高级基础统计 3

DiscreteOutcomeModels离散结果模型•

离散数据模型•

二项Logit模型•

离散数据和效用理论•

多项Logit模型•

嵌套对数模型•

Logit模型的特殊性质一、离散数据模型在为无序离散结果建立统计模型时，通常会从影响特定离散结果的解释变量的线性函数入手。例如，在车辆事故中，可能的离散碰撞结果有追尾、侧滑、冲出道路、迎面、转弯和其他。假设Tin是一个线性函数，它决定了观察结果n的离散结果i，使得：βi是离散结果i的可估计参数向量，Xin是决定离散结果i的可观测特征（解释变量）向量,是决定n个观测点离散结果的可观测特征（解释变量）的向量。为了得到一个可统计估计的概率模型，扰动项εin，得出为了得出离散结果的可估计模型，I表示观测结果n的所有可能结果，Pn(i)是观测结果n产生离散结果i的概率可写为或通过假设随机扰动项。两种常用的建模方法是probit和logit二、二项Logit模型二项模型（考虑两个离散结果的模型）和多项式模型（考虑三个或更多离散结果的模型因为二者之间的推导可能有很大的不同。当方程中的干扰项假定为正态分布时，就会产生Probit模型。在二元情况下（两个结果，记为1或2），方程可写成累积正态函数为如果是φ是标准化累积正态分布，那么其中参数向量很容易用标准最大似然法估算，似然函数为其中N是观测数据的总数。在i=1或2的二进制情况下，等式的对数似然为三、离散数据和效用理论在许多应用中，将统计模型与基本理论结构联系起来是非常有用的。例如，在经济和交通文献中，离散结果模型就与效用理论联系在一起。微观经济理论的传统方法是让决策者在一组备选方案中做出选择，从而使他们的效用（满意度）最大化，但前提是备选方案的价格和收入限制（见Nicholson，1978年）。在处理决策者在离散替代品中的选择时，离散结果模型通常被称为离散选择模型，但重要的是要记住，从更一般的意义上讲，任何离散结果，无论是否是消费者的选择，都可以用离散结果模型来模拟。我们定义了一个效用函数，它由m种商品ym的消费所决定，即假定一种商品的消费与所有其他商品的消费无关。效用函数可以写成前面的讨论是从传统意义上看待效用的，即在收入约束条件下效用最大化，这种最大化产生对商品的需求。在应用离散结果模型时，效用函数通常以价格和收入作为参数。当效用函数以这种方式书写时，效用函数被称为间接效用函数，而且可以证明这种间接效用与由此产生的某种商品m的需求方程之间的关系是由罗伊特性给出的V是间接效用，Pm是商品m的价格，lnc是决策者的收入，

是商品m的效用最大化需求。四、多项Logit模型1.概述多项Logit模型(multinominallogitmodel，MNL)是logit回归类模型的基本形式，其效用随机项相互独立且服从同Gumble极值分布。基于概率理论，J个选择项MNL模型可以表示成:

是出行者q对选择项i的概率，b是参数2.延伸模型（1）BCL模型（2）NL模型（3）Dogit模型（4）BCD模型（5）CNL模型（6）误差异质多项logit模型（7）协方差异质嵌套logit(covarianceheterogeneousnestedlogit，COVNL)模型3.MNL模型的发展脉络与方法改进方法主要包括:(1)对效用可观测项计算进行非线性变换，改善单个因素对可观测效用的边际影响，提高各选择项计算概率的相对比较合理性，BCL模型就属于此类型。另一种途径是采用“市场竞争”的思想对选择项进行分类与份额分配，从而达到缓解IIA特性的目的，此类型包括Dogit和BCD模型等。(2)建立“柔性模型结构”，它通过建立树型嵌套结构、常数或非常数的结构参数以及各选择项分配到各子层的份额参数，使效用随机项服从同一分布且具有相互独立性，同时也使得各选择项交叉响应特性按分配差异产生变化。此类模型有NL、CNL、PCL和GNL模型以及其他的改进模型(3)用各选择项和效用随机项之间或选择子层之间的协方差来改善IA引发的问题，HMNL和COVNL模型属于此类型。4.多项Logit回归的多项选择一般在研究回归分析时，常遇到响应变量为二选一的问题，如高中毕业后,是继续读大学?或是公司成长至某阶段时，是否选择上市?此种问题一般可使用二元logit回归或二项logit回归来分析。然而在某些情况下，回归分析所面临的选择不止是,选1的问题，如某个通勤者可能面临自己开车、搭公交车或乘地铁去上班的3选1间题:或者公司面临是否初次发行公司债，若选择发行，是选择普通公司债，还是可转换公司债?此时决策者面临多个选择方案，一个较好的解决方案便是使用多项logit回归，此回归可解决多个方案的选择问题。多项logit回归是指“响应变量种类超过两项”的多项选择回归。例如，美国总统大选选民民意调查想要了解选民的性别、年龄层及学历如何影响当时3位候选人的投票行为。STaTa多项选择回归(multinomialchoice)又分多项概率回归、多项(多类别)logit回归这两大类。表14.1“多项logit”回归的统计方法比较表5.多项Logit回归的介绍多项logit回归的应用领域包括:(1)预期财富向下移转对子女教育的影响--实证分析。(2)以多项logit回归模型分析青少年BMI与身体活动量的相关性。(3)法拍房拍定拍次、竟标人数与竞得标价的决定因素:(4)企业杠杆与研发技术杠杆的研发策略选择的研究。(5)董事会结构、操作衍生性金融商品交易对信息透明度的影响(6)信用卡业务的审核过程、还款变化与违约的研究。(7)商业银行如何衡量住房贷款的违约概率与违约损失率--内部模型法的应用例如，下列6个响应变量为影响我国上市公司初次公开发行公司债的因素，其辑回归的表达式为:5.多项Logit回归的介绍令N个方案的概率分别为P1，..Pn。故多项logit回归可以下列式子表示此回归可用极大似然法观察其极大似然函数来估计因此，5.多项Logit回归的介绍此似然函数的最大值可由非线性的最大化方式求得。为获取β1，...βn的有效估计量，必须建构一个信息矩阵(informationmatrix)，可以用下式表示:其中，6.例题对151名乘客进行了调查。调查收集了他们早上从家到公司的路线选择信息（所有通勤者都驾驶私家车）。所有通勤者都从同一个出发点（出发，前往市中心去上班。从出发地的车辆停放点到目的地的车辆停放点之间的距离是精确测量的，因此，尽管通勤者的出发地和目的地大致相同，但他们之间的距离却存在差异。通勤者有三条备用路线可供选择：四车道干道（限速60公里/小时，双向2车道）、双车道高速公路（限速60公里/小时，双向1车道）和限制通行的四车道高速公路（限速90公里/小时，双向2车道）。这三条路线都有一些共同的出入口，例如，高速公路和双车道公路都使用同一条通往市中心的道路，因为高速公路的出口与双车道公路的出口在同一条城市街道上。表14.3可用于居家到工作地点路线选择模型估算的变量。表14.3可用于居家到工作地点路线选择模型估算的变量（续变量编号变量描述17家庭年收入（元/年）：

低于

140,000时为

1，140,000-209,999时为

2，210,000-279,999时为

3，280,000-349,999时为

4，350,000以上时为

518旅行所用车辆的车龄（年）为分析乘客的路线选择，我们对表14.3中的变量进行了多项式对数模型估计。模型估计结果见表14.4。根据该表，估计的效用函数为：DISTA是干道上的距离（以公里为单位），DISTT是双车道公路上的距离（以公里为单位），DISTF是高速公路上的距离（以公里为单位），VEHAGE是通勤车的车龄（以年为单位），YOUNG是一个指标变量，如果通勤者的年龄小于30岁，则取1，否则取0。表14.4上班路线选择的多项式对数估计结果7.设定错误在推导多项式对数模型时，有许多限制性假设，如果不满足这些假设，可能会导致严重的设定错误。此外，与任何统计模型一样，在模型估计中遗漏关键变量或包含无关变量都会造成后果。可以说，多叉logit模型最常被忽视和误解的局限性就是所谓的无关变量独立性（IIA）特性。为了说明IIA问题，我们可以很容易地看出，对于MNL模型，任何两个结果的概率之

比都与决定任何其他结果的函数无关，因为[如等式所示，有共同的分母]。7.设定错误在推导多项式对数模型时，有许多限制性假设，如果不满足这些假设，可能会导致严重的设定错误。此外，与任何统计模型一样，在模型估计中遗漏关键变量或包含无关变量都会造成后果。可以说，多叉logit模型最常被忽视和误解的局限性就是所谓的无关变量独立性（IIA）特性。为了说明IIA问题，我们可以很容易地看出，对于MNL模型，任何两个结果的概率之

比都与决定任何其他结果的函数无关，因为[如等式所示，有共同的分母]。为了说明这一特性可能导致的问题，请考虑对上班出行方式选择模型进行估计，在该模型中，可供选择的出行方式包括乘坐个人车辆、红色公交车或蓝色公交车。红色和蓝色公交车显然具有共同的非观测效应，这些效应将出现在它们的扰动项中，如果它们的可观测特征中唯一的区别是颜色，那么它们将具有完全相同的函数（

）。为说明起见，假设对于一个通勤者样本，三种交通方式

的值相同（红色公交车和蓝色公交车相同，并假设成本、时间和其他决定个人车辆被选中的可能性的因素与公交车的值相同）。根据预测概率，每种交通方式被选中的概率为33%。这是不现实的，因为正确的答案应该是50%的几率乘坐私人车辆，50%的几率乘坐公共汽车（红色和蓝色公共汽车的总和），而不是多国语言所预测的分别为33.33%和66.67%。违反IIA的后果是概率估计错误。8.数据采样收集数据以估计离散结果模型的抽样策略一般有两种，即随机抽样和分层随机抽样。所有标准的MNL模型推导都假定用于估算模型的数据是从观测群体中随机抽取的。如果情况并非如此，估计过程中可能会出现问题。分层抽样有四种特殊情况：外源抽样、基于结果的抽样、丰富抽样和双重抽样。外生抽样是指根据X（右侧）变量的值选择分层的抽样。基于结果的取样可能是为了充分反映特定结果，也可能是数据收集过程中的人为因素。例如，在某些城市，选择公共交通作为从家到公司的交通工具的个人比例可能非常小（约为5%或更少）。9.预测和汇总偏差在使用logit模型预测总体影响时，可能会因模型的非线性而产生预测偏差。为了说明这个问题，请考虑一个简单的情况，即在一个有一个解释变量x的模型中，人口由两个观测值a和b组成。要预测种群概率，一种方法是使用模型中x的平均值，得出结果i在种群中的概率

。然而，图14.2显示，由于结果概率与x的非线性关系，这种方法是不正确的。在有两个观测点的情况下，正确的群体概率是观测点a和观测点b的个体概率的平均值，如图14.2中的

所示。图14.2显示了使用

而不是整个群体的平均概率可能产生的偏差。鉴于这种潜在的偏差，预测问题就变成了如何将这种偏差（通常称为聚合偏差）最小化的问题，因为人们很少有预测结果在人口中所占比例所需的全部人口。图14.2人口总数偏差示例10.可转移性所有模型都需要考虑的一个问题是，其估计参数在空间上（地区或城市之间）或时间上（随着时间的推移）是否可以转移。从空间角度看，可转移性是可取的，因为这意味着可以使用其他地方估算的模型参数，从而节省额外的数据收集和估算成本。时间上的可转移性可确保利用模型进行的预测具有一定的有效性，因为估算出的参数会随着时间的推移而稳定。在检验空间和时间上的可转移性时，要进行似然比检验。假设要测试参数在a和b两个地区之间（或两个时间段之间）的可转移性。可以进行以下似然比检验来测试，

是使用两个地区（或两个时间段）的数据估计的模型收敛时的对数似然；

是使用地区a的数据估计的模型收敛时的对数似然；

是使用地区b的数据估计的模型收敛时的对数似然。10.可转移性也可以进行以下检验

是使用区域b的收敛参数（仅使用区域b的数据）对区域a的数据（限制参数为区域b的估计参数）的模型收敛时的对数似然值

，

是使用区域a的数据的模型收敛时的对数似然值。五、嵌套对数模型如前所述，多项logit（MNL）模型的一个限制性属性是无关替代方案（IIA）的独立性。回想一下，这一特性源于模型的推导，即假定各替代结果之间的干扰项（ε的独立性）是独立的。为了克服简单MNL模型的IIA限制，McFadden（1981）建立了一类称为广义极值模型的模型，其中包括MNL模型及其扩展模型。以例14.1中的路线选择问题为例说明嵌套结构。假设怀疑干线公路和双车道公路共享未观测到的要素（相对于高速公路而言，干线公路级别较低，没有入口控制，设计车速较低）。在建立嵌套结构以处理疑似干扰项相关性时，可采用图14.3所示的直观结构。通过将主干道和双车道道路归入同一嵌套结构，它们共同的非观测要素就会抵消。在数学上