高考数学复习第1篇专题5第3讲

第一篇第一篇核心专题突破、素养能力提升专题五解析几何第3讲圆锥曲线的定点与定值问题、存在性问题结构框架明体系真题再现明考向考点突破提能力课时跟踪训练考情分析明方向考情分析明方向以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、定值问题、存在性问题，运算量较大，属于难题，热点为直线与椭圆相交为载体的定点、定值问题．结构框架明体系真题再现明考向即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0.

①当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，如图1.代入椭圆方程消去y并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，根据y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入①整理，可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0，考点突破提能力考点一定点、定直线问题圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．●典例研析1．(2025·湘阴县校级三模)已知抛物线E的顶点在坐标原点O处，对称轴为x轴，且过点T(2，－4)，A，B是E上两个动点．(1)求抛物线E的标准方程；(2)已知C是E上一点，且E的焦点F为△ABC的重心，设C的横坐标为t，求t的取值范围；(3)已知P为直线OT在第二象限内一点，直线PA，PB与抛物线E分别相切于A，B两点，设PA，PB与y轴分别交于M，N两点，证明：直线AN与直线BM的交点在定直线上．【解析】

(1)设抛物线方程为y2＝2px，代入点T(2，－4)，得16＝4p，得p＝4，所以抛物线E的标准方程为y2＝8x.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(t，y3)，(1)若y0＝－2，求抛物线C1的准线方程；(2)记直线l：y＝kx＋b与C1、C2分别切于点M、N，当p变化时，求证：△RMN的面积为定值，并求出该定值．考点二定值问题圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简，即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值：利用两点间距离公式求得线段长度的解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．(1)求双曲线C的方程；(2)若|PF1|－|QF2|＝2，求k的值；(3)证明：|MF1|＋|MF2|是定值．所以kNF1＝kQF2，因为kPF1＝kQF2，即kPF1＝kNF1，所以P、F1、N三点共线，因为NQ与F1F2互相平分，所以四边形F1NF2Q为平行四边形，此时|NF1|＝|QF2|，所以|PF1|－|QF2|＝|PF1|－|NF1|＝2，考点三存在性问题有关存在性问题的求解策略存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．注意：当结论或条件不唯一时，要分类讨论．课时跟踪训练(1)求椭圆Γ的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆Γ于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆Γ于另两点D，E，若k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．①求|MN|的最大值；②判断|AM|2＋|BN|2是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，求出它的最大值．4．(2025·白银区校级二模)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到y轴的距离是2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点(1,0)作两条互相垂直的直线l1和l2，分别交曲线C于点T，M和K，N.设线段TM，KN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点；(3)若点D是抛物线C上一点(不同于坐标原点O)，I是△DOF的内心，求△IOF面积的取值范围．(1)求C的方程；(2)求△PAB面积的最大值；(3)若直线PA，PB与y轴分别交于M，N两点，问△MF1F2的外接圆是否经过点N，请给出你的判断并说明理由？(1)求椭圆E的标准方程；(2)矩形ABCD为椭圆E的外切矩形，求矩形ABCD面积的取值范围；(3)过椭圆E的蒙日圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别为M，N，且直线OM，ON的斜率k