陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的)1．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将数据“0.000000698”用科学记数法表示为()A．0.698−7 B．C．0.698×10−7 2．在下列各数：0.05005000500005…(相邻两个5之间依次增加一个0)，49100,0.2，1x，7131A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择()A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm4．当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图).已知液面与底面平行，∠1=80°，∠2=40°，则∠3的度数为()A．30° B．40° C．50° D．70°5．如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H.作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q.作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是()A．12 B．13 C．146．如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，且(CD=63A．36 B．33 C．66 D．637．某款纯电动汽车采取快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池含电随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是()A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%C．本次充电持续时间是120分钟D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，将△BDC沿CD折叠，点B的对应点E恰好落在AC边上.已知BC=6，AE=2，则DE的长为()A．187 B．247 C．307二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分)9．如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是.10．81的平方根为．11．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m到一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为12m，那么河的宽度是m.12．已知x+y2=30,x−y13．在△ABC中，AB=AC，D、E分别是边AB、AC的中点，CD和BE相交于点O.如果点O到边BC的距离为2，BC=16，那么AB的长为.14．如图，点D，点E，点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，若AB=5xcm，BC=12xcm，AC=13xcm，则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：.三、解答题(共12小题，计78分.解答应写出过程)15．计算：（1）3+（2）216．先化简，再求值：2x−y2+2x17．如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P，使得∠BPC=2∠A.18．如图，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AE=CF，DE=BF，求证：∠A=∠C.19．小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，(若石子落在图形ABC以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如下表：石子落在圆内(含圆周上)的次数m144396153……石子落在阴影内(含外边界)的次数n2391186300……m：n0.610.470.520.51……请根据以上信息，解答以下问题：（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m/n的值越来越接近(结果精确到0.1)；（2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆周上)的频率稳定在附近(结果用分数表示)；（3）根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积(结果保留π).20．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边上，EF与GD的延长线交于点H，∠1=∠B，∠2+∠3=180°.（1）求证：EH∥AD；（2）若∠DGC=58°，且∠H-∠4=10°，求∠H的度数.21．阅读并回答问题：为了化简a±2b,我们尝试找到两个数m、n，使m2+n2=a且mn=b,例如，5+2所以5+2请仿照上例化简下列根式.（1）4+23=；19−4（2）计算：13+222．如图，在四边形ABCD中，AB=9，BC=12，CD=17，AD=8，∠B=90°.（1）连接AC，求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积.23．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.（1）求∠PAQ的度数（2）若△APQ的周长为12，BC长为8，求PQ的长.24．某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准：计费档户月用电量x/(kW·h)单价/[元/(kW·h)]第一档0＜x≤1700.5第二档170<x≤2600.6第三档x>2600.8（1）当170<x≤260时，写出电费y(单位：元)与用电量x之间的表达式；（2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量.25．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m(即CB=3m)，如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.（1）求秋千AD的长度；（2）当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m(即CM=4m)，如图2求此时踏板离地的垂直高度MN为多少?26．问题发现：（1）如图①，线段AB=5，点P为平面内任意一点，连接PA，PB，则|PA-PB|的最大值为.（2）问题探究：如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，AC=BC=6，BD=DE=2，点E在AB上，连接CD，点M、N分别为AE、CD的中点，求MN的长度.（3）问题解决：在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BDE绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接AE，取AE的中点M，连接CM.请问CM−1

答案解析部分1．【答案】B【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数【解析】【解答】解：0.故答案为：B.【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时2．【答案】B【知识点】无理数的概念；求算术平方根【解析】【解答】解：0.491000.1π中π是无限不循环小数，因此17开方开不尽，是无理数；13111327综上，无理数共有3个．故答案为：B.【分析】先化简491003．【答案】C【知识点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵两根木棒长5cm和9cm，∴第三边x需满足：9−5<x<9+5，即4<x<14，所以，选项中，A、B、D不满足4<x<14，只有C满足4<9<14，故选：C．【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可.4．【答案】B【知识点】两直线平行，内错角相等【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，∴∠1=∠2+∠3∵∠1=80°，∠2=40°，∴∠3=∠1−∠2=80°−40°=40°故选：B．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠2+∠3，据此解答即可．5．【答案】C【知识点】几何概率；探索规律-图形的递变规律【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∵取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形EFGH，∴AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG，∴S同理得：S△EMQ∴依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的14∴将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是：14故选：C．【分析】根据题意得到S△AEH=S6．【答案】D【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：连接AP，∵CD⊥AB，PM⊥AB，PN⊥AC，∴S△ABC=12∵S∴1∵AB=AC，∴1∴CD=PM+PN，∵CD=63∴PM+PN=63故答案为：D.【分析】连接AP，根据S△ABC7．【答案】D【知识点】通过函数图象获取信息【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩10%B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从0%到100%的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，∴10%到90%的电量变化对应的耗电量为70×故选：D.【分析】由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可.8．【答案】C【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过D作DM⊥BC于点M，作DN⊥AC于点N，∴∠DNE=∠CND=90°，∠BMD=∠AMD=90°，由折叠性质可知，∠BCD=∠ECD=12∠ACB=45°∴BD=DE，∴∠MCD=∠MDC=∠NCD=∠NDC=45°，AC=CE+AE=6+2=8，MD=DN，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=A设BD=DE=x，点C到AB得距离为h，则AD=AB−BD=10−x，∴S△BCD=1∴6DM=xh，8DN=(10−x)h，即DM=xh6，∴xh6解得：x=30∴DE=30故选：C．【分析】过D作DM⊥BC于点M，作DN⊥AC于点N，由折叠可得∠BCD=∠ECD=12∠ACB=45°，BC=CE=6，BD=DE，再根据角平分线的性质可得BD=DE，利用勾股定理求出AB长，设BD=DE=x，点C到AB得距离为h，即可得到AD=10−x，再利用等面积法求得DM=xh69．【答案】同位角相等，两直线平行【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线【解析】【解答】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．

故答案为：同位角相等，两直线平行．

【分析】利用同位角相等，两直线平行解答即可．10．【答案】±3【知识点】平方根【解析】【解答】解：8l的平方根为±3．故答案为：±3．【分析】根据平方根的定义即可得出答案．11．【答案】12【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：由题意可知BC=CD=20 m，∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=∠DCE，∴△ABC≌△EDC(ASA)，∴AB=DE=12 m，故答案为12．【分析】根据ASA得到△ABC≌△EDC解答即可．12．【答案】6【知识点】完全平方公式及运用【解析】【解答】解：∵(x+y)2∴x2+2xy+y∴4xy=24，∴xy=6，故答案为：6．【分析】两个等式利用完全平方公式展开求差解答即可．13．【答案】10【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用【解析】【解答】解：连接AO并延长交BC于点F，∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴CD、BE是△ABC的中线，∴点O是△ABC的重心，∴AF是△ABC的中线，∵AB=AC，∴AF⊥BC，BF=CF=1∵点O到边BC的距离为2，∴OF=2，∵点O是△ABC的重心，∴AO=2OF=4，∴AF=AO+OF=4+2=6，∵BC=16，∴BF=1在Rt△ABF中，由勾股定理得AB=A故答案为：10.【分析】根据三角形中线得到点O为△ABC的重心，即可得到AF是△ABC的中线，根据重心的性质得到AF=6，BF=8，然后根据勾股定理解答即可．14．【答案】y=【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；用关系式表示变量间的关系；分类讨论【解析】【解答】解：∵AB=5xcm，BC=12xcm，AC=13xcm，∴AB∴∠B=90°．∵点D，点E，点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，求DE+DF+EF的最小值y与x的关系式，∴点D、E、F有两点重合在△ABC的某个顶点处．①点D、F在点A处，∵点A到BC的最小距离为AB，∴点E在点B处．∴DE+DF+EF=2AB．②点D、E在点B处，作BM⊥AC于点M．∵点B到AC的最小距离为BM，∴点F在点M处．∴DE+DF+EF=2BM．③点E、F在点C处，∵点C到BA的最小距离为CB，∴点D在点B处．∴DE+DF+EF=2CB．∵BC>AB>BM．∴DE+DF+EF的最小值为2BM．∵S△ABC∴BM=5x⋅12x∴DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：y=120故答案为：y=120【分析】根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，可得点D、E、F有两点重合在△ABC的某个顶点处．分为三种情况，作图，根据垂线段最短得到当D、E在点B处，作BM⊥AC于点M，BM最短，它的长度即为DE+DF+EF的最小值．r然后根据面积法求出与x的关系式即可．15．【答案】（1）解：3+=9+6=9+6=5.（2）解：2===6−=6+【知识点】二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式，乘法分配律展开，然后合并同类二次根式即可；

（2）先运算二次根式的乘除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.16．【答案】解：2=4=4=−8xy当x=3，y=−1原式=−8×3×(−1【知识点】多项式除以单项式；利用整式的加减运算化简求值【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开化简，再代值计算即可.17．【答案】解：如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点P，则P点即为所求，∵PB=PA，∴∠PBA=∠A，∵∠BPC=∠A+∠ABP=2∠A【知识点】尺规作图-垂直平分线【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线交AC于点P，连接BP，即可求解.18．【答案】证明：∵DE=BF，∴DE+EF=BF+EF，∴DF=BE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFD=∠AEB=90°，又∵∠A=∠C，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠A=∠C.【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系【解析】【分析】根据SAS得到△ABE≌△CDF，即可根据全等三角形的对应角相等证明即可.19．【答案】（1）0.5（2）1（3）设封闭图形的面积为a，根据题意得π×解得a=3π，则3π−π×1答：阴影部分的面积为2π平方米.【知识点】频数与频率【解析】【解答】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，mn的值越来越接近0.5（2）解：观察表格得：1414+23随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在13左右；

【分析】（1）根据表格中数据，得到m，n的比值接近的数即可；（2）经过大量重复试验时，计算小石子落在圆内(含圆周上)的频率解答即可；（3）利用概率得到圆的面积与总面积的比值，然后求出阴影部分面积即可．20．【答案】（1）证明：∵∠1=∠B，∴AB∥GD(同位角相等，两直线平行)，∴∠2=∠BAD(两直线平行，内错角相等)，∵∠2+∠3=180°，∴∠BAD+∠3=180°，∴EH∥AD；（2）解：∵EH∥AD，∴∠2=∠H(两直线平行，同位角相等)，∵∠2=∠BAD，∴∠H=∠BAD，(等量代换)∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°，∵∠H-∠4=10°，∴2∠4+10°=58°，∴∠4=24°，∴∠H=34°【知识点】平行线的判定与性质【解析】【分析】（1）首先根据同位角相等，两直线平行得到AB∥GD，即可得到∠2=∠BAD，再根据等量代换得到∠2+∠3=180°，根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；（2）首先根据两直线平行，同位角相等得到∠2=∠H，等量代换得到∠H=∠BAD，进而得到∠H+∠4=58°，根据解方程组求出∠H的度数即可.21．【答案】（1）3+1；（2）解：原式==【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算【解析】【解答】（1）解：4+23=(3+1)2=3+1，

解：19−4（2）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，利用分母有理化计算，然后加减解答即可．22．【答案】（1）∵AB=9，BC=12，∠B=90°，∴AC=（2）∵CD=17，AD=8，AC=15，∴A∴A∴△ACD是直角三角形，且∠CAD=90°，∴===114【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC长即可；（2）利用勾股定理的逆定理得到∠CAD=90°，再根据S四边形ABCD23．【答案】（1）设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP=PB，AQ=CQ，∴∠B=∠BAP=x+z，∠C=∠CAQ=x+y，∵∠BAC=80°，∴∠B+∠C=100°，即x+y+z=80°，x+z+x+y=100°，∴x=20°，∴∠PAQ=20°（2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP=12，∵AQ=CQ，AP=PB，∴CQ+PQ+PB=12，即CQ+BQ+2PQ=12，BC+2PQ=12，∵BC=8，∴PQ=2【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角【解析】【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，利用线段垂直平分线的性质可得AP＝PB，AQ＝CQ，然后根据等边对等角得到∠B＝x+z，∠C＝x+y，然后根据三角形内角和解答即可；

（2）根据△APQ的周长得到CQ+PQ+PB=12，即可得到BC+2PQ＝12，求出PQ的长即可．24．【答案】（1）由题意得，当170<x≤260时，y=0.5×170+0.6(x-170)=0.6x-17，（2）∵170×0.5+0.6×(260-170)=85+54=139>127，∴170<x≤260，设用电量为xkW·h，由题意得，170×0.5+0.6×(x-170)=127，解得x=240，答：某户12月的电费是127元，该户12月的用电量为240kW·h.【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题【解析】【分析】（1）根据总电费为前170kW·h的费用和第二档超出的用电量费用的和解答即可；（2）先得到127元落在第二档，然后令y=127，解方程求出x的值解答即可．25．【答案】（1）解：由题意知BF=1.8m，BC=3m，DE=0.8m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，∴CE=BF=1.8m，∴CD=CE-DE=1.8-0.8=1(m)，∵BC⊥AC，∴∠ACB=90°，设秋千的长度为xm，则AB=AD=xm，AC=AD-CD=(x-1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得A即x−1解得x=5，即秋千AD的长度是5m；（2）在Rt△ABC中，BC=4m，AB=5m，∴由勾股定理得AC=3m，∵AD=5m，∴CD=AD-AC=5-3=2m，∴CE=CD+DE=2+0.8=2.8m，∴BF=2.8m，即此时踏板离地的垂直高度为2.8m.【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质【解析】【分析】（1）设秋千的长度为xm，在Rt△ABC中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；（2）在Rt△ACM中，根据勾股定理即可求出AC的长，然后根据线段的和差解答即可.26．【答案】（1）5（2）解：如上图所示，连接DM并延长使D'M=DM，连接CD'，

∵M是AE中点∴AM=EM在△DEM和△D'AM中DM=∴△DEM≌△D'AM(SAS)∴DE=AD'，∠DEM=∠D'