2026年初升高数学暑假衔接讲义：学生版 （A版）

2026年高一暑假讲义

数与式

题型1乘法公式的应用题型5分式的化简求值

题型2立方和、立方差公式的应用题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移

题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）题型7齐次式计算：比值消元

题型4指数与指数幂的运算

知识点1乘法公式

【公式1】平方差公式：a2b2(ab)(ab)

【公式2】完全平方公式：(ab)2a22abb2

【公式3】完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3

【公式4】完全平方公式：(abc)2a2b2c22ab2bc2ca

【公式5】立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3

【公式6】立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3

知识点2指数式

、当时，n.当时，⑴零指数0，

1nNaaaanQa1(a0)

n个a

1

2、负指数an(a0).

an

n

3、分数指数amman(a0,m,n为正整数).

4、幂运算法则：

m

a

mnmnmnmnnnn⑷mn

(1)aaa,(2)(a)a,(3)(ab)ab(a,b0,m,nZ),na

a

知识点3根式

1

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式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：

(1)(a)2a(a0)(2)a2|a|

bb

(3)abab(a0,b0)(4)(a0,b0)

aa

如果有xna，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数．

nn

当n为奇数时，nana，当n为偶数时，a|a|a,a0.

a,a0

知识点4分式

A

1、形如：（其中B中含有字母）的式子叫作分式.

B

2、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.

AANAN

用式子表示为：(N0)

BBNBN

3、无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：x22，x31是无

理式，而x2不是无理式

4、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化

1x1x

因式.例如：x1x.

x1x(x1x)(x1x)

5、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为

有理化因式.常用的有理化因式有：

①x1x与x1x②xy与xy

1y

6、繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或xy

x1

x1x

等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.

2

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题型1乘法公式的应用

例1、式子aba2b2可恒等变形为（）

A．a3b3B．a22abb2

C．a3ab2a2bb3D．a3ab2a2bb3

2n

【变式训练1】若x9x3x3x81，则n等于．

22

【变式训练2】已知ab7，ab13，则a2b2，ab．

【变式训练3】（1）已知a2b2c214，abc6，求abbcac的值．

（1）已知ab21,bc21，求a2b2c2abacbc

【变式训练4】【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分

沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形．

（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：

图1中S阴影，图2中S阴影；

（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：（用含字母a，b的式子表示）；

【应用】请应用这个公式完成下列各题：

3

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（3）①已知m2n2，m2n8，则m24n2的值为：；

②计算x3x3x29；

【拓展】计算

（4）212212412812641的结果为．

题型2立方和、立方差公式的应用

例2、阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用

其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3(xy)x2xyy2；

3xx22x4

根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中x3．

x22xx38

【变式训练5】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还

可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3y3xyx2xyy2；

立方差公式：x3y3xyx2xyy2.

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a38；

3xx22x42

(2)先化简，再求值：232，其中x3.

x2xx8x4

(3)利用材料因式分解：x33x24

4

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【变式训练6】已知函数yax2bxc(a0)满足条件：

(1)对称轴为x1；(2)y的最大值为15；(3)ax2bxc0的两根立方和为17.

求yax2bxc的表达式．

题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）

例3、最简二次根式4a3b与b12ab6能合并，则ab．

1

【变式训练7】若a，b32，则ab．

23

【变式训练8】已知x，y为实数，若满足yx33x2，则xy的值为．

【变式训练9】观察与计算：

3236；31312；

1

377__________；252252__________．

3

像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为

互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进

22323663232231

2

行化简．例如：2；2；31；

33382222313131

【应用】

（1）化简：

7

①；②332；

27332

1111

（2）化简：．

42648620242022

【变式训练10】化简根式：

5

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(1)843;(2)743;(3)740;(4)945625

题型4指数与指数幂的运算

例4、设a0，下列运算中，正确的是（）

32

A．a2a3a6B．a2a3

32

．26．

CaaDa2a3a3

2

11

【变式训练11】阅读理解：如果a1，我们可以先将等式两边同时平方得到a1，再根

aa

1111

据完全平方公式计算得：a22a1，即a221，所以a23．请运用上面的方法

aa2a2a2

21

解决下面问题：如果x22x10，则x的值为．

x2

11

【变式训练】（）已知，求1的值；

121x2x25xx

11xyxy

（2）已知x、y，求的值．

23xyxy

【变式训练13】（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块

小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的

面积，发现了以下等量关系：________．

（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：

2

①ab5，ab6，求ab和a2b2的值；

11

②已知x3，求x2的值．

xx2

6

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题型5分式的化简求值

2x4

例5、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

x1

A．x1B．x2且x1C．x2D．x2且x1

x3

【变式训练14】关于分式，下列说法错误的是（）

x24xm

A．当x1,m2时，分式有意义B．当x3时，分式的值为0

C．当x1,m3时，分式没有意义D．当x3,m3时，分式的值为0

【变式训练15】先化简再求值：

x1x292x6x21

(1)1，其中x2；(2)，其中x1．

x3x26x9x24x4x23xx2

a2b22b1

【变式训练16】若实数a，b满足ab2025，ba1，则的值等于（）

a2b2ab

202620242025

A．2025B．C．D．

202520252024

【变式训练17】定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个

分式为“和谐分式”．

x12xx2y21

(1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填

xx2x1y2

序号）；

7

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a22a3

(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；

a1

3x6x1x21

(3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值．

x1xx22x

题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移

x2k

例6、已知函数y是由反比例函数y平移得到的，求k的值.

1x12x

x2

【变式训练18】已知函数y，求y的取值范围.

3x4

2x1

【变式训练19】求函数y的对称中心.

x1

2x1

【变式训练20】已知函数y，求y的取值范围和对称中心.

x1

题型7齐次式计算：比值消元

x

例7、已知：x23xy2y20，则＝．

y

c

【变式训练21】已知：ac0，且c43a2c2a40，则＝．

a

8

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2x3y

【变式训练22】已知：x25xy6y20，则＝．

2xy

21

【变式训练23】已知x3x10，求x3

x3

xy

【变式训练24】若x23y22xy，求

x2y

一、单选题

x3

1、在函数y中，自变量x的取值范围是（）

2x

A．x3且x0B．x3且x0C．x0D．x3

2、下列结论正确的是（）

A．(6)26B．(3)29

2

1616

．2．

C(16)16D

2525

1111

3、计算的值为（）

24466898100

491471294

A．B．C．D．

200100200200

4、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式

（）．

9

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2

A．2ababa2b2B．aba22abb2

222

C．aba22abb2D．abab4ab

1

、设[]表示不超过的最大整数，如π3，[1.2]2，则843（）．

5aa

1667

A．5B．6C．7D．8

二、多选题

6、下列计算正确的是（）

2

A．a5·a4a4a5B．3ab2ab18a3b4

C．(xy)2x2y2D．2xx2x12x32x22x

7、下列分式化简错．误．的是（）

2mmm22m2

A．B．

m2m1mn3n3

20.1m1m1

．m1m1．

CD22

m21m10.5n25n2

8、已知实数，满足1，6，则（）

11

A．6B．2236C．42D．33198

三、填空题

x24

9、若分式的值为0，则x．

x2

10、已知a2b2c228，abbcac4，则abc________

11、已知x，y为实数，若满足yx33x2，则xy的值为．

四、解答题

2

12、（1）计算：a1a3a3．

10

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1x2

（2）解方程：1．

x33x

2a41

13、先化简，再求值：1，其中a3．

a21a1

14、已知x23，y23，求x2y23xy的值．

15、【阅读材料】

32

在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，2，这样一类的式子，其实我们还可以将

5331

33532236

其进一步化简：5；；

55553333

2231231

231．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

313131312

【解决问题】

1

(1)仿照上面的解题过程，化简：__________．

76

1111

(2)计算：20251．

21324320252024

11

(3)已知a，b，求a2b2的值．

3232

11

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16、【阅读材料】

对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边

长为x的大正方形切去一个边长为y的小正方形，剩余部分的面积为x2y2，如图1-2，把剩余部分

2

按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为xy，乙的面

2

积为yxy，丙的面积为yxy，所以x2y2xy2yxyxyxy2y

x2y2xyxy，

【尝试应用】

（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：99212_____；

（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长

为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切

割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为x3y3_____；

【拓广探索】

x3y3

（3）若xy2，xy1，且x0，y0．求的值．

x3y3

12

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因式分解

题型1提取公因式和公式法题型3含参数的十字相乘法

题型2不含参数的十字相乘法题型4分组分解法

知识点1公式法

【公式1】平方差公式：a2b2(ab)(ab)

【公式2】完全平方公式：a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2.

【公式3】立方和公式：a3b3(ab)(a2abb2)

【公式4】立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2)

知识点2十字相乘法

1、x2(pq)xpq型的因式分解

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

pqc

对于二次三项式x2bxc，若存在，则x2bxc(xp)(xq)

pqb

2、首项系数不为1的十字相乘法

2

在二次三项式axbxc(a0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aa1a2，常

数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1,a2,c1,c2排列如下：

2

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式axbxc(a0)的一次

13

2026年高一暑假讲义

项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之积，即

2.

axbxc(a1xc1)(a2xc2)

知识点3分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的

方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解

法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

知识点4求根公式法

对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，一元二次方程

2

2bb4ac

axbxc0(a0)有两个实数根，记为：x.此时对应的二次三项式

1,22a

2可分解为：2.

axbxc(a0)axbxca(xx1)(xx2)

题型1提取公因式和公式法

例1、把下列各式分解因式：

(1)5a2b320ab25ab；(2)(xy)(xy)(xy)2；(3)8a(xy)24(yx)3．

【变式训练1】分解因式：

(1)4ab8b210b；(2)2(nm)2m(mn)；(3)15y(ab)23y(ba)．

【变式训练2】若a(ab)3，则(ab)(ab)(ab)2的值为．

【变式训练3】计算：

14

2026年高一暑假讲义

2

11122

(1)m22m2m；(2)2x3y2x3y．

222

22

【变式训练4】下面是某同学对多项式x2xx2x21进行因式分解的过程：

解：设x22xy

原式yy21（第一步）

y22y1（第二步）

2

y1（第三步）

2

x22x1（第四步）．

回答下列问题：

(1)该同学第二步到第三步运用了．

A．提取公因式B．平方差公式C．完全平方公式

(2)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分

解的最终结果为．

(3)请你模仿上述方法，对多项式x22x264进行因式分解．

题型2不含参的十字相乘法

例2、阅读下列材料：

将x22x35分解因式，我们可以按下面的方法解答：

解：步骤：①竖分二次项与常数项：x2xx，3557．

②交叉相乘，验中项：7x5x2x．

③横向写出两因式：x22x35x7x5．

我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．

15

2026年高一暑假讲义

试用上述方法分解因式：

(1)x25x4；(2)x26x7；(3)x26x8；(4)2x2x6．

212

【变式训练5】已知方程2x5xk0的两根是x13，x，那么二次三项式2x5xk分

22

解因式得（）

11

A．x3xB．2x3x

22

C．x3x1D．x32x1

【变式训练6】阅读：用“十字相乘法”分解因式2x2x3的方法．

（1）二次项系数212．

（2）常数项31313，验算：“交叉相乘之和”．

1321111235

1321111235．

（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果13211，等于一次项系数．

即x12x32x23x2x32x2x3，则2x2x3x12x3．

像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

仿照以上方法，分解因式：

(1)x28x15

(2)3x25x12

2

(3)3x25x212

【变式训练7】因式分解：

16

2026年高一暑假讲义

22

（1）(x3)25x36；（2）ab15ba56；（3）a2a4a2a12

题型3含参的十字相乘法

例3、分解因式x24xy5y2．

【变式训练8】因式分解：

（1）a25b26ab；（2）x2y29xy8

2

【变式训练9】分解因式：xa2xa1．

2

【变式训练10】x2ax2a可因式分解为．

【变式训练11】ax2(2a1)x2可因式分解为．

【变式训练12】因式分解：

222

（1）xa1xa；（2）x2m1xmm．

题型4分组分解法

例4、分解因式：

(1)ab2ab2；(2)8x34x22x1；(3)x2xy2y22x7y3；

17

2026年高一暑假讲义

(4)4a220ab25b236；(5)x6y62x31；(6)x2(x1)y(xyx)．

【变式训练13】因式分解

(1)x23x1；(2)a2ab3b3a；(3)mambnanb；

(4)a23abac3bc

【变式训练14】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解：

(1)x4x3x2x；

(2)1abcabacbcabc．

(3)x33x24x12

(4)x2xy6y22x19y15

(5)2a38b2a2b8a

一、单选题

1、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（）

A．a2b2B．4m216mC．x2y2D．x216

2、下列变形是因式分解的是（）

21

A．(x2)(x2)x24B．x1xx

x

C．a22a1(a1)2D．x22x6x(x2)6

18

2026年高一暑假讲义

3、已知x32x23xk因式分解后，其中有一个因式为(x2)，则k的值为（）

A．6B．6C．10D．10

4、不能用十字相乘法分解的是（）

A．x2x2B．3x210x3

C．4x2x2D．5x26xy8y2

二、多选题

5、下列代数式变形中，属于因式分解的是（）

A．mm2m22mB．2m42m2

22

211211

C．xxxD．m2m

42m2m

6、由mabcmambmc，可得：aba2abb2a3a2bab2a2bab2b3a3b3,

即aba2abb2a3b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立

方和公式进行的变形正确的是（）

A．x4yx24xy16y2x364y3B．2xy4x22xyy28x3y3

C．a1a2a1a31D．x327x3x23x9

三、填空题

7、若多项式x2m1x16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为．

8、分解下列因式：

（1）3x28x3；

（2）x22x4；

（3）n1a2abnb2．

四、解答题

9、（1）分解因式：3xy26xy3x；

（2）分解因式：a2abb2ba；

（3）利用因式分解计算：7623276162．

19

2026年高一暑假讲义

10、【阅读材料】

教材中把形如a22abb2的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下

变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这

种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或

最小值等问题．例如：

①分解因式：x22x3：

2

x22x3x22x131x14x12x12x3x1．

②求多项式2x24x3的最小值：

2

2x24x32x22x32x22x1322x15

2

2x10，

2

2x155，

当x1时，2x24x3有最小值，最小值是5．

【解决问题】

(1)按照上述方法分解因式：x24x3；

(2)多项式3x26xk的最小值为4，请求出k的值；

(3)若实数a，b满足2a27a2b12，请求多项式a2b的最值．

20

2026年高一暑假讲义

方程

题型1解一元二次方程题型5利用韦达定理求参数

题型2解二元二次方程组题型6利用韦达定理求对称式的值

题型3试根法解一元三次方程题型7根和系数与判别式的综合应用

题型4一元二次方程的根的判别式题型8根据根的分布情况求参数

知识点1一元二次方程根的判别式

bb24ac

一元二次方程ax2bxc0(a0)，用配方法将其变形为：(x)2

2a4a2

由于可以用b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b24ac叫做一元二次

方程ax2bxc0(a0)的根的判别式：b24ac.

（1）0时，ax2bxc0（a0）有两个不相等的实数根；

（2）0时，ax2bxc0（a0）有两个相等的实数根；

（3）0时，ax2bxc0（a0）没有实数根.

知识点2一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

2

一元二次方程axbxc0(a0)有两个根分别是x1,x2，则：

22

bb4ac，bb4ac，22

x1x2bb4acbb4ac

2a2ax1x2

2a2a

2222

则bb4acbb4acbb4acbb4ac2bb

x1x2.

2a2a2a2aa

bb24acbb24ac2bb

.

2a2aa

21

2026年高一暑假讲义

bb24acbb24acb2(b24ac)4acc

xx

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系

2

如果axbxc0(a0)的两个根分别为x1,x2，则：

b

xx

12a

，这一关系式也被称为韦达定理.

c

xx

12a

题型1解一元二次方程

2

例1、一元二次方程x325的根是（）

A．x18，x22B．x15，x25

C．x18，x22D．x18，x22

2

【变式训练1】若将一元二次方程