高考数学复习第1篇专题4第4讲

第一篇第一篇核心专题突破、素养能力提升专题四立体几何第4讲空间向量与距离、探究性问题结构框架明体系真题再现明考向考点突破提能力课时跟踪训练考情分析明方向考情分析明方向高考对此部分内容主要以解答题的形式考查，常以多面体为载体，题目与距离问题、折叠问题、探索问题相结合命题．解题的关键是明确翻折前后不变的位置关系和数量关系，根据题目条件合理引入参数，利用方程的思想解题．结构框架明体系真题再现明考向【答案】

C(1)证明：BM∥平面CDE；(2)求点M到ABF的距离．【解析】

(1)证明：因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD，四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE.(2)如图所示，作BO⊥AD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，所以CD＝2，结合(1)四边形BCDM为平行四边形，可得BM＝CD＝2，(1)求A到平面A1BC的距离；(2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A－BD－C的正弦值．【解析】

(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，设点A到平面A1BC的距离为h，(2)取A1B的中点E，连接AE，如图，因为AA1＝AB，所以AE⊥A1B，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，且AE⊂平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC.又AE，BB1⊂平面ABB1A1且AE，BB1相交，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，4.(2023·全国甲卷文科)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．【解析】

(1)证明：∵A1C⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴A1C⊥BC.又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，∴BC⊥平面ACC1A1.又BC⊂平面BCC1B1，∴平面ACC1A1⊥平面

BCC1B1.(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，∴BC⊥AC，BC⊥A1C.∵AB＝A1B，BC＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，∴A1C＝AC.∵A1C⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，∴A1C⊥AC，∴A1C2＋AC2＝A1A2.5．(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，平面BB1C1C与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？【解析】

(1)证明：连接AF，∵E，F分别为直三棱柱ABC－A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，考点突破提能力考点一点到直线的距离●核心知识点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外的一点．●方法技巧用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．提醒：平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解．【答案】

(1)C

(2)C●跟踪训练1．(2025·百色校级期中)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，AD＝4，点E在棱BC上，且BC＝4BE，点G为△AB1C的重心，则点G到直线AE的距离为(

)【答案】

A2.(2025·休宁县校级一模)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为(

)【答案】

C考点二点到平面的距离●核心知识平面外一点P到平面α的距离●方法技巧用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．提醒：线到面的距离、面与面的距离转化为点到面的距离求解．●典例研析2．(1)(2025·讷河市校级一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱锥P－ABCE，且PB＝2.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为(

)(2)(2025·西青区校级三模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝2AD＝2，E是PC的中点．①求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；【答案】

(1)B

(2)见解析OH∥BE，可得OH⊥AE，因为△PAE为等边三角形，则PO⊥AE，平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，所以PO⊥平面ABCE.以O为原点，OA，OH，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，【答案】

C4.(2025·天津校级四模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2.(1)设F为B1C1中点，求证：A1F∥平面BDE；(2)求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值；(3)求点B到直线DE的距离．【解析】

(1)证明：取BE的中点为G，连接FG，DG，因为F为B1C1中点，所以FG∥CC1∥AA1，而AD＝1，CE＝2，则A1D＝2，C1E＝1，(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，故CA，CB，CC1两两垂直，以CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直坐标系，由于AC＝BC＝2，CC1＝3，AD＝1，CE＝2，故B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(2,0,1)，A(2,0,0)，考点三空间中的探索性问题●核心知识与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．●方法技巧空间角存在性问题的解题策略借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．【解析】

(1)证明：三棱台ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，AB＝2AA1＝2A1B1＝2BB1，则四边形ABB1A1为等腰梯形，且∠ABB1＝∠BAA1＝60°，设AB＝2x，则BB1＝x，由勾股定理的逆定理得AB1⊥BB1，∵平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1，故由AB1⊥BB1知AB1⊥平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，∴AB1⊥BC，又∵△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，即BC⊥AB，又AB∩AB1＝A，AB⊂平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1.BC⊥平面ABB1A1，即BC⊥平面PAB，故BC即三棱锥P－ABC中面PAB的高，由(1)中所设，AB＝BC＝2x，∠PAB＝∠PBA＝60°⇒△PAB为等边三角形，故PA＝PB＝AB＝2x，(3)∵BC⊥平面ABB1A1，BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，取AB中点N，正△ABC中，PN⊥AB，则PN⊥平面ABC，PN⊂平面PNC，∴平面PNC⊥平面ABC，于是，作FE⊥CN，平面PNC∩平面ABC＝CN，故FE⊥平面ABC，再作ED⊥AB，连接FD，则ED即FD在平面ABC上的射影，由三垂线定理，AB⊥FD，故∠FDE即二面角F－AB－C的平面角，●跟踪训练5.(2025·铁东区校级模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥CD，AB∥DC，BC＝CD＝2，AB＝4，M，N分别为PB，PC的中点．【解析】

(1)在平面ABCD内作AS⊥AB，因为PA⊥平面ABCD，∴以A为原点，AB，AS，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，课时跟踪训练一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·盐城期中)若平面α过点A(2,3,0)且该平面的一个法向量为n＝(2,1,1)，则点P(－4，－9,30)到平面α的距离为(

)【答案】

A【答案】

A【答案】

A4．(2025·四川校级期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．直线FC1到平面AB1E的距离为(

)【答案】

D【解析】

∵AE∥FC1，FC1⊄平面AB1E，AE⊂平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离，如图，以D点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立直角坐标系，5．(2025·湖北三模)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为(

)【答案】

D【答案】

D7．(2025·安徽模拟)已知正三棱锥A－BCD的三个侧面均为等腰直角三角形，过点A作一平面α，使得B，C，D三点在平面α的同一侧，且B，C，D三点到该平面的距离分别为2,1,1，则三棱锥A－BCD的侧棱长为(

)【答案】

C8.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是(

)【答案】

C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2,1，－3)为直线l上一点，若点P(－1,0，－2)为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为(

)【答案】

AB【答案】

ABD【答案】

AC13．(2025·湖州模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝2AC＝2，侧棱AA1＝2，若点M，N分别是线段A1B，A1C1的中点，则点N到直线CM的距离是________.【解析】以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，14．(2025·江西模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，若直线PC⊂平面α，直线BD∥平面α，平面α与直线AB，AD分别交于点E，F，则△PEF的面积为________；直线BD到平面α的距离为________.四、解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2025·滨海新区校级三模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，其中AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，P是棱DF的中点．(1)求证：BF∥平面APC；(2)求直线DF与平面APC夹角的正弦值；(3)求点E到平面APC的距离．【解析】

(1)证明：连接BD交AC于点O，因为P，O分别为DF，DB的中点，所以BF∥PO，又PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，则BF∥平面APC.(2)直线AF⊥平面ABCD，A