8.6 三角形内角和定理 同步练习【鲁教54】七下数学一课一练

第八章平行线的有关证明第6节三角形内角和定理基础过关全练知识点1三角形内角和定理1.(2022山东济南历城期中)若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶5，则这个三角形是()A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形2.(2023湖南长沙一模)如图，过三角形ABC的顶点C作EF∥AB，∠ACE=65°，∠B=30°，则∠ACB的度数是()A.105° B.85° C.80° D.75°3.(2023陕西西安碑林模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，DF∥EB.若∠D=70°，则∠ACD的度数为()A.30° B.35° C.40° D.45°4.(2023江苏南京期末)如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4.若∠α=70°，则∠β的度数是()A.30° B.35° C.40° D.45°4.如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC=30°，∠BAC=80°.(1)求∠EBC的度数；(2)求∠AOB的度数.知识点2三角形的外角6.如图，△ABC的外角有个.

知识点3三角形内角和定理的推论7.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，若∠A=45°，∠B=65°，则∠BCD的度数为()A.45° B.65° C.100° D.110°8.(2023河南商丘虞城三模)将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠1的度数是()A.95° B.100° C.105° D.110°9.(2023河北沧州任丘三模)如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE.∠1，∠2，∠3的大小关系为()A.∠2>∠1>∠3 B.∠1>∠3>∠2 C.∠1>∠2=∠3 D.∠1>∠2>∠310.如图，点C是∠BAD内一点，连接CB、CD，∠A=80°，∠B=30°，∠D=40°，则∠BCD的度数是.

11.如图，BD是△ABC的角平分线，交AC于点D，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，则∠BED的度数为.

12.(2023河北邯郸磁县期中)如图，BD，CE是△ABC的两条高，且交于点O.(1)∠1和∠2的大小关系如何？(2)若∠A=50°，∠ABC=70°，求∠3和∠4度数.能力提升全练13.(2023山东菏泽定陶一模)体育课上的侧压腿动作可以抽象为如图所示的几何图形，如果∠1=110°，那么∠2等于()A.10° B.20° C.25° D.30°14.(2023山东青岛市北期末)具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1 B.∠A-∠C=∠BC.∠A=∠B=2∠C D.∠A=12∠B=1315.(2023山东聊城中考)如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为()A.65° B.75° C.85° D.95°16.点O是△ABC内一点，AO、CO分别平分∠BAC、∠BCA，∠B=64°，则∠O=()A.116° B.122° C.136° D.152°[变式1·内角平分线+外角平分线模型]如图，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∠A=30°，则∠D=.

[变式2·双外角平分线模型]如图，已知△ABC的两个外角的平分线交于点O，∠A=80°，则∠O的度数为.

17.(2023湖北十堰中考)一副三角板按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=.

18.(2022黑龙江哈尔滨中考)在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC是度.

19.(2023安徽合肥四十五中期末)如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，∠DAC=10°，AE是△ABC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，∠ABC=48°，求∠AFB的度数.素养探究全练20.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”.例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”，等等.如图，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(规定0°<∠OAC<90°).(1)∠ABO的度数为°，△AOB(填“是”或“不是”)“灵动三角形”；

(2)若∠BAC=70°，则△AOC(填“是”或“不是”)“灵动三角形”；

(3)当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数.

第八章平行线的有关证明第6节三角形内角和定理答案全解全析基础过关全练1.C设三个内角的度数分别为2x，3x，5x(x>0)，根据三角形内角和定理，可得2x+3x+5x=180°，解得x=18°，∴三个内角的度数分别为36°，54°，90°，故这个三角形是直角三角形.2.B∵EF∥AB，∠ACE=65°，∴∠A=∠ACE=65°，∵∠B=30°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-30°=85°.故选B.3.A∵△ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=40°，∵DF∥EB，∠D=70°，∴∠D=∠CEB=70°，∴∠AEC=180°-70°=110°，∴∠ACD=180°-∠AEC-∠A=180°-110°-40°=30°.故选A.4.C如图，由题意得∠5=180°-(∠1+∠2)=180°-2∠2，∠6=180°-(∠3+∠4)=180°-2∠3，∵∠α=70°，∴∠2+∠3=180°-∠α=110°，∵∠β=180°-(∠5+∠6)，∴∠β=180°-(180°-2∠2+180°-2∠3)=2(∠2+∠3)-180°=40°.故选C.5.解析(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠DAC=30°，∴∠C=90°-∠DAC=60°，∵∠BAC=80°，∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=40°.∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=12∠(2)∵∠BAC=80°，∠DAC=30°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=50°，由(1)可知∠EBC=20°，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBC=20°.∴在△AOB中，∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=110°.6.答案6解析根据外角的定义可知，一个顶点处有2个外角，故△ABC有6个外角.7.D∵∠BCD是△ABC的一个外角，∴∠BCD=∠A+∠B=45°+65°=110°，故选D.8.C如图，易知∠A=60°，∠ABC=45°，∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1=∠A+∠ABC=60°+45°=105°.故选C.D∵∠2是△CDE的一个外角，∴∠2>∠3，∵∠1是△ABC的一个外角，∴∠1>∠2，∴∠1>∠2>∠3.故选D.10.答案150°解析解法一：如图，延长BC交AD于E，∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A=80°，∠B=30°，∴∠BED=∠A+∠B=110°，∵∠BCD是△CDE的一个外角，∠D=40°，∴∠BCD=∠CED+∠D=150°.解法二：连接AC并延长到点E，∵∠BCE是△ABC的一个外角，∴∠BCE=∠B+∠BAC，∵∠DCE是△ACD的一个外角，∴∠DCE=∠D+∠DAC，∵∠BCD=∠BCE+∠DCE，∴∠BCD=∠B+∠BAC+∠D+∠DAC=∠B+∠BAD+∠D，∵∠BAD=80°，∠B=30°，∠D=40°，∴∠BCD=30°+80°+40°=150°.11.答案150°解析∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠ABD=∠BDC-∠A=60°-45°=15°.∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC=∠ABD=15°.∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD=15°.∴∠BED=180°-∠BDE-∠DBE=180°-15°-15°=150°.12.解析(1)∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠BEO=∠CDO=90°，∵∠4=∠BEO+∠1=∠CDO+∠2，∴∠1=∠2.(2)由三角形内角和定理得∠3=180°-∠BEC-∠ABC=180°-90°-70°=20°，∠2=180°-∠A-∠AEC=180°-50°-90°=40°，∴∠4=∠ODC+∠2=90°+40°=130°.能力提升全练13.B由题意可得∠1=∠2+90°，∴∠2=∠1-90°=20°.故选B.14.CA项，由∠A∶∠B∶∠C=2∶1∶1，可知∠A=∠B+∠C，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；B项，由∠A-∠C=∠B，可知∠A=∠B+∠C，又因为∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；C项，由∠A=∠B=2∠C，可知∠A+∠B+∠C=5∠C=180°，所以∠C=36°，∠A=∠B=72°，所以△ABC不是直角三角形，符合题意；D项，由∠A=12∠B=13∠C，可知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以∠A+∠B=∠C∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意.故选C.B∵AD∥BE，∴∠ADC=∠EBC=80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°，∴∠ACB=180°-25°-80°=75°，故选B.16.B在△ABC中，∠B=64°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-64°=116°.∵AO、CO分别平分∠BAC、∠BCA，∴∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠∴∠OAC+∠OCA=12∠BAC+12∠BCA=12(∠BAC+∠在△OAC中，∠OAC+∠OCA+∠O=180°，∴∠O=180°-(∠OAC+∠OCA)=180°-58°=122°.故选B.[变式1]答案15°解析∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠ECD，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠ACE+∠ACB=180°，∴∠ACE=∠A+∠ABC，即∠ACD+∠ECD=∠ABD+∠CBD+∠A，∴2∠ECD=2∠CBD+∠A，∴∠ECD-∠CBD=12∠A∵∠ECD=180°-∠BCD=180°-(180°-∠CBD-∠D)=∠CBD+∠D，∴∠D=∠ECD-∠CBD=12∠[变式2]答案50°解析如图，由三角形内角和定理，得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°.由角的和差，得∠DBC+∠BCE=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-100°=260°，由△ABC的两个外角的平分线交于点O，得∠OBC+∠OCB=12(∠DBC+∠BCE)=130°，由三角形内角和定理，得∠O=180°-(∠OBC+∠17.答案100°解析设DF与AC的交点为G.由题意得∠BAC=60°，∠C=30°，∠D=45°，∵∠EAB=35°，∴∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC=85°，∴∠AGD=180°-∠D-∠CAD=50°，∴∠CGF=∠AGD=50°，∴∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°.18.答案80或40解析本题主要考查三角形内角和定理的应用，易出现的错误是未分情况讨论导致漏解.当△ABC为锐角三角形时，如图，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°，则∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°；当△ABC为钝角三角形时，如图，∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-30°-90°=60°，则∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°.综上所述，∠BAC=80°或40°.故答案为80或40.19.解析∵AD是边BC上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠ABC=42°.又∵∠DAC=10°，∴∠BAC=52°，∴∠MAC=180°-∠BAC=128°，∵AE是△ABC外角的平分线，∴∠MAE=12∠MAC=64°∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=12∠ABC=24°∴∠AFB=∠MAE-∠ABF=40°.素养探究全练20.解析(1)∵AB⊥OM，∴∠BAO=90°，∵∠AOB=60°，∴∠ABO=90°-60°=30°，∵90°=3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”.故答案为30；是.(2)∵∠OAB=90°，∠BAC=70°，∴∠OAC=20°，∵∠AOC=60°=3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”.故