2025-2026学年北京市门头沟区初二（下）期末考试数学试卷（含答案）

第第页2026北京门头沟初二（下）期末数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列问题中的两个变量不是函数关系的是（

）A．正方形面积随边长的变化而变化B．一天内的时间随气温的变化而变化C．某人的身高随年龄的变化而变化D．时间不变，路程随速度的变化而变化3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．如果函数是关于的一次函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．5．若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（

）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形6．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，6，67．如果、、的平均数是8、方差是3，那么、、的平均数和方差分别是（

）A．18、13 B．8、3 C．18、3 D．8、138．顺次连接四边形各边中点形成的四边形叫做中点四边形，有关中点四边形的描述如下：①任意四边形的中点四边形一定是平行四边形；②矩形的中点四边形一定是矩形；③正方形的中点四边形一定是正方形；④非正方形的中点四边形一定不是正方形．其中所有正确推断的序号是（

）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④二、填空题9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．10．如果，那么满足的条件是__________．11．写出一个图象不经过第四象限的函数的表达式__________．12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE=_______．13．如图，在矩形中，对角线与交于点，如果，，那么这个矩形的面积是__________．14．我区5月份每天的最高温度整理后绘制了箱线图，如下，则第三四分位数是__________．15．如图，在菱形中，，点到点的距离是2，连接，取的中点，连接，点在运动的过程中，的最小值为__________．16．小红和小丽约好一起去公园集合赏花，小红家距离公园较远，决定骑共享单车去，小丽步行前往，已知小红家、小丽家、公园在同一条公路上，如图是两人距离小丽家的路程（单位：米）与时间（单位：分钟）的函数图象，则小红距离小丽100米时，__________分钟．三、解答题17．已知，，求代数式的值．18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．(1)求，两点的坐标，并画出它的图象；(2)当时，直接写出的取值范围；(3)的面积为__________．19．下面是小明设计的尺规作图过程：已知：，．求作：矩形．作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线，交于点；③以点为圆心长为半径画弧，交的延长线于点；④连接、；即四边形为所求作的矩形．根据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明：证明：连接，，，．，，点，均在线段的垂直平分线上．直线是线段的垂直平分线．．，四边形是平行四边形（________________________）；，，（_________________________）；，四边形是矩形（_________________________）．20．如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长．21．【问题情境】随着新能源车普及，消费者常关注“用车经济性”．某课外小组开展了“利用能耗数据对新能源车进行经济性评估”的项目化学习活动．该小组从两款不同品牌的新能源车（车A：插混轿车；车B：增程）中各随机选取了10次实测数据，分别记录了每次的百公里油耗（L）和百公里电耗（度），再根据92号汽油7.5元/L、居民充电0.5元/度，计算了“百公里综合费用（元）”（油耗+电耗），整理数据如下：（保留一位小数）序号12345678910车A：油耗/电耗3/144/133/154/134/123/153/164/143/153/16车A：综合费用29.536.530.036.536.030.030.537.030.030.5车B：油耗/电耗7/187/177/186/198/166/197/187/178/166/19车B：综合费用61.561.061.554.568.054.561.561.068.054.5【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差车A：综合费用10.0车B：综合费用60.661.354.5和61.522.4【问题解决】填空：(1)上述表格中：__________，__________，__________；(2)这两种车从经济性稳定性角度看，车__________的百公里综合费用波动比较小；(3)若某次实测数据为：百公里油耗，百公里电耗16.0度，请计算其百公里综合费用，并判断它来自于车__________的可能性比较大．22．在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点．(1)求这个一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围．23．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整：(1)下表是两个函数的几组对应值：………………上述表格中：__________；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；(3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________．24．在平面直角坐标系中，一次函数与的图象交于点．(1)求、的值；(2)过点作轴的平行线交的图象于点，过点作轴的平行线交的图象于点；①当时，直接写出与的数量关系；②当，求的取值范围．25．如图，在正方形中，点是边上一点（点不与点，重合，且），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．(1)依题意补全图形；(2)猜想与的数量关系并证明；(3)连接，取的中点，连接，过点作的垂线交于点，连接交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明．26．在平面直角坐标系中，对于线段和点，我们规定：如果，且，则称点为线段的“正等距点”．(1)如图1已知，．在、、中，为线段的“正等距点”的是__________；(2)如图2，点，点，点，点在线段上，点为线段的“正等距点”，求的取值范围；(3)如图3点，点，过点，作轴的平行线，如果该平行线上存在线段的“正等距点”，求的取值范围．

参考答案题号12345678答案DBCCABCB1．D【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数不含分母．【详解】答：∵，被开方数4含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式；∵，被开方数8含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式；∵，被开方数含分母，∴C不是最简二次根式；∵满足最简二次根式的两个条件，∴D是最简二次根式．2．B【分析】在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则两个变量满足函数关系，据此判断各选项即可.【详解】解：∵选项A中，给定正方形一个确定的边长，面积有唯一确定的值对应，∴是函数关系；∵选项B中，两个变量为气温和时间，气温是自变量，给定一个确定的气温，一天中有多个不同的时间对应，没有唯一确定的值满足对应关系，∴不是函数关系；∵选项C中，给定一个确定的年龄，人的身高有唯一确定的值对应，∴是函数关系；∵选项D中，时间固定，给定一个确定的速度，路程有唯一确定的值对应，∴是函数关系．3．C【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式加减乘除的计算规则，逐一判断选项即可。【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，A错误；，B错误；根据二次根式乘法法则，得，计算正确，C正确；，D错误．4．C【分析】根据一次函数定义，自变量x的系数不为0，据此列不等式即可求出m的取值范围．【详解】解：由题意，解得．5．A【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得，，解得，∴这个多边形是四边形，故选：A．6．B【分析】本题根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，依次验证各选项即可得到结果．【详解】解：∵选项A中，最长边为，，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意；∵选项B中，最长边为，，，即，∴能构成直角三角形，符合题意；∵选项C中，最长边为，，，，∴不能构成直角三角形，不符合题意；∵选项D中，三边相等，是等边三角形，内角均为，不是直角三角形，不符合题意．7．C【分析】本题考查平均数与方差的计算性质，当一组数据中每个数据同时加上同一个常数时，新数据的平均数等于原平均数加上该常数，方差不变，通过直接计算可验证结果．【详解】解：∵的平均数为，∴，可得，新数据的平均数，∵原方差，新数据的方差，化简得，因此新数据的平均数为，方差为．8．B【分析】本题利用三角形中位线定理，根据原四边形对角线的关系判断中点四边形的形状，核心性质为：中点四边形的边分别平行于原四边形的对角线，且长度为原对角线长度的一半，逐一判定各描述即可得到结果.【详解】解：根据三角形中位线定理可知，任意四边形中点四边形的对边分别平行于原四边形的对角线，且长度等于原对角线长度的一半，对边平行且相等，①任意四边形的中点四边形对边平行且相等，因此一定是平行四边形，故①正确；②矩形的对角线相等，因此矩形中点四边形的四条边长度相等，是菱形，不是矩形，故②错误；③正方形的对角线相等且互相垂直，因此中点四边形四条边相等，邻边互相垂直，一定是正方形，故③正确；④只要原四边形的对角线相等且互相垂直，无论原四边形是不是正方形，中点四边形都是正方形，因此非正方形也可以得到正方形的中点四边形，故④错误．9．【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列出一元一次不等式，求解即可得到的取值范围．【详解】解：在实数范围内有意义，解得．10．【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再根据绝对值的性质可得，解不等式即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得．11．（答案不唯一）【分析】对于常见的一次函数，当且时，图象不经过第四象限，任取满足条件的参数即可得到符合要求的表达式．【详解】解：设函数为一次函数，一般形式为（）．∵当，时，一次函数图象不经过第四象限，∴，，满足条件，得函数表达式．12．3【详解】解：由D、E分别是AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求出ED=BC=3．故答案为3．【点睛】考点：三角形中位线定理．13．【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∴矩形的面积为．14．【分析】根据箱线图的定义，从左至右的五个关键位置分别代表最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值，直接读图即可判断．【详解】解：由箱线图可知，第三四分位数是．15．2【分析】连接交于点，连接，由菱形的性质可知，，进而可得为中位线，，利用三角形三边关系定理可求解题目．【详解】解：连接交于点，连接，∵在菱形中，∴，，∵为的中点，∴，∴，∴，∴的最小值为2，此时三点共线．16．5或7【分析】首先求出小丽的速度和小红的速度，然后分两种情况讨论，分别列方程求解即可．【详解】解：由图象得，小丽家到公园距离米，小丽从家到公园用时12分钟，∴小丽的速度为（米/分钟），由图象得，小红家到小丽家距离600米，小红从家到小丽家用时2分钟，∴小红的速度为（米/分钟），当小红距离小丽100米时，当小红追上小丽之前时，解得；当小红追上小丽之后时，解得；∵（分钟），∴小红从小丽家到公园用时8分钟，∴符合题意综上所述，或7．17．【分析】直接利用平方差公式将原式变形，进而代入数据求出答案．【详解】解：∵，，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题的关键．18．(1)，，的图象如图所示：(2)(3)【分析】（1）求一次函数与坐标轴的交点，只需分别令和代入一次函数解析式，即可求出，的坐标，再根据两点确定一条直线，在坐标系中描点连线即可画出函数图象．（2）因为一次函数的斜率为负数，说明函数图象在定义域范围内单调递减，只需要根据对应的自变量的范围求值即可求出的取值范围．（3）三角形的两条直角边恰好分别是点到原点的距离和点到原点的距离，因此直接利用直角三角形面积公式即可计算结果．【详解】（1）解：，当为0时，，当为0时，，，．（2）解：由图象可知，随的增大而减小，当时，，当时，，当时，的取值范围为．（3）解：点，，构成三角形，两条直角边分别沿轴、轴，，，．19．(1)(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；直角三角形斜边上中线等于斜边的一半；对角线相等的平行四边形是矩形【分析】（1）作图是的垂直平分线，；（2）由作图可知，是的垂直平分线，，为中点，，则四边形为平行四边形，因为，则，则，故所作图形为矩形；【详解】（1）略（2）略20．(1)证明：∵点、分别是边的中点，∴是的中位线，，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，，，∴平行四边形是菱形．(2)．【分析】（1）由三角形中位线定理可得，结合可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论；（2）如图，连接，由菱形的性质证是等边三角形，是等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即，然后由勾股定理求解即可．【详解】（1）略（2）解：如图，连接，∵，四边形是菱形，，∴是等边三角形，，，∴是等边三角形，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，，．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)，，(2)A(3)元；B【分析】（1）根据平均数，众数，中位数定义求解即可；（2）根据方差判断即可；（3）计算出总费用和两车情况作比较即可．【详解】（1）解：车A的10次综合费用为：平均数：；排序后：29.5，30.0，30.0，30.0，30.5，30.5，36.0，36.5，36.5，37.0，中位数为第5和第6个数的平均值：；众数：出现次数最多的是30.0，共3次，∴；（2）解：车A方差为10.0，车B方差为22.4，方差越小波动越小，所以车A波动小；（3）解：百公里综合费用：（元），车A的油耗在之间，且综合费用最高约37元，该次油耗为6.0L，不符合车A；车B油耗在，综合费用接近54.5元，因此来自车B的可能性更大．22．(1)(2)【分析】（1）由题意，然后代入即可求解；（2）由题意，分类讨论三种情况计算即可．【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点，∴平移后的直线解析式为，代入，得，∴解析式为；（2）解：当时，对于每一个，都有移项得分三种情况讨论：当，不等式变为，恒成立，∴可以；当，两边同除以正数，不等号方向不变：，要使此式对所有都成立，必须满足：解得：结合，得，即：当，两边同除以负数，不等号方向改变：由于是负数，而可以取比它更小的数（例如），故不能对所有成立，舍去．综上所述．23．(1)(2)(3)【分析】（1）观察表格中数据特点即可；（2）描点连线即可；（3）当时，即在上方的图像所对应的的取值．【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同，∴与时，的值相同为3，故；（2）解：略；（3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围．24．(1)；．(2)①；②或【分析】（1）将代入一次函数得，，将代入即可求解；（2）①由题意可求坐标，即可求出；②分三种情况，，讨论计算即可．【详解】（1）解：将代入一次函数得，，∴将代入得，；（2）解：①，当时，把代入得，∴当时，代入得，∴，∴，故；②，，；当时，，；，解得；当时，，；，解得；当时，，，，，解得，，综上或．25．(1)(2)；证明：过点作垂直的延长线于点，线段绕点顺时针旋转得到线段，，，四边形是正方形，，，，．，

，，，，，，，，；(3)数量关系：．

证明：连接，，，，，，，，正方形中，为中点，，，是中点，，，，，

，．【分析】（1）依题意画图即可；（2）可证明，可得，则，导角即可证明；（3）可证明，则，可证，则，进而可证，则题目可解．【详解】（1）解：略；（2）证明：略；（3）证明：略．26．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据定义可得是等边三角形，得出，利用各点坐标计算距离来判断；（2）将绕着点顺时针旋转，得到，点绕着点顺时针旋转，得到点，点在线段上，点在线段上，此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间；将绕着点逆时针旋转，得到，点绕着点逆时针旋转，得到点，点在线段上，点在线段上，此时点的纵坐标介于和的纵坐标之间；（3）当点与点重合，即时，连接，，将绕着点顺时针旋转得到，连接，可求出；当点与点重合，即时，连接，，将绕着点逆时针旋转得到，可求出；当点与点重合，即时，连接，，将绕着点逆时针转得到，连接，可求出；当点与点重合，即时，连接，，将绕着点顺时针旋转得到，可求出，最后得出，即可求出的范围．【详解】（1）解：如图1所示，由“正等距点”的定义可得：，，∴是等边三角形，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴点是线段的“正等距点”，同理：∵，∴，∴点不是线段的“正等距点”，∵，∴，，∴点是线段的“正等距点”，综上：点，是线段的“正等距点”．（2）解：由（1）得：是等边三角形，∴将点绕着点逆时针或顺时针旋转即可得到满足条件的点，设点绕着点顺时针旋转，得到点，点绕着点逆时针旋转得到点，如图所示，连接，∵，，，∴，，∴，∴在中，，∴，，将绕着点顺时针旋转，得到，∵，∴由旋转的性质可得：点在线段上，，，，∴点为中点，∴的坐标为，过点作轴，垂足为，∵，∴，∴，∴，∴，∵点在第四象限，∴的坐标为，∵点绕着