高考数学复习第2篇第2讲

第二篇核心素养谋局、思想方法引领第2讲数形结合思想结构框架明应用思想方法熟解读方法应用提能力结构框架明应用思想方法熟解读一、运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则1．等价性原则．在应用数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．2．双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．3．简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．二、特别提醒数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：1．准确画出函数图象，注意函数的定义域；2．用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解；利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：一是精准转化方程与函数关系，二是聚焦函数图象的关键特征；3．在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．三、命题规律1．数形结合思想在高考试题中主要有以下几个常考点(1)集合的运算及Venn图；(2)函数及其图象；(3)平面向量；(4)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；(5)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(6)对于研究距离、角或面积的问题，往往涉及直线与圆、立体几何、圆锥曲线等，利用几何图形或形数转换求解；(7)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用(与函数方程思想相结合)．2．数形结合思想常用模型一次、二次函数图象；“对勾函数”应用单调性或基本不等式；三角函数图象和性质；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等．方法应用提能力应用一研究图形的形状、位置关系、性质等●核心知识函数图象与性质应用问题：即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的，破解此类题的关键点：(1)分析数理特征：一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题；(2)画出函数图象：画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象；(3)数形转化：这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化；(4)得出结论：通过观察函数图象得出相应的结论．●方法技巧函数图象的识辨可从以下方面入手：1．从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．2．从函数的单调性，判断图象的变化趋势．3．从函数的奇偶性，判断图象的对称性．4．利用函数值考察特征点，排除不合要求的图象．5．应用导数研究函数的性质，考察图象升降的快慢、极值点，发现图象差别．利用上述方法排除、筛选选项．●典例研析1．(1)(2025·河南二模)已知y＝1－alog2x是减函数，则函数f(x)＝|x|(x－a)的大致图象为(

)(2)(多选)(2025·湖南模拟)若f(x)与g(x)分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h(x)＝f(x)g(x)的部分图象可能为(

)【答案】

(1)B

(2)AC(2)f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)为奇函数，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，且h(x)的定义域关于原点对称，函数h(x)＝f(x)g(x)为奇函数，h(x)的图象关于原点对称．故选AC.应用二构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围●核心知识1．构建函数模型并结合图象研究方程的根或函数的零点所涉及的参数问题；2．构建函数模型并结合图象研究量与量之间的大小关系，求参数的取值范围或解不等式．●方法技巧充分利用函数与函数的图象之间的关系，利用数形结合思想得到不同的交点下参数的范围．●典例研析2．(1)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，则a的取值范围是(

)【答案】

(1)D

(2)D应用三构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系●核心知识熟练掌握常见函数的图象以及函数图象的变换：由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系．●方法技巧1．对于零点关系问题，往往把函数零点转化为方程的根，再转化为新函数的交点横坐标关系问题，另外本题要注意函数y＝ex与函数y＝lnx是反函数，故两个交点A、B关于点(1,1)中心对称．2．本题考查构造函数比较函数值大小的问题，解题关键是能够根据已知关系式的结构特征，准确构造函数，将问题转化为函数值大小关系的比较问题，从而利用导数确定函数的单调性和图象来进行求解．●典例研析3．(1)(多选)已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是(

)A．ea＋lnb>2 B．ea＋lnb＝2C．a＋b＝2 D．ab>1A．a>c>b B．a>b>c

C．b>c>a D．b>a>c【答案】

(1)BC

(2)D应用四构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式●核心知识向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离．应用五构建几何模型研究代数问题●核心知识1．在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：(1)分析特征：一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义．(2)进行转化：把要解决的代数问题转化为几何问题．(3)得出结论：将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．2．几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”等几何结论．(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E.记A1F与平面BCC1B1所成角为α，A1F与AD1所成角为β，则(

)【答案】

(1)C

(2)D应用六构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值等问题【答案】

(1)A

(2)4

(3)(0,2)【解析】

(1)由题意可知，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，由f(x)＝x3＋x，得f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R单调递增，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，f(y2－2y＋3)＋f(x2－4x＋1)≤0有f(y2－2y＋3)≤－f(x2－4x＋1)＝f(－x2＋4x－1)，∴y2－2y＋3≤－x2＋4x－1，整理得(x－2)2＋(y－1)2≤1，y≥1时即(x，y)的取值区域如下图阴影部分所示：应用七构建方程模型或函数模型，结合其图象研究零点的范围与个数问题●核心知识讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数．构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数.方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f(x)＜g(x)可转化为函数y＝f(x)和函数y＝g图象的位置关系问题．【分析】

(2)令f(x