适用于新教材强基版2025届高考数学一轮复习教案第九章统计与成对数据的统计分析92用样本估计总体新人教A版

§9.2用样本估计总体

【考试要求】1.会用统计图表对总体进行估计，会求〃个数据的第0百分位数.2.能用数字特

征估计总体集中趋势和总体离散程度.

■落实主干知识

【学问梳理】

1.百分位数

一般地，一组数据的第夕百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有感的数据小于或

等了这个值，且至少有(1。0一0)％的数据太土或笠上这个值.

2.平均数、中位数和众数

一1

(1)平均数：x=-(X\-\rx>-\---Fx„).

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的依次排列，处在最里回的一个数据(当数据

个数是奇数时)或最中间两个数据的也邀(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数量多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

3.方差和标准差

(1)方差：sX)"或:X2.

4.总体(样本)方差和总体(样本)标准差

(1)一般式：假如总体中全部个体的变量值分别为X，降…，％总体平均数为7,则总体

1-

方差«=大」(匕一r)2.

⑵加权式：假如总体的「V个变量值中，不同的值共有处左WA)个，不妨记为九卜，…，匕,

1卜一

其中匕出现的频数为£(/=1,2,…，4),则总体方差为K)2.

【常用结论】

1.若小，xzy为的平均数为x,那么mxi+a,mx-a,…,的平均数为加x+a.

2.数据小，*,…，局与数据x\'=x1+a,X2=生+挤…，x：=*,+a的方差相等，即

数据经过平移后方差不变.

3.若乂，如…，右的方差为d,那么a*i+方，axz+b,…,4乂+力的方差为一s4

【思索辨析】

推断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）对一组数据来说，平均数和中位数总是特别接近.（X）

⑵方差与标准差具有相同的单位.（X）

（3）假如一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数变更，方差不变.（J）

（4）在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数.（J）

【教材改编题】

1.若数据乂，如…，的的方差为2,则数据2汨，2至，…，2留的方差为（）

A.2B.4C.6D.8

答案I）

解析依据方差的性质可知，数据汨，出…，加的方差5=2,那么数据2a2也，…，2羽

的方差为22s2=8.

2.某射击运动员7次的训练成果分别为86,88,90,89,88,87,85,则这7次成果的第8c百分

位数为（）

A.88.5B.89C.91D.89.5

答案B

解析7次的训练成果从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90,

7X80%=5.6,所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89.

3.某校体育节10名旗手的身高（单位：cm）分别为

175,178,176,180,179,175,176,179,180,179,则中位数为.

答案178.5

解析把10名旗手的身高从小到大排列为175,175,176,176,178,179,179,179,180,ISO,

则一178^+1-7=9178.5,所以所求中位数为178.5.

■探究核心题型

题型一样本的数字特征和百分位数的估计

例1⑴从某中学抽取10名同学，他们的数学成果如下：

82,85,88,90,92,92,92,96,96,98（单位：分），则这10名同学数学成果的众数、第25百分位

数分别为（）

A.92,85B.92,88

C.95,88D.96,85

答案B

解析数据92出现了3次，出现的次数最多，所以众数是92；这组数据已经依据由小到大

的依次排列，计算10X25$=2.5,取第三个数，所以第25百分位数是88.

延长探究本例中，第70百分位数是多少？

解10X70%=7,第70百分位数是第7项与第8项的平均数，为二^~=94.

（2）（多选）（2024•郑州模拟）有一组样本数据乂，m，…,xm由这组数据得到新样本数据外

小…，％,其中必=%+3（/=1,2,…，〃），则下列说法正确的有（）

A.两组样本数据的样本标准差相同

B.两组样本数据的样本中位数不同

C.两组样本数据的样本平均数相同

D.两组样本数据的样本众数相同

答案AB

解析数据小，在，…，及的样本平均数是7,标准差是s,样本中位数是刈，众数是加，

所以数据修=必+3（/=1,2,…，力的平均数是X+3,标准差是s,中位数是刈+3,众数

是心+3,故A,B正确.

思维升华计算一组〃个数据第0百分位数的步骤

按从小到大排列原始数据

计算i=nxp%

若i不是整数，而大于i的比邻

整数为j,则第p百分位数为第j

项数据

若i是整数.则第p百分位数为第

i项与第（i+1）项数据的平均数

跟踪训练1（1）某中学高一年级8名学生某次考试的数学成果（满分150分）分别为

85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成果的第75百分位数为（）

A.102B.103C.109.5D.116

答案C

解析这组数据已经依据由小到大的数据排列，8X75%=6,则这8名学生数学成果的第75

百分位数为第6个数与第7个数的平均数，即为1°3”116=]09.5.

（2）（多选）已知某班10名男生引体向上的测试成果统计如表所示，则下列说法正确的是

（）

成果（个）10987

人数1432

A.这10名男生引体向上测试成果的平均数为8.4

B.这10名男生引体向上测试成果的第25百分位数为7.5

C.这1()名男生引体向上测试成果的中位数为8.5

D.这10名男生引体向上测试成果的众数为9

答案ACD

解析对于A,这10名男生引体向上测试成果的平均数为7J_匚_=8.4,所

以A正确；

对于B,将这10名男生引体向上的测试成果按从小到大的依次排序得7,7,8,8,8,9,9,9,9,10,

又10X25%=2.5,则第25百分位数是第3个数，即为8,所以B错误；

对于C,这10名男生引体向上测试成果的中位数为于=8.5,所以C正确；

对于D,这10名男生引体向上测试成果的众数为9,所以D正确.

题型二总体集中趋势的估计

例2某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水状况进行了调查，通过

抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据依据[(),0.5),[0.5,1),…,

[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

频率

组距

0.50

0.42

1.522.533.544.5月均用水量（吨）

(1)求a的值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数；

⑵估计该市居民月均用水量的众数和中位数.

解(1)由频率分布直方图，可知(0.04+0.08X2+0.12—0.16+2a+0.42+0.50)X0.5=1,

解得a=0.3；

月均用水量不少于3吨的人数为(0.12+0.08+0.04)X0.5X60X10*=72000.

(2)由图可估计众数为2.25；

设中位数为

因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0,5,

而前4组的频率之和为0.04+0.084-0.15+0.21=0.48<0.5,所以2<x<2.5,

由0.50X(A—2)=0.5-0.48,可得x=2.04,

故居民月均用水量的中位数为2.04.

思维升华频率分布直方图中的数字特征

(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.

(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应当相等.

(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.

跟踪训练2(2024•哈尔滨模拟)治理沙漠化离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地拍测了

200株树苗的高度(单位：cm),得到如图所示的频率分布直方图.

(2)若树苗高度在185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中用比例支配的分层随机抽

样方法抽取20株树苗作进一步探讨，不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？

解(1)V(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300+a+0.0080+0.0020)X10=l,

［防斗iqc：

・・.a=0.0250,众数为;二190,

设中位数为X,7(0.0015+0.01104-0.0225)X10=0.35<0,5,

(0.0015+0.0110+0.0225+0.0300)X10=0,65>0.5,

则185<水195,

0.35+0.0300X(x—185)=0.5,

:.x=190.

故a=0.0250,众数为190,中位数为190.

(2)由题意可知,合格树苗所占频率为(0.0300+0.0250+0.0080+0.0020)X10=0.65,

不合格树苗所占频率为1-0.65=0.35,

所以不合格树苗抽取20X0.35=7(株),合格树苗抽取20X0.65=13(株),

故不合格树苗、合格树苗应分别抽取7株和13株.

题型三总体离散程度的估计

例3(2024•全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某

项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数

据如下.

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为X和y,样本方差分别记为d

和S2.

⑴求x,y,忌

⑵推断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设卷是否有显著提高（假如7—7

22/^'则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为

有显著提高）.

解（1）由表格中的数据易得二=^X（-0.2+0.3+0+0.2-0.1-0.2+0+0.1+0.2-

0.3）+10.0=10.0,

-1

y=—X（0.1+0.4+0.1+0+0.1+0.3+0.6+0.5+0.4+0.5）+10.0=10.3,

5I=^JX[(9.7-10.0)2+2X(9.8-10.0)2+(9.9-10,0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-

10.0)2+2X(10.2-10.0)24-(10.3-10.0)2]=0.036,

S2=^X[(10.0-10.3)2+3X(10.1-10.3产+(10.3-10.3)2+2X(10.4-10.3)2+

2X(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2]=0.04.

(2)由(1)中数据可得7—7=10.3-10.0=0.3,

而+5,2=A/O.（）304,

明显有丁一二?^^成立，所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显

著提高.

思维升华总体离散程度的估计

标准差（方差）反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差（方差）越大，数据的离

散程度越大；标准差（方差）越小，数据的离散程度越小.

跟踪训练3（2024•济宁模拟）甲、乙两名学生参与数学竞赛培训，现分别从他们在培训期

间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次，记录如下:

甲8281797895889384

乙9295807583809085

(1)求两位学生预赛成果的平均数和方差；

(2)现要从中选派一人参与数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参与合适？

请说明理由.

一1

解(1)x甲=言(82+81+79+78+95+88+93+84)=85,

O

—1

X乙=^X(92+95+80+75+83+80+90+85)=85,

O

*122

sfP=1x[(82—85y+(8]_85/+(79-85)+(78—85厂+(95—85尸+(88—85尸+(93-85)

O

+(84—85)2]=35.5,

222

s2=4X[(92-85)2+(95—85)?+(80_85)2_|_(75-85)+(83-85)+(80—85产+(90-85)

0

+(85-85)2]=41.

(2)由(1)知xi|i=x乙，

甲的成果较稳定，所以派甲参赛比较合适.

课时精练

应基础保分练

1.(2024•潍坊模拟)数据1,2,3,4,5,6,7,8,9的第80百分位数为()

A.7B.7.2C.7.5D.8

答案I)

解析因为这组数据已经依据由小到大的依次排列，9X80%=7.2,所以第80百分位数为笫

8个数，即为8.

2.(2024•南京模拟)已知一组数据刘，版，加，苞，加的平均数为2,方差为则另一组数

据3汨一2,3必一2,3刘一2,3乂一2,3照一2的平均数、方差分别为()

[39

A.2,-B.2,1C.4,-D.4,-

答案D

解析因为一组数据汨，乃，照，小，制的平均数为2,方差为:，

所以另一组数据3x1—2,3^—2,3X3—2,3%一2,3照一2的平均数为3X2—2=4,

19

方差为3JX-=-

3.(多选)成立时间少于10年、估值超过10亿美元且未上市的企业称为独角兽企业.2C24年

中国新经济独角兽企业分布较广泛、覆盖居民生活的各个方面.如图为2024年中国新经济独

角兽企业T0P100的行业分布图，在中国新经济独角兽企业T0P100榜单中，京、沪、粤三地

的企业数量共同占比达到70%.下列说法正确的是（）

2022年中国新经济独角兽企业TOPKX）行业分布

InduMryDistribuhonofTopI（MlNewEconomyUnicomEnterprisesinChinain21122

晶14麒题u。电购

企汽车交通光进制造物港KrrttiM电子京等分眩济户“务

11ioio1010<>76

臣令勿心口乂了凝©

ATWffi义战传我公雉生信TJUt件体育运访Wft

4II432222

A.随着智能出行与共享经济观念的普及，汽车交通行业备受投资者关注

B.在该TOP100榜单中独角兽企业数量的中位数是3

C.在中国新经济独角兽企业TOP100榜单中，京、沪、粤三地的企业超过82家

D.2024年中国新经济独角兽企业T0P100榜单中，企业服务、汽车交通、先进制造行业的企

业数量共同占比超过30%

答案AD

解析A选项，由图可知，汽车交通行业在独角兽企业T0P100榜单中数量较多，故A选项正

确；

B选项,数据为11,10,10,10,10,9,7,6,4,4,4,4,3,2,2,2,2,则中位数为4,故B选项不正

确；

C选项，100X70%=70<82,故C选项不正确；

D选项，企业服务、汽车交通、先进制造行业的企业数量共同占比为100%=

31%>30%,故D选项正确.

4.（多选）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教化理念，加强学校体育工作，推动青少年

文化学习和体育熬炼协调发展.某学校对高一年级学生每周在校体育熬炼时长（单位：小时）

进行了统计，得到如下频率分布表：

分组[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]

频率0.250.300.200.25

则下列关于高一年级学生每周体育熬炼时长的说法中正确的是（）

A.众数约为2.5

B.中位数约为3.83

C.平均数为3.95

D.第80百分位数约为5.2

答案BCD

解析对于A,依据频率分布表可得，高•年级学生每周体育熬炼时长的众数为1厂=3.5,

故A错误；

v—3

对于B,设高一年级学生每周体育熬炼时长的中位数为x,则0.25+­乂0.30=0.5,解得

4—3

43.83,故B正确；

对于C,高一年级学生每周体育熬炼时长的平均数为0.25X2.5+0.30X3.5+0.20X4.5+

。.25X5.5=3.95,故C正确;

对于D,因为0.25+0.30-0.20+0.05=0.80,所以高一年级学生每周体育熬炼时长的第80

百分位数约为5+罂=5.2,故I）正确.

5.（多选）第24届冬奥会于2024年2月4日在国家体育场鸟巢实行了盛大开幕式.在冬奥会

的志愿者选拔工作中，某高校承办了面试工作，面试成果满分100分，现随机抽取了8c名候

选者的面试成果并分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则卜列说法正确的是（每组

数据以区间的中点值为代表）（）

频率

组距

b

0.020

0.005^455565

0

758595分数

A.b的值为0.25

B.候选者面试成果的中位数约为69.4

C.在被抽取的候选者中，成果在区间［65,75）之间的候选者有30人

I）.估计候选者的面试成果的平均数约为69.5

答案BD

解析对于A,由（0.005+6+0.045+0.02+0.005）X10=1,解得6=0.025,故A错误；

对于B,设候选者面试成果的中位数为必贝IJ（0.005+0.025）X10+（x-65）X0.045=0.5,

解得x比69.4,故B正确；

对于C,成果在区间［65,75）的频率为0.045X10=0.45,故人数为80X0.45=36,故C错误；

对于D,50X0.005X10+60X0.025X10+70X0.045X10+80X0.02X10+90X0.005X10

=69.5,故D正确.

6.（2024•云南师大附中模拟）依据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为

入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组

样本①，②，③，④，依次计算得到结果如下：

①平均数：<4；

②标准差s<4；

③平均数二<4且极差小于或等于3；

④众数等于5且极差小于或等于4.

则4组样本中确定符合入冬指标的共有（）

A.1组B.2组C.3组【）.4组

答案B

解析①举反例：0,0,0,4,11,其平均数二=3<4,但不符合入冬指标；

②举反例：11,11,11,11,11,其标准差s=0<4,但不符合入冬指标；

③假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3可知，

则此组数据中的最小值为10—3=7,此时数据的平均数必定大于7,与冲突，故假设

错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；

④•・•众数为5,极差小于等于4,・••最大数不超过9,符合入冬指标.

7.一组数据按从小到大的依次排列为2,2,3,乂5,5,若这组数据的中位数为4,则这组数据

的众数为.

答案5

解析因为中位数为4,

所以x=5,

所以这组数据的众数是5.

8.（2024•沧州模拟）已知某样本数据分别为1,2,3,a,6,若样本平均数7=3,则样本方

差s=_______.

14

答案T

0

解析由题设，得：.+2+「小=3,可得a=3,所以体一7）2=?

9.（2024•沧州模拟）某公司支配聃请新员工40名，现有100名应届毕业生应聘，接受先笔

试再面试的方式，笔试结束后，依据笔试成果有60%的人入围面试者名单.这100名应届毕

业生笔试成果的频率分布宜方图如图所示.

(1)求a的值及笔试成果的平均分;

(2)依据频率分布直方图，请预估面试入围分数线(结果保留整数).

解⑴由频率分布直方图知(0.005+0.()10+0.015+2^+0.030)Xl()=l,则a=0.020,

所以平均分为95X0.1+105X0.2+115X03+125X0.2+135X0.15+145X0.05=117.5.

(2)由题意得,入围面试的频率为0.6,

设分数线为〃/,则(120-/〃)X0.03+0.2+0.15+0.05=0.6,解得加=113,

所以预估面试入围分数线为113分.

10.对参与某次数学竞赛的1000名选手的初赛成果(满分：100分)作统计，得到如图所示

的频率分布克方图.

(1)依据直方图完成以下表格;

成果[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数

(2)求参赛选手初赛成果的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)假如从参与初赛的选手中选取380人参与复赛，那么如何确定进入复赛的选手成果?

解(1)填表如下：

成果[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数50150350350100

(2)平均数为55X0.054-65X0.15+75X0.35+85X0.35+95X0.1=78,

方差为(55—78)2X0.05+(65—78)2X0.15+(75~78)2X0.35+(85~78)2X0.35+(95-

78)2X0.1=101.

⑶进入复赛的选手成果为8。+-X10=82：分),

所以初赛成果为82分及以上的选手均可进入复赛.（说明：回答82分以上，或82分及以上

均可）.

0综合提升练

11.（2024•天津模拟）某校排球社的同学为训练动作组织了垫排球竞赛，以下为依据排球社

5（）位同学的垫球个数画的频率分布直方图，全部同学垫球数都在5〜40之间.估计垫球数的

样本数据的第75百分位数是（）

A.17.5B.18.75C.27D.28

答案1)

解析垫球数在区间［5,25)内的人数占总数的(0.01+0.01+0.04+0.06)X5X100%=60%,

垫球数在区间［5,30)内的人数占总数的(0.01+0.01+0.04+0.06+0.05)X5X100%=85%；

075—06

所以第75百分位数位于区间［25,30)内，旦25+5X———=28,

0.85—0.6

所以估计垫球数的样本数据的第75百分位数是28.

12.（2024•上海模拟）若等差数列｛乂｝的公差为3,则汨，出心,…，用的方差为

答案60

解析由等差数列｛叫的公差为3,可知:二二+*；…二—=上要=心，

yriz

I1onon

所以方差5=-［(ATI—A5)^-l-(A2—A5)2H-----1■(照一十5)1=£(16/+9/+4</+d)X2=