矩形的性质与判定第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.3矩形的性质与判定北师版九年级上册第一章特殊平行四边形第1课时

矩形的性质利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：点击播放复习导入不变：变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形。角的大小。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。四边形平行四边形两组对边分别平行探究新知，经历过程矩形邻边相等有一个直角菱形类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？性质边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形尝试·思考（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？探索活动点击播放几何画板.GSP矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。你能证明这两个定理吗？已知：如图，四边形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；证明：（1）∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），

AB∥DC（矩形的对边平行）。∴∠ABC+∠BCD=180°。又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°。∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。已知：如图，四边形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O。求证：（2）AC=DB。（2）∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的对边相等），在△ABC和△DCB中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB，BC=CB。∴△ABC≌∠DCB。∴AC=DB。定理矩形的四个角都是直角。矩形的对角线相等。∵四边形ABCD

是矩形∴∠DAB=∠DCB=∠ADC=∠ABC=90°∵四边形ABCD

是矩形∴AC=DB请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形？

如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点点击播放请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形？

如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。点击播放

矩形的性质矩形的对边平行且相等。角对角线边矩形的对角线相等。矩形的对角线互相平分。矩形的四个角都是直角。矩形的对角相等。对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。如图，在矩形纸片ABCD

中，对角线AC与BD

相交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，得到如图所示的图形，观察·思考

BE

是Rt△ABC

中一条怎样的线段？它与AC

有什么大小关系？由此你能得到什么结论？证明：∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC（矩形的对边相等），∴BE=DE=AE=CE,在Rt△ABC中，AC为斜边，BE为斜边上中线，∴BE=AC。定理直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，D

是斜边AB

的中点。可得：几何语言：例1

如图，在矩形ABCD中，对角线AC

与BD

相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。解：∵四边形ABCD

是矩形，∴∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），AC=BD（矩形的对角线相等），OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）。∴OA=OD。∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°－120°)=30°。∴BD=2AB=2×2.5=5。课堂小结这节课你们都学会了哪些知识？矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.矩形的性质：具有平行四边形的一切特征.四个角都是直角.对角线相等且平分.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

1.两个矩形的位置如图所示,若∠1＝130°,则∠2的度数为(

D

)A.60°B.45°C.40°D.50°D

——课堂练习——

2.[2025内江]如图,在矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连接GH,则GH长的最大值是

5

.5

3.已知矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论中,一定正确的是(

C

)A.

AC平分∠BADB.

AB＝BCC.

AC＝BDD.

AC⊥BDC4.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形.若点B的坐标为(1,3),则AC的长是(

C

)A.3B.2

C.

D.4C

6.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.

(1)求证:AC＝CE;解:(1)∵

四边形ABCD是矩形,∴

AB∥CD,AC＝BD.

∵

点E在AB的延长线上,∴

BE∥CD.

∵

BD∥CE,

∴

四边形BDCE是平行四边形.∴

BD＝CE.

∴

AC＝CE(第6题)(2)若∠BOC＝120°,CE＝4,求AB的长.

(第6题)7.[2025德阳]如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD＝1,则GE的长为(

B

)A.3B.2C.1D.

B

8.如图,在Rt△ABC中,∠CAB＝90°,D是线段AB上任意一点(不与点A,B重合),DE⊥BC于点E,P是线段CD的中点.请判断△PAE的形状,并说明理由.(第8题)

9.[2025兰州]如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.

若P为EF的中点,∠ADB＝35°,则∠DPE的度数为(

C

)A.95°B.100°C.110°D.145°C10.如图,以△ABC的边AB为对角线构造矩形ADBE,连接DE分别交AB,AC于点O,F,若F为AC的中点,BD＝5,AD＝BC＝12,则EF的长为

.

(第11题)11.教材变式题如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,连接OE,过点C作CF∥BD,交线段OE的延长线于点F,连接DF.

(1)求证:△ODE≌△FCE;(2)猜想四边形△ODFC是什么特殊四边形,并说明理由.解:(2)四边形ODFC是菱形

理由:∵

△ODE≌△FCE,∴

OD＝FC.

∵

CF∥BD,∴

四边形ODFC是平行四边形.∵

四边形ABCD是矩形,∴

OC＝OD.

∴

四边形ODFC是菱形.(第11题)12.[2025长沙期末]如图,在矩形ABCD中,对角线BD,AC相交于点O,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG＝BO,连接BG,OF.

求证:(1)

BO＝OF;解:(1)∵

四边形ABCD是矩形,∴

OA＝OC＝OB＝OD.

∵CE⊥BD,AG∥BD交CE的延长线于点F,∴

CF⊥AG.

∴

△ACF是直角三角形.∴

OF是Rt△AFC的斜边AC上的中线.∴

OF＝OC.

∴

BO＝OF(第12题)(2)四边形BOFG为菱形.解:(2)∵

CE⊥BD,CF⊥AG,∴

FG∥BO.

又∵

FG＝BO,∴

四边形BOFG为平行四边形.由(1)可知,BO＝