2×−4=4>0，

当m=−1时，Δ=(−3)2−4×(−2)×−1三、计算题：本大题共3小题，共18分。17.用配方法解方程：(1) x(2) 2x【答案】(1)解：x2－2x＝6，x2－2x＋1＝7，（x－1）2＝7，x−1=7或∴x1=1+

(2)2x2－8x＝－3，x2x2x−22x−2=±∴x1=4+

【解析】1.

见答案

2.

见答案18.用公式法解方程：(1)x(2)x【答案】解：(1)x2+3x−4=0，

(x−1)(x+4)=0，

x−1=0或x+4=0，

∴(2)方程整理得x2−4x+1=0，

则a=1，b=−4，∴Δ=b2−4ac=16−4=12>0，解得x1=2+

【解析】详细解答和解析过程见【答案】19.解下列方程：(1)x(2)3x【答案】(1)解：x2+10x=−9，x2+10x+25=−9+25，x+52=16，x+5=±4，∴x1=−1，x2=−9；

(2)3x2+6x=4【解析】1.

略

2.

略四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额;(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】解：(1)由题知，450+450×12%=504(万元)．

答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，

依题意得350(1+x)2=504，

解得x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)，

答：该商店去年【解析】本题考查一元二次方程的应用．

(1)根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额=前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；

(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．21.(本小题8分)如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．

(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m(2)羊圈的面积能达到650 m【答案】(1)设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m．根据题意得x（72－2x）＝640，化简得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40（m），当x＝20时，72－2x＝72－40＝32（m）．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．

(2)不能，理由：由题意，得x（72－2x）＝650，化简得x2－36x＋325＝0，Δ＝（－36）2－4×325＝－4<0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．

【解析】1.

见答案

2.

见答案22.(本小题8分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用