李永乐线性代数冲刺笔记

线性代数冲刺笔记

120

【例11B-A-2AB-E.r(AB-2BA*-3A)-

斯03a--0

005

(A)(B)(C

1o\3(D)与a有关

，解•/A(A—2B)=E

A可逆，目.甲=A—2B

=•A(A—2B)=6J—2B)A(AA=AA)

=AB=BA

那么，AB—2BA-3A=3A—AB=A(3E—B)

又，A可逆，知

r(AB-2BA-3A)=r(A(3E-B))=r(3E-B)

-aW|3E-B|=0,X3E-B有二阶子式不得寄，从而r(3E-B)=2.

【评注】

本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法-

设矩阵A-n阶，B-n阶，若AB=BA=E,则称矩阵A可逆，且B为A的逆

矩阵•由此有AA=AA.

【例题2】Amxn,n1,n2,ni是Ax=0的基础解系，a是Ax=b的一个解.

⑴证明a,a+n1,a+n2,…，a+nt线性无关.

(II)证明Ax=1)的任意一个解都可以由a,a+n：,a+n2,…，a+nt线性表出.

【分析】n,,n?,…，n,是Ax=0的基础解系，那么n1,n2,…，n,必定线性无关，从而证明a,a+n』a+n?

nt线性无关可以用定义法.

【证】(1)(用定义，重组，同乘)

设koa+ki(a*n1'+2)+—-kr{a+nt'=°">

即(ko+ki+k2+…+ki)a+kini+k2n2+…+krnt=0(2)

由Aa=b.Ani=0(i=1.t).用A左乘(2),有

(ko++k?+...+ki)Aa+k(An1+k?An2+...+ktAnt=0

即(ko+k(+k?+'"+kt)b=0

又b工0,有ko+ki+k2+―+kT=0(3)

带入⑵有kini+k2n2+…+kmt=0,

而ni,n2,…，nt是Ax=0的基础解系，那么n1,n2,…，nt必定线性无关，

从而ki=k2=••・=kt=0,带入⑶有ko=0.

所以ku=ki=kz-…-Ki=•0=•a,a+n1>a+n2,…，a十n【线性无关.

(或用秩)

n.,n?,…，n,线性无关，a是Ax-b的解-♦a不能由n1,n2,…，m线性表出.

=・x,n,+Kn2+人+x：nt=a无解=•r(n”n?,...»n>)1r(n1,n?,...»n”a)

"n"nz»....nJ='二・"nn2,...»n1,a>=t*'

=■r(a.a+n、a+n2,...»a+n1)=t+1=■a,a+nSa+n2,a+n，线性无关.

(II)设P是Axib的任意一个解，则P-a是Ax-0的解.从而p—a=1.n.+12n?+-+1<nt.

=・B=a+1，n1+1zii2+..11n«-•(3—(1------1,------12_-------L)a+1«n<+1an2+...+Ln(

即3可由a,a+n1,a+n...»a+n,表出.

【评注】

本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明•考查了方程组基础解系的

设有向量小组n,n,n满足：

(1)An=0(i=1,…，t),即n是Ax=0的解.

(2)Ax=。的任意一个解都可以由ri,n,-,n表出.

【例题3】Amxn,r(A)=n,a<,a?.…，a,是n维列向量.

证明：a“aa，线性无关的充分必要条件是Aa.,Aa2,…，Aas线性无关.【证】必要性(用定义)

设kAa,+k；Aa；+…+k,Aa.=0,即A(k,a>+kra2+--+k.a»)=0.

由A™,,r(A)=/;=Ax-0只有零解.

故k,ai+k^a?...k,a.=0,又a,,a?,a=线性无关=,k-=k尸k=•••=k»=0.

从而Aa,,Aa…,Aa,线性无关.

充分性(用秩)

因为Aa,,Aa...,Aa*=A(a,,a2......aj,所以

r(Aai,Aa,Aa4)=r(A(a.,a2,...,a<r(a1,a2,...

由Aa,,Aa2,—,Aa，线性无关知r(Aa),Aa2.—,Aa4=s.

而r(a，,a?,…，aj<s,从而r(a“a2,…，a»)=s=-a),a?,…，a,线性无关

方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的

riiFl小Ax=R解的给超知r(Al=3.—2,1,—1]+k[1,2,0/，B=(as,a2,a1,3+a<],Y=a.

(II)1设X,a,+X?a?+X?a3=a,a,能由a2,a3线性表出.

由(l>如r(aaN,a)<3,而r(aa,a3,a,);4,知方程组无解，故

b32a«不能由a,,a2,a3线性表出.

(II)a,能否由a“a2,a3线性表出？

(III)Bx=y求的通解.】，]=，r(B)=4.

.........................................................并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解

从而n-r(B)-2.

因为[a3,a2,a.,a.—2as+as—a]

所以[5,-3,1,Op是Bx-y的一个解・・5I

-3

线性无关，即

■-n

-2、

(aa,a&a,,a,-2as+aa—a,)=0,所以Bx=y的通解是

由⑴知a,+3a2+2a3=0,从而[a3,a?,a.,at—2a?+a3—at]。，用观察法，取另一个向量使得它与[2.3,1,0]

1

L

TT

(5,-3,1,0]+k,[2f3,1,0]+M-1,-2,1,-Ip,其中匕，k为任意常数.

【评注】

本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的

通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会

用观察法得到特解，和线性无关的解向量・

■131

【例题5】A=⑶，a%aj,a,工°满足AB=0.其中B=2，求a,,a%a3的一个极大线性无关组，并用它表出其

他向量.

【分析】从AB=。要得想到两方面的信息：(l)r(A)+r(B)<n(II)的列向量均是Ax=°的解•

【解】由AR=/7=r(A)+r(R)<3.

因为A工。.B工。知1<r(A)<2,Kr(A)<

2次工9时.r(B)=2,从而r(A)=1,此时极大无关组为a.由AB=。得

:、2.23：3=0

426:3二。=(k—91a3=0

62k：3=0

k工9,故as=0,a3=0a1.

k=9时，r(B)=1,从而r(A)=1或2.

r(A)=1,则极大无关组为a,,

1

a1+2a2+333—a,=0=「2二t&,[2t,1

3

r(A)=2,则极大无关组为a“a?(a[必定线性无关，否则r(A)=1)

11

「盲1亏2

|11231

【例题6】i5iA=|o12|，r(A)=2,一则心•=()的通解是

-1a4—a

p,r(A)二n

【分析】若A为n阶方阵，则r(A)1,r(A)=n——1,从而由r(A)=2知r(A)=1.又|A|=0,得AA=AA=|A|E=

0,r(A)vnF1

1

T

0二.A的列向量是A-BX-。解.由解的结构如应填kd□,□,□]।k2[□,□,□U的形式.

【解】而由r(A)=2知r(A)=1,所以通解由n—r(B)=3-1=2个解向量构成.

乂|A|=0,得AA=AA=|A|E=O=K的列向量是Ax=0解.

BP[1,0,-1]T,[2,1,a]T,[3,2,4-a]T.

1]T+ks[5.4.3],是Ax

又[2,1,a]T+[3,2,4-a]T=[5,4,3]\显然[1,0.一与[5,4,3：线性无关，故kf,0,

=0的通解，其中k,,代为任意常数.

T

【例题7]设a.,aa,a,是Ax=b的解，r(A)=3,若a-a#[1,2.3.4],3i+2a产[2,3,4,5F，则Ax二匕的通解是

【解】由r(A)=3知Ax：0的通解由n—r(Bi=4-3=1个解向量构成.从而

3(a.+a：)—2(a2+2a3)是Ax=0的解，即[―I,0,1,2]

(a,+2a,)—(a,+a?)是Ax=b的解.即[1,1,1,1]

从而,[1,1,1,1]T+k[-1,0,1,2]1是Ax-b的通解，其中k为任意常数

【评注】

由非齐次方程组和齐次方程组解的性质知：若a,a是Ax=b的解，那么a—a

是AxR的解.而若a.a分别是几个解向量的线性组合时，相减时用最小公倍数的方式选择系数

做减法即若a,a分别是2个和3个解向量的线性组合（即a=n+n,a=邛+叩+n,这里n,n,

n,n,n也是Ax=b的解）时，那么3a—2a也是Ax二

去除.因为A(kin+k?n+kan)=kiAn+k2An+k小n=(k)+k2+ka)b,所以

1

A-------1k1即+k?n+kan)=b

k,kakg

即——1

kik2ka

也可以用减法，设叩,n,―,邛是Ax=b的解，又已知B:珞耳+k?yp+—+krn,

11-11

【例题8】设a二1a-1只有2个线空无关的特征向量.求A的特征值与特征向量

■-313

【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根

-111-4-1

_―I..>，L_尸，MJ

-14110114,从而-a-[1,4,1]T,la,,其中k为任意常数.

_3-11-.000-

^(4E—A]x=b,n卫00

对[4E_A]=0,有

■3-111j-4-11

14)从a?=[—5,4,—11]\Raz,其中心为任意常数.

|-41011rnr

3-11000

⑵a=则入4=4-

斐4

对[0E=0,有

【例题G设A是3阶矩阵，且

(I)证明0是A的特征值.

(II)证明a+R.a—R是A的特征向量

(III)求二次型BAx的正负懊由旨数一

【证】＜。・aR=Ra=—.

2

Ra丁，Ra丁是秩为1的矩阵.

从而r(Ai=r(aRT+RaT)<r(aRT)+r(RaT)=2<3.即|A|=0=0是A的特征值.

(II)A(+R)=(aRRM+L』Ra；Raa+:RR+RaR

c—T.

=—a+R+R(d+K),

2a2=2

又R)半否R„T1、、

R，a

6.+c则a+=°=a=—«—R=Ra="十，.，、曰…，〜”,—

2

3从而a+R是A的属于特征值的特征向量.

2

11

同样有，la-R)=——(a—R),且(a-R)工0,从而a—R是A的属于特征值一的特征向量

22

1

(川)由(I)、(II)知A的特征值是:3_2

-，又A，=A(否则A不是二次型的矩阵)=•p=1.q=1

2

【例题10]设A是3阶矩阵，ai,a2,a3是3维线性无关的列向显，小星Ax-0的解一心2=a-2aqAa3=a1-3as4-2a3.

⑴求A的特征值，特征向最

(II)判断A是否和A相似？

【分析】由Aaz=ai+2a2,1是Ax-0的解，得至(JA[a1,a2,a3H0,a1+2a2,1-3a2+2a3]

■11a01)

=[a1,a2,a3]°—3•记B=0-3,若(a1,a2,a3]可逆，则必有A=[a1,a2,3]B[a1,a2,

卫。22

1a3),现在问题是(aa?,

和B相似所以求A的特征值和特征向彘惭翎逆呢？题目中又给出了a，，a?,a，线性无关，故三阶矩阵[a,,az,a.记A,]必可逆，所以A

了p「飞，就可以求出Z.B的特征值与特征向量的特征向是为Z，则B的特征向昆为

PZ，所以知道

而问A是否和A相似，由于已经求出了A的特征值，特征向量，则可以从相似对甬化的充分必'要条件给予推断的

传递性，.也可以根据相似

由于上一步中已经得到了A和B相似，故若有B和A相似，则有A是否和A相似.

■0

[解]A[ai,a2,a3]=[0,ai+2az,a1-3az+2a3]=[ai,az,a3]

(1)r

o

因为a1,a2,a3线性无关，故[a1,a2,a3]可逆，从

而

■

—10

[a1,a2»a3]A[a1,a2,a3]=B=-3，即A和B相似.

2

由B的特征值为0,2,2(B为上三角矩阵,或者用定义，由I入E—B-入(入-2)：0=入=0,2,2.)知A的特征值为0,2,

2.

由已知，k,a,是A的属于特征值0的特征向量，其中k.为不等于零的任意常数.

对于B的属于特征值2的特征向量，有Zi=[1,2,0]=F=[a1,a2.a3]2=(a?n,rk?[a1+?a?]§A的属于特

〕0j

征值2的恃征向量，其中电为不等于零的任意常数.

(II)由⑴知A只有2个线性无关的特征向量，故A不和

【评

注】

这是特征值与特征向量的另一种考法，由Aa=a+2a,Aa=a-3a+2a要想到

相似的信息•这里缺少Aa,如果有Aa的活，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以得

到相似的信息，而这里题目中又给出了a是Ax=0的解，所以可以做分块矩阵的乘法

【例题11]设A+2A=0,r(A)=r.

⑴证明A和A相似.

(II)求|A+3E|.

【分析】由入2+2入=入=0,—2.即A的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析【证】

(I)(用秩)r(A)=r=.A=[a„a?,-,a肿有r个向量线性无关.

/2,…，*nl=-2[aua2,a疝邺,笺，an是A的属于特征值一2的特征向量一2有

由A=—2A=•A[a1,a

r个线性无关的特征向量.

•,6n,是Ax=o的系础解系=A箱忏@n—r)=・特征值。有n—r个线性无关的特征向

由r(A)=।•知口1,P2,—

0

(II)由⑴知|A-3E|=3nr

[E

‘若矩阵A满足f(A),f(A)为A的多项式，那么A的特征值由f(/给出，但是各有

-0

【例题12】已知A是3阶矩阵，各行元素之和为2,且AB=0,其中B=1，若P=[2,3.41求AB.

1

【解】因为A各行元素之和为2,所以

=•3=5a1—5a2—3a3—'A3=5Aa1—5Aa2—3Aa3=10a1

"52n

nn—1_An—1—.n—1_jn

=-A3=AA=10Aa1=10入iai=5•2ai=52

Ik-22-4212-21-2(41-4

i

手入【窗题］已知A=入（入一）

E131-0,B=-27)&a相似，221

o

00(0扎Io0

—1

求可逆矩阵P使PAP二R.

rft¥l田比A和RUHl'J所⑶〃At=r'R\-a=2

K-1-2-3

又|入

E--1)=0-入=0,0,1.

=入=0,0,1.对入=0,有[OE-A]

■■对入-0,和0E-A]x-0「

_1」。1¥,1，。「,-2,o,11T.

-1-2-3

T

J0Tai=[-2,•,0],a2=[-0.1)T.

对入7lA]X。，

■-对入=1君伯一A]x='o,一

1_c433=(2,1,0]T.

70-2-31

：.orT

1o—■33=[1,0,01.

令P2=[1,32,33]PZBF2=

有"

t令Fl：9a2,a正声F«AF,

由PiAP.P2BB二」P2P；AP；F2B,记p=p,p

■-2-3-1「3

则p=P，P%0—2为所求.

0jL0

.01

T222

【例题14］已知a=［1,k,-2『是二次型xAx二axi+ax2卜kx3-2X1X3-2机矩阵A的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型，并写出所用

的坐标变换.

【解】二次型的矩阵为

,a

A=

r-1

k

设Ail=入4,有

-111a2=='l(1

-1k-ak2=->[k(2

广-1k上-2」L-2-1-3k-—21(3

k(1)-(2)=•2k-2=0-k=1.带入⑶有入1=2,带入(1)有a=0.

由I入E-A|入(入-2)(入+1)=0=入=0,2,—1.

1]T.

11-1

v62=2

.0j

1

-xj61我yj

1右丁人T

那么，令X

2=62F