初中八年级数学（人教版2024）上册知识清单

初中八年级数学（人教版2024）上册知识清单一、第十三章三角形：构建几何推理的基石（一）与三角形有关的线段１、三角形的基本概念【基础】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。其边为线段AB、BC、CA，顶点为A、B、C，内角为∠A、∠B、∠C。三角形的三边有时也用a、b、c表示，通常顶点A所对的边BC用a表示，AC用b表示，AB用c表示9。２、三角形的分类（１）按角分：【基础】三角形分为直角三角形（有一个角是直角）、锐角三角形（三个角都是锐角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。（２）按边分：【基础】三角形分为三边都不相等的三角形和等腰三角形。等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形（正三角形）9。３、三角形的高、中线与角平分线【重要】这是三角形中的三条重要线段，均具有“三线”的性质，且它们所在直线都交于一点。（１）高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段。三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心）。【难点】钝角三角形有两条高在三角形的外部7。（２）中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段。三角形的三条中线交于三角形内一点（重心）。【重要】重心将中线分为２：１的两段（重心到顶点的距离是它到对边中点距离的２倍）。中线将三角形分成面积相等的两个三角形。（３）角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。三角形的三条角平分线交于三角形内一点（内心）。４、三角形的稳定性【基础】三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。在实际生活中，如房顶的人字架、斜钉一根木条的窗框，都是利用三角形的稳定性来固定图形9。（二）与三角形有关的角１、三角形内角和定理【非常重要】【高频考点】三角形三个内角的和等于１８０°。▶证明思路：通过作平行线，将三个内角拼成一个平角进行验证7。▶常见题型：直接计算角度、与角平分线和高线结合求角度、利用比例或方程思想求解。２、直角三角形的性质与判定【重要】（１）直角三角形的两个锐角互余。（２）有两个角互余的三角形是直角三角形。３、三角形的外角（１）定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。（２）性质：【非常重要】【难点】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。▶考向：利用外角性质求角度，简化几何证明过程，常与角平分线、高线结合考查。（３）三角形的外角和等于３６０°。（三）多边形及其内角和１、多边形及相关概念在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。２、多边形的内角和与外角和【非常重要】【高频考点】（１）n边形的内角和等于（n－２）×１８０°。（２）多边形的外角和等于３６０°。【热点】无论边数如何变化，外角和恒为３６０°，常与正多边形结合求内角或边数。▶解题步骤：已知边数求内角和，直接代入公式；已知内角和求边数，设边数为n，列方程（n－２）×１８０°＝已知内角和求解。３、正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。正n边形的每个内角为（n－２）×１８０°／n，每个外角为３６０°／n。▶易错点：注意“各边相等”和“各角相等”是正多边形的两个必要条件，缺一不可。二、第十四章全等三角形：逻辑证明的核心载体（一）全等三角形的概念与性质１、全等形与全等三角形【基础】能够完全重合的两个图形叫做全等形。能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角4。２、全等三角形的性质【非常重要】全等三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的周长相等，面积相等。全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）也相等。（二）三角形全等的判定【非常重要】【高频考点】【难点】这是几何证明的核心，必须熟练掌握并灵活运用。１、判定方法（五大公理/定理）：（１）SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等4。（２）SAS（边角边）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等4。（３）ASA（角边角）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（４）AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。（５）HL（斜边、直角边）：【难点】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。此方法仅适用于直角三角形。２、寻找对应边和对应角的方法：（１）全等三角形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。（２）有公共边的，公共边一般是对应边；有公共角的，公共角一般是对应角；有对顶角的，对顶角是对应角。（３）最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。３、证明思路与步骤：▶解题步骤（规范书写）：（１）准备条件：证全等时需要用到间接条件，要先通过推理得到（如中点得线段相等、平行得角相等）。（２）指明范围：在哪两个三角形中。（３）列出条件：用大括号列出三个条件（按判定方法顺序排列，如SAS两边及其夹角）。（４）得出结论：△XXX≌△XXX（判定方法）。（５）推出新结论：由全等得出对应边或对应角相等。▶易错点：注意SAS必须是两边及其夹角，而非两边及其中一边的对角（SSA不能判定全等）。书写全等式时对应顶点要写在对应位置上4。▶考向：补充条件使三角形全等（开放型）、利用全等证明线段或角相等、与等腰三角形、直角三角形结合的综合题、测量距离或角度的实际应用题。（三）角的平分线的性质１、性质与判定【重要】（１）性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（２）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。２、应用常与全等三角形结合，用于证明线段相等或角相等。尺规作已知角的平分线也是基本技能之一。三、第十五章轴对称：图形变换与几何性质（一）轴对称１、轴对称图形与轴对称（１）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴3。（２）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点3。２、线段的垂直平分线【重要】经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。３、轴对称的性质（１）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（２）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（３）成轴对称的两个图形全等。（二）画轴对称图形１、作轴对称图形的方法先找出图形中的特殊点（如顶点），作出这些点关于对称轴的对称点（即过点作对称轴的垂线，并延长截取等长），再按原图形方式连接各对称点。２、用坐标表示轴对称【重要】点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）。【热点】常考关于坐标轴对称的点的坐标特征，也涉及关于直线y＝x或y＝－x对称的拓展。（三）等腰三角形【非常重要】【高频考点】１、等腰三角形的性质（１）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。（２）三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。【难点】此性质常用于证明线段相等或角相等，也是作辅助线的重要思路（常作底边上的高或中线）。２、等腰三角形的判定（１）定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。（２）等角对等边：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。３、等边三角形（１）性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于６０°。（２）判定：【重要】①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形。４、含３０°角的直角三角形的性质【难点】在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。反之，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于３０°。（四）最短路径问题【难点】【热点】通常利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点，依据“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”来解决。经典模型有“将军饮马”问题6。四、第十六章整式的乘法与因式分解：代数运算的进阶（一）整式的乘法１、幂的运算性质【非常重要】【高频考点】这是本章运算的基础。（１）同底数幂相乘：aᵐ·aⁿ＝aᵐ⁺ⁿ（m，n都是正整数）。（２）幂的乘方：（aᵐ）ⁿ＝aᵐⁿ（m，n都是正整数）。（３）积的乘方：（ab）ⁿ＝aⁿbⁿ（n是正整数）。（４）同底数幂相除：aᵐ÷aⁿ＝aᵐ⁻ⁿ（a≠０，m，n都是正整数，且m＞n）。（５）零指数幂：a⁰＝１（a≠０）。【易错点】任何不等于０的数的０次幂等于１。（６）负整数指数幂：a⁻ᵖ＝１／aᵖ（a≠０，p是正整数）【非常重要】【热点】常与科学记数法（表示绝对值小于１的数）结合考查，如０．００００１＝１０⁻⁵1。２、整式乘法法则（１）单项式乘单项式：系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。（２）单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即p（a＋b＋c）＝pa＋pb＋pc。（３）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（a＋b）（p＋q）＝ap＋aq＋bp＋bq。３、整式除法法则（１）单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（２）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。（二）乘法公式【非常重要】【高频考点】利用公式可以简化计算，必须熟练记忆并灵活变形。１、平方差公式（a＋b）（a－b）＝a²－b²。即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。▶应用关键：找准公式中的“a”和“b”，它们可以是数、单项式或多项式。２、完全平方公式（a＋b）²＝a²＋２ab＋b²；（a－b）²＝a²－２ab＋b²。即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的２倍。▶拓展：a²＋b²＝（a＋b）²－２ab＝（a－b）²＋２ab；（a＋b）²－（a－b）²＝４ab。▶考向：利用乘法公式进行数的简便运算（如１０２×９８、１０１²）、化简求值、与几何图形面积结合验证公式5。（三）因式分解【非常重要】【难点】整式乘法的逆变形。１、因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。▶易错点：分解必须要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止。２、因式分解的方法（１）提公因式法：pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）。公因式的确定：系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母；指数取各相同字母的最低次幂。（２）公式法：【重要】①平方差公式：a²－b²＝（a＋b）（a－b）。特征：二项式，两项符号相反，都能写成平方形式。②完全平方公式：a²±２ab＋b²＝（a±b）²。特征：三项式，有两项能写成平方形式且符号相同，第三项是这两项底数积的２倍（或－２倍）。（３）十字相乘法：【拓展】x²＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）6。适用于二次项系数为１的二次三项式。３、因式分解的步骤一提（提公因式），二套（套用公式），三查（检查是否分解彻底）6。▶考向：因式分解的计算、利用因式分解进行简便计算、解决整除问题（如证明一个数能被某个数整除）、化简求值。五、第十七章分式：有理式的新成员（一）分式的基本概念与性质１、分式的定义【基础】一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A／B叫做分式。分式有意义的条件是分母不为０；分式值为０的条件是分子为０且分母不为０。２、分式的基本性质分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变。即A／B＝A·C／B·C，A／B＝A÷C／B÷C（C≠０）。３、约分与通分（１）约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。（２）通分：利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。▶易错点：约分要彻底；通分时要注意分子要乘对相应的因式，符号问题要小心处理。（二）分式的运算１、分式的乘除（１）乘法法则：a／b·c／d＝ac／bd。（２）除法法则：a／b÷c／d＝a／b·d／c＝ad／bc（c≠０）。（３）乘方法则：（a／b）ⁿ＝aⁿ／bⁿ（n为正整数）。２、分式的加减（１）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减，即a／c±b／c＝（a±b