2025-2026学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省莆田市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i为虚数单位，i3=(

)A.−i B.i C.−1 D.12.已知一组数据分别为38，41，42，43，44，45，46，47，则这组数据中的第75百分位数是(

)A.44.5 B.45 C.45.5 D.463.在平行四边形ABCD中，点F满足DF=2FC，则(

)A.AF=23AB+AD B.AF4.欧拉公式eix=cosx+isinx(e为自然对数的底，i是虚数单位，x∈R)建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据以上内容，可知e2π3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，则P(A∪B−)=A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.96.已知m，n，l是三条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是(

)A.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

B.若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//β

C.若α∩β=l，n⊂β，n⊥l，则α⊥β

D.若α⊥β，α∩β=1，m//α，m⊥l，则m⊥β7.某沿海城市A附近海面上有一台风，该台风中心位于城市A南偏东30°方向1003km的海面P处，正以10km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为100km的圆形区域，则该城市开始受到台风侵袭的时间为A.2小时后 B.5小时后 C.10小时后 D.15小时后8.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1A.13 B.12 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a+(1−a)i(a∈R)的实部为4，则(

)A.|z|=5 B.z−=−4+3i C.z+z−10.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线BD与B1C所成角为π3

B.B1C⊥平面BC1D1

C.点D到平面11.在△ABC中，AB=2，BC=7，A=π3，且O，H分别为△ABC的外心，垂心，P是边BCA.sinC=217 B.OB⋅BC=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,1)，b=(m,m+1)，其中m∈R，若a⋅b=4，则向量b的模为13.已知圆锥的内切球的体积为32π3，且圆锥侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则内切球的半径为

，圆锥的体积为

．14.某校高一年段举行数学竞赛，复试只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率为p，乙同学答对每题的概率为q(p>q)，且在复试中每人各题答对与否互不影响.已知甲、乙同时答对每题的概率为12，且每题恰有一人答对的概率为512，则复试结束后，两人共答对3道题的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

2026年5月25日，天宫喜团圆！中国航天员完成第8次“太空会师”.某校为了激发同学们对航天的兴趣，举办航天知识竞赛，满分100分.已知高一年级有200名学生参加知识竞赛，成绩均在[50,100]内，将成绩分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求m的值和这200名学生竞赛成绩不低于80分的人数；

(2)从成绩在[70,80)和[80,90)的学生中，用分层随机抽样方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名，求这2名学生成绩在[70,80)和[80,90)内各1人的概率．16.(本小题15分)

如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得A1C=3．

(1)若F是A1C的中点，求证：BF//17.(本小题15分)

在△ABC中，AB=3，A=π3，且△ABC的面积为63．

(1)求BC的长；

(2)设P是边BC上的动点，过P分别作AB，AC的平行线，交AB，AC于M，N，记四边形AMPN的面积为S，求18.(本小题17分)

某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为30的样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的平均数为169，方差为39.如表是抽取的女生样本的数据：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163记抽取的第i个女生的身高为xi(i=1,2,3,…,10)．

(1)求女生样本的平均数x−及方差s2；

(2)用总样本的平均数和标准差估计该校高一学生身高的平均数μ和标准差σ，求μ和σ的值；

(3)若xi∉(x−−2s,x−+2s)，则称xi为离群值.试剔除女生样本数据中的离群值，求剩余女生样本的平均数和方差．

【参考数据】15≈3.9，1592=25281，1692=28561．

【参考公式】总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：19.(本小题17分)

离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P处的离散曲率为ΦP=1−12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+⋯+∠Qk−1PQk+∠QkPQ1)，其中Qi(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体Γ的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，……，平面Qk−1PQk和平面QkPQ1为多面体Γ的所有以P为公共点的面，角用弧度制表示．

(1)1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】513.【答案】264π

14.【答案】51215.【答案】m=0.030；110

3516.【答案】取A1D中点G，连接GF，GE，

因为F，G分别是A1C，A1D的中点，所以GF/​/CD，GF=12CD，

在矩形ABCD中，E是AB的中点，所以BE/​/CD，BE=12CD，

所以BE/​/GF，BE=GF，所以四边形BEGF是平行四边形，

所以BF//GE