2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海中学高一（上）期末数学试卷一、填空题1．在与角终边相同的角中，最大的负角为．2．函数的定义域为．3．已知钝角满足，则．4．已知幂函数是定义域为的偶函数，则实数．5．已知和它的反函数的图像都经过，则．6．已知是奇函数，则实数的值为．7．已知锐角满足，钝角满足，则．8．“”是“”的条件．9．函数的值域为．10．已知函数满足，对任意实数均成立．若（1），（2），则．11．已知存在最小值，则实数的取值范围是．12．已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是．二、选择题13．化为弧度是（）A．180 B． C． D．14．已知定义域为的函数在，上严格增，且其图像关于直线对称．令，，（3）．这三个数的大小关系为（）A． B． C． D．15．已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若（2），则函数在区间，上零点个数的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．916．已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为，考虑如下两个命题：命题甲：若且函数，的最小正周期为，则；命题乙：若且函数，的最小正周期为，则．下列说法中正确的是（）A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题三、解答题17．已知角满足．（1）请判断角属于第几象限；（2）求的所有可能取值构成的集合．18．（1）求函数的所有零点构成的集合；（2）解不等式．19．某产品初始售价为单件100元，初始销量为件．现决定采取降价措施，经市场调研得知：单件降价元后，销量将会是初始销量的倍．假设该产品成本为单件50元，售价必须是正整数且高于成本．（1）请将总利润（单位：元）写成单件售价（单位：元）的函数；（2）当总利润最大时，单件售价为多少元？20．已知函数，的图像关于点成中心对称．（1）求的值；（2）求函数的单调区间并指出在每一个单调区间上函数的单调性；（3）若对任意都有成立，求实数的取值范围．21．若函数和的定义域均为，且对任意两个不同的实数，均有（a）（b）或（b）（a）成立，则称和为一对相关函数．（1）判断函数，，中有多少对相关函数并列出（无需说明理由）；（2）已知函数和是一对相关函数，求实数的取值范围；（3）小菲说：“对任何一对相关函数和，只要存在正实数使得对任意实数恒成立，我都一定能找到一个正整数使得对任意，均有”，请判断小菲说法的正误并进行证明．

参考答案一、填空题1．．2．且．3．．4．2．5．．6．．7．．8．必要不充分．9．，．10．1．11．，．12．．二、选择题13．．14．．15．．16．．三、解答题17．解：（1）由，得在第一或第二象限，即，，故，，当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，因此，属于第一或第三象限．（2）设，，整理得，解得，即或，因此，的所有可能取值构成的集合为．18．解：（1）令得，，当时，，即，等式成立，所以是函数的一个零点，当且时，由指数函数的单调性可知，，解得或2，综上所述，函数的所有零点构成的集合为，2，；（2）由不等式，可得，解得或，所以不等式的解集为，，．19．解：（1）由题意，，销量，所以总利润，是正整数）；（2），是正整数），则，由，解得，，是正整数时，，函数单调递增，，是正整数时，，函数单调递减，，所以单件售价为75元或76元时，总利润最大．20．解：（1）函数的图像关于点成中心对称，所以，所以；（2）由（1）得，令，则，易得为奇函数且时有定义，先考虑时的单调性，在上单调递增，上单调递减，根据奇函数的对称性可得，在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；（3）若对任意都有成立，因为，所以，令，又，，，因为．则，解得不存在．实数的取值范围为．21．解：（1）函数，，中有3对相关函数，即函数与是相关函数对；函数与是相关函数对；函数与是相关函数对；若与不为相关函数对，则（a）（b）且（b）（a），则（a）（b）（b）（a），所以只要（a）（b）（b）（a）即可，当，时，（a）（b）（b）（a），所以函数与是相关函数对；当，时，（a）（b）（b）（a），所以函数为与是相关函数对；当，时，（a）（b）（b）（a），所以函数与是相关函数对；（2）因为与为相关函数对，所以，所以恒成立，所以，又因为，因为，所以，所以，即实数的取值范围为，；（3）小菲说法正确，证明如下：假设对任意正整数，都存在，，均有