数值计算方法期末复习答案

一、名词解释

3.1.误差：设为准确值的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。

2.有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精

确程度。如果近似值的误差限是，则称准确到小数点后n位，并从第一个不是零的数字

到这一位的所有数字均称为有效数字。

算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系

统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问

题结果的运算顺序，这就是算法。

4.向量范数：设对任意向量，按一定的规则有一实数与之对应，记为，若满足

（1），且当且仅当；

（2）对任意实数，都有；

（3）对任意，都有

则称II列为向量工的范数。

5,插值法：给出函数的一些样点值,选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函

数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似的方

法。

6相对误差：设。为准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误差,

记为，即

7.矩阵范数：对任意n阶方阵A,按一定的规则有一实数与之对应，记为。若满足

（I），且当且仅当：

（2）对任意实数，都有；

（3）对任意两个n阶方阵AB都有IIA+5同All+llB\\；

⑷||4例|=||A||||B||

称IIAll为矩阵A的范数。

8.算子范数：设A为n阶方阵，是中的向量范数，则是一种矩阵范数，称其为由向量

范数诱导出的矩阵范数，也称算子范数。

9.矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n维向量，都有

IIAr间AIIllx||

这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。

10.范数，范数和范数:

（1）1-范数11初=£|七1

r-l

（2）8-范数||Ns=max{|Xj|}

⑶2-范数||现=&+后+..•+4

二、简答题

1.高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称

为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回

代过程。

2.迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近

似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。

3.雅可比（Jacobi）迭代法的计算过程（算法）：

（1）输入，，维数n,,，最大容许迭代次数N。

（2）置k=l

（3）对i=1,2,…,〃■=（"-Z%琛）/%

>=|

户i

（4）若,输出x停机；否则转5。

（5），置，转3,否则，输出失败信息，停机。

4.插值多项式的误差估计：（P102）

由~~rr^+i（x）=";~~^-（工一/）。_%）…

当时，上式自然成立，因此，上式对上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。

5.反募法的基本思想：设A为阶非奇异矩阵，，为A的特征值和相应的特征向量，贝

的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即

A-'u=^u

因此，若对矩阵用舞法，，即可计算出的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的

恃征值。

6.雅可比（Jacobi）迭代法是：选取初始向量代入迭代公式

岩钊=+巨优=0,1,2,…）

产生向量序列，由上述计算过程所给出的迭代法,

7.数值计算中应注意的问题是：

（1）避免两个相近的数相减

（2）避免大数“吃”小数的现象

（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值

（4）要简化计算，减少运算次数，提高效率

（5）选用数值稳定性好的算法

8.高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k次消元时，需作除法次，乘法次,

故消元过程中乘除运算总量为

乘法次数£（〃一女）（"-々+1）="〃2-1）除法次数£（〃一攵）=5（〃一1）

在回代过程中，计算需要次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为

,所以，高斯消去法的乘除总运算量为

N=—(n'-1)+—(n-l)+—(//+!)=—+

32233

9.迭代法的收敛条件：对任意初始向量和右端项，由迭代格式

x｛k+i)=Mx(k)+g(A=0,1,2,…)

产生的向量序列｛x(k)｝收敛的充要条件是"(加)v1o

10.迭代法的误差估计：设有迭代格式，若，收敛于，则有误差估计式。

二、计算题

1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位

有效数字？

解：由式和得

e(x)=3.65x贸1.21)+1.21xc(3.65)-e(9.81)

因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为，故有

Ie(x)|<3.65x|e(1.21)|+1.21x|^(3.65)1+1e(9.81)|

<(3.65+l.21+l)xlxl0-2=0.0293

|稣)|=丝与”配=0.0054

r|x|5.3935

所以，的绝对误差限为0.0293,相对误差限为0.0054,计算结果有两位有效数字。

-23

2,求矩阵4=47的三角分解。

-25_

解：由式

，，

4-2

L,=^,/MI1=-=2,/=々/〃=丁=-1

a

“22=22~4卅21=7-2X2=3,“23=-4必3二7_2X3=I

132=(%2一，3M2)/〃22=d-(一1“2]/3=2

ityy=a33-{/3|M|3+/32Z/23)=5-[(-l)x3+2xl]=6

所以

3.用幕法（）求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。取.（P77）

解：严)-0,0,1)

—严=(0,_1,2)\a=2

丫⑴

y(,)=——=(0,0.5,1/

a

4.已知函数，的值是10,11,12,13,14对应的的值分别是2.3026,

2.3979.2.4849.2.5649.2.6391<>用Lagrange线性插值求Inll.5的近似值。

解：取两个节点，，插值基函数为

，0(幻=AA|="(x-12)/)(x)=XX°=x-ll

AA<)

由式例(x)=y0=/+y得

/一为X,-J0

L,(x)=-2.3979(x-l2)+2.4849(x-II)

将x:11.5代入，即得

In11.5yLi(11.5)=2.3979x0.5+2.4849x0.5=2.4414

按式R"(x)=---冷~叫“(工)&e(a,b)得

(Inx)'

^U)=—^-(x-ll)(x-12)

因为，在11和12之间，故

-11,

|(lnx)J=—<—=0.0082645

于是

|/?,(11.5)|<|x0.0082645x0.5x0.5=1.03306x1(P

5.用Jacobi迭代法（）求解线性方程组・•

解：山Jacobi迭代法得计算公式得

P=0.1x*+0.2用＞+7.2

■芯卬＞=0.1+0.2堞)+8.3

套f=0.2斗3+0.2芯*)+8.4

取，代入上式得

甲=7.2m)=8.3引)=8.4

邛=0.1x8.3+0.2x8.4+7.2=9.71

#＞=0.1x7.2+0.2x8.4+8.3=10.70

^2)=0.2x7.24-0.2x8.3+8.4=11.50

6.设有方程组，其中，讨论用Jacobi迭代法求解的收敛性。

解：因为A为对称矩阵，且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩阵,A不是弱对角占

优阵，故不能判别Jacobi迭代的收敛性。易算出Jacobi迭代法的迭代矩阵为

B=I-D~lA=--0'

22

其特征方程

|A/-^|=gAA3+1。2

4--4-

22

=a--）2a+i）=o

2

有根，，因而。由向量序列收敛的充要条件是，故Jacobi迭代法不收敛。

7.用反塞法（）求矩阵接近2.93的特征值，并求相应的特征向量，取.

解：对作三角分解得

--0.93-10

A-2.93/=0-0.93-1

0-1-0.93

I00-0.93-10

=0100-0.93-1

Un।I1k/nvn—nQ7i1

_0.93JL0.93.

8.已知函数，的值是10,11,12,13,14万t应的的值分别是2.3026,

2.3979.2.4849.2.5649.2.63910用Lagrange抛物线插值求hi11.5的近似值。

解：取，，，插值多项式为

(x-12)(x-13)(x-1l)(x-13)(x-1l)(x-12)

&*)=2.3979+2.4849+2,5649

(11-12)(11-13)(12-11)(12-13)(13-11)(13-12)

=1.19895(%-12)(.r-13)-2.4849(x-1l)(x-13)+1.28245(x-ll)(x-12)

所以

In11.5kL2。1.5)

=1.19895x(-0.5)x(-1.5)-2.4849x0.5x(-1.5)+1.28245x0.5x(-0.5)=2.442275

因为，于是

-2,

max(Inx)|<--=01503x10■

Il<x<l3JI3

因此用抛物线插值法计算的误差为

l(lnx)；I

l&(11.5)|二1(11.5-11)(11.5-12)(11.5-13)1

3!

<-x0.1503xl0-2x0.5x0.5xl.5=9.3938xi0-5

6

查表可得In11.5=2.442347

三、证明题

］套的近似值有位有效数字，则为其相对误差限。反之，若的相对误差限满

足，则至少具有位有效数字。

证明：由式得

**1

\e(x)\=\x-x|<-x!0w-zr

2

从而有

1与(丁)1=1华区2<—xIOn+,

XO.q〃2…xlO"'2at

所以5〉x10-n+,是炉的相对误差限。

若，由式得

tA

Ie（x）|=|-X（Z）|<O.a]a2••q…x10"%

<(a,+l)xlOw'x—!—xlOn>,=-xlOn,'n

2(4+1)2

由式，至少有n位有效数字。

2.设为个互异节点，为这组点上的Lagrange插值基函数，试证明。

证明：上式的左端为插值基函数的线性组合，其组合系数均为lo显然，函数在这n+1个节

点处取值均为1,即,由式知，它的n次Lagrange插值多项式为

“为=力(㈤

r=0

对任意X,插值余项为

L

R,M=fM-W=(―。间⑴三。

U）=£4（x）m/（x）=l

所以

Z=O

3设为任意阶方阵，为任意由向量范数诱导出的矩阵范数，则

证明：对A的任一特征值及相应的特征向量，都有

1411瓦1同加11=11施同人|||同||

因为为非零向量，于是有

由4的任意性即得0(A)勺AII

4.设为阶方阵，则的充分必要条件为。

证明：必要性。若

lim不=0

A->00

由相关定义得lim||Ax||=0

Jt-W

K

而o<P(^)=[p(A)r<\\AW

于是由极限存在准则，有

所以p(A)<l。

充分性。若，取，由，存在一•种矩阵范数，使得

||川区河4)+”"裂<1

而，于是

所以limH=0

五、应用题

1.平面桁架是由刚性元件通过结点互相联结而组成的力学结构，它通常出现在桥梁结构和

其他需要力学支撑的结构中。如图是一个简单的静力桁架结构，其中刚性元件（）通过结

点相连。求各个结点的合力方程，并求出当外部负荷