【非线性方程根的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法研究6100字（论文）】

非线性方程根的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法 I 1.1数值分析的发展 11.2方程数值解法的对比 22.1二分法 22.2牛顿迭代法 32.3弦截法与抛物线法 42.4典型例题 5 7 8 3.4典型例题 要方法.本文总结概括了关于非线性方程根的数值解法、常微分方程初值问题的数值解法，同时列举出微分方程数值解在数学建模中的实际应用.关键词：数值解；非线性方程；微分方程；数学建模时数值分析法在各学科中也得到了越来越多的应用.数值分析法从上世纪90年代开始已可能很复杂，此时数值分析法能将复杂的条件线性化，起到化繁为简的效果.研究出适合计算机使用的、满足精度要求的且节省计算时间的有效算法.通过举出经典例题使这些方法更加直观清晰.2.2牛顿迭代法(一)单根时的牛顿迭代法F₀(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀).牛顿迭代法求单根的收敛定理：设函数f(x)是m(m≥2)次连续可导，x是方程f(x)=0的单根，则当x₀充分靠近x时，牛顿迭代法收敛，且收敛阶数至少为2.牛顿迭代法具有直观的几何意义：通过曲线的切线与x轴交点的横坐标来逼近曲线根的方程进行讨论.设f(x)=(x-x)"g(x),m为整数且m≥2,g'(x*)≠0,此时x为f(x)的m重根.(2)假设f(x)=0的重数m未知，可以求出此时f(x)的导数f'(x):f'(x)=(x-x*)"-¹[(x-x")g此用(2.6)求x也至少是二阶收敛的.除了可以求解有重根的方程外，还可以求解非线性方程组.但是由于涉及到了导数的计算，所以对函数的要求有所提高，每一步迭代的计算量也大大增加.需要进行一次导数的计算，从而导致计算量较大，因此可以利用已求函数值立在插值原理基础上进行的.(一)弦截法设xk,xk-1是方程f(x)=0的近似根，以x,xk-1为节点构造一次插值多项式p₁(x):这样导出的迭代公式可以看作是将牛顿迭代公式中的导数f'(x)多项式P₂(x):P₂(x)=f(x)+f[x,,xk_1](x-x其中w=f[x,xk-1]+f[xk,2.4典型例题令a₁=x₀=1.25,b₁=b=1.5,从而得到新的有根区间[a,b₁].如此反复进行，表格1kbf(x)符号01+23+4+56例2用牛顿迭代法计算√3.取初始迭代值x₀=1,计算结果见表格2.表格2k012345取初始迭代值x₀=1.5,计算结果见表格3.表格3k0123例4用弦截法求解x³+x²-1=0.解：令f(x)=x³+x²-1,取初始迭代值x₀=0,x₁=1,计算结果见表格4.表格4k0123456789弦截法与抛物线法，除此之外还有牛顿下山法、斯蒂芬森法等等.在选择数值解法时，我们也需要根据方程的特性来决定.本文未提及非线性方程组的解法和理论也是一个重到非线性方程组.应用时需要通过数值计算求出满足要求的数值解.在自然科学与社会科学的许多领域中，常常会遇到一阶常定理：如果方程(3.1)中的右端函数f(t,u)满足：(2)函数f(t,u)在矩形区域Ω={(x,y)|x∈[a,b],y∈(-∞0,+)}内连续；(3)f(t,u)关于u满足Lipschitz条件：即存在正常数L,使得对任意t∈[0,T],下列则方程(3.1)存在唯一的解u(t)∈C[0,T].对于方程(3.1),本文给出了三种常见的数值解法：欧拉法、改进的欧拉法、龙格法的基本特征.tn=nh(n=0,1,…,N).由u(t₀)=u₀可以得到u(t)在t=t₀的导数值为：u'(t₀)=f(t₀,u(t₀))=f(t₀,u₀).u₂,依次进行可计算出u在所有节点上的近似值，可以得出递推公式：un+1=un+hf(tn,un),n=0欧拉法的几何意义：欧拉法实际上是用过已知点的折线(图(1)中的虚折线)来近似O(h²),整体误差的阶为O(h).3.2改进的欧拉法积分的角度来求解方程(3.1).对微分方对微分方公式(3.3)被称为梯形公式.梯形公式法是二阶方法，其本身是一种隐式算法.虽然梯形改进.对预测值进行一次校正，得到校正值：un+1·因此可以得到改进的欧拉公式(3.4):公式(3.4)也可以表示为下列平均化形式改进的欧拉法的局部截断误差的阶为O(h³),整体误差的阶为O(h²),所以改进的欧拉法也是二阶方法.3.3龙格-库塔法龙格-库塔法是求解方程(3.1)的一类重要方法，该方法稳定、精确并且容易计算点处的导数，来避免直接计算f(t,u(t))的高阶导数当f与u无关时，公式(3.7)为Simpson公式.表格5和易于调节步长.但是四阶龙格-库塔法要求函数f(t,u)具有具有步都需要计算四次函数值，计算量比较大.更深入的理解，因此列举出了几道常见的例题进行分析.例1用欧拉法求解初值问题：取步长为0.1,计算结果见表格5.x例2用改进的欧拉法求解初值问题：取步长为0.1,计算结果见表格6.与例1中的欧拉法计算结果相比，改进的欧拉法明显改善了精度.表格6例3用四阶龙格-库塔法计算初值问题：解：取步长为0.2,经典的四阶龙格-库塔公式具有形式：计算结果见表格7.表格7法的计算量比改进的欧拉法的计算量大了一倍，但是由于例3放大了步长，所以表格6与表格7所消耗的计算量几乎是相同的.本章主要研究了求解常微分