沪教版六年级数学上第一章-数的整除

数的整除同学们，我们在小学阶段已经学习了整数的加、减、乘、除四则运算。从今天开始，我们将深入探讨整数除法中一种特殊的情况——整除。这部分知识不仅是我们后续学习分数、比和比例等内容的重要基础，也与我们的日常生活有着密切的联系。让我们一起走进“数的整除”这个充满逻辑与规律的世界。一、整除的意义在数学中，我们说一个整数能被另一个整数整除，究竟是什么意思呢？我们来看这样一个例子：12÷3=4。这里，12、3、4都是整数，而且计算的结果没有余数。像这样的情况，我们就可以说“12能被3整除”，或者“3能整除12”。更一般地，如果整数a除以整数b（b≠0），所得的商是整数且没有余数（或者说余数为零），我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。这里，a叫做b的倍数，b叫做a的因数。请注意几个关键点：1.被除数、除数（不为零）和商必须都是整数。2.没有余数。3.“整除”与我们平时说的“除尽”是有区别的。除尽的范围更广，它允许商是有限小数，而整除要求商必须是整数。例如，10÷4=2.5，这是除尽，但不是整除；而10÷2=5，这既是除尽也是整除。二、因数与倍数从整除的概念中，我们自然地引出了因数和倍数的概念。如果a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。比如，因为6÷2=3，所以6是2的倍数，2是6的因数；同时，6也是3的倍数，3也是6的因数。关于因数和倍数，我们需要明确以下几点：1.因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数，某个数是倍数。我们只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。2.一个数的因数的个数是有限的。其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12，共六个。3.一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。例如，5的倍数有5、10、15、20、25……如何找一个数的因数呢？我们可以一对一对地找。比如找18的因数，从1开始：18÷1=18，所以1和18是18的因数；18÷2=9，所以2和9是18的因数；18÷3=6，所以3和6是18的因数；接下来18÷4=4.5，不是整数，所以4不是18的因数。继续找下去，当除数比商大时，就可以停止了。如何找一个数的倍数呢？就用这个数分别去乘1、2、3、4……，所得的积就是这个数的倍数。三、能被2、5整除的数在判断一个数能否被另一个数整除时，有时候我们不需要进行完整的除法运算，而是可以根据数的一些特征来直接判断。我们先来学习能被2和5整除的数的特征。能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的整数。例如：2、4、6、8、10、12、14……这些数都能被2整除。能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数。所以，偶数的个位数字是0、2、4、6、8，奇数的个位数字是1、3、5、7、9。0是最小的偶数。能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数。例如：5、10、15、20、25、30……这些数都能被5整除。思考一下：什么样的数能同时被2和5整除呢？答案是：个位上是0的整数。因为个位上是0的数，既满足能被2整除的特征，也满足能被5整除的特征。例如：10、20、30、40……四、能被3整除的数能被3整除的数又有什么特征呢？它不像能被2或5整除的数那样，只看个位数字。能被3整除的数的特征：一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除。例如：判断123能否被3整除。1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除。判断4567能否被3整除。4+5+6+7=22，22不能被3整除（22÷3=7余1），所以4567不能被3整除。这个特征非常重要，也比较特别，大家需要好好理解和记忆，并通过练习来熟练运用。五、素数、合数与1我们知道，一个数的因数的个数是有限的。根据一个数因数的个数，我们可以把大于1的整数分为两类：素数和合数。素数（也叫质数）：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，没有其他的因数，这样的数就叫做素数。例如：2、3、5、7、11、13……2是最小的素数，也是所有素数中唯一的一个偶数。合数：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数就叫做合数。例如：4（因数有1、2、4）、6（因数有1、2、3、6）、8、9、10……4是最小的合数。那么1呢？1只有一个因数，就是它本身。所以，1既不是素数，也不是合数。判断一个数是素数还是合数，关键看它因数的个数。对于一个较小的数，我们可以通过列举它的因数来判断。对于较大的数，我们可以尝试用比它小的素数去试除，看是否能整除它。六、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。分解素因数是研究数的性质的重要手段。常用的方法有“树枝分解法”和“短除法”。树枝分解法：例如，分解12的素因数：我们可以把12先分解成2×6，6不是素数，再把6分解成2×3。所以12=2×2×3。也可以把12先分解成3×4，4不是素数，再把4分解成2×2。所以12=3×2×2。最终结果是一样的，只是顺序不同。短除法：短除法是分解素因数更常用的一种方法。例如，用短除法分解18的素因数：先用最小的素数2去除18，得9；9是合数，再用素数3去除9，得3；3是素数。所以18=2×3×3。在用短除法时，通常从最小的素数开始除起，一直除到商是素数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。七、公因数与最大公因数我们先来理解什么是公因数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数，叫做这几个数的最大公因数。例如，求12和18的公因数和最大公因数。12的因数有：1、2、3、4、6、12。18的因数有：1、2、3、6、9、18。它们公有的因数有1、2、3、6，其中最大的是6。所以12和18的最大公因数是6。如何求几个数的最大整数呢？除了上面这种列举法，我们还可以用分解素因数的方法。例如，求12和18的最大公因数：12=2×2×318=2×3×3它们公有的素因数是2和3，将这些公有的素因数相乘，2×3=6，所得的积就是它们的最大公因数。还有一种更简便的方法是“短除法”。用几个数公有的素因数连续去除这几个数，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。八、公倍数与最小公倍数与公因数相对应的是公倍数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。例如，求4和6的公倍数和最小公倍数。4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36……6的倍数有：6、12、18、24、30、36……它们公有的倍数有12、24、36……，其中最小的是12。所以4和6的最小公倍数是12。如何求几个数的最小公倍数呢？同样可以用分解素因数的方法和短除法。用分解素因数法求4和6的最小公倍数：4=2×26=2×3最小公倍数等于它们所有的素因数的乘积，但相同的素因数只取出现次数最多的那一个。所以，2出现最多的是2次（在4中），3出现1次（在6中）。因此，最小公倍数是2×2×3=12。用短除法求最小公倍数时，是把所有的除数和最后的商连乘起来。思考与拓展：*如果两个数是互素关系（即它们的最大公因数是1），那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。例如，3和5是互素的，它们的最小公倍数就是3×5=15。*如果一个数是另一个数的倍数