浙江省杭州市西湖区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题

浙江省杭州市西湖区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1．当x=5时，二次根式x−1A．1 B．2 C．3 D．42．方程x2A．x=2 B．x=0 C．x1=0,x3．下列各式运算正确的是()A．8+2=10 B．8−24．甲、乙、丙、丁四名跳远运动员最近几次选拔赛的平均成绩(单位：米)和方差(单位：米2)如图所示，根据图中信息，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知x1，x2是一元二次方程x2−5xA．13 B．-13 C．3 D．-36．已知1班和2班人数相等，统计一次“古诗词大赛”中两班同学积分，绘制箱线图如图所示.下列说法一定正确的是()A．1班成绩比2班成绩集中 B．1班有同学的成绩超过120分C．2班成绩的下四分位数是80分 D．1班的平均分高于2班的平均分7．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷.某公司生产的一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x，可列出的方程为()A．1601−x2C．1601−2x28．如图，等边三角形ABC绕点C顺时针旋转α度后所得的图形与原图形关于某一点成中心对称，则旋转角度α可以是()A．60° B．90° C．120° D．150°9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AO=CO，BO=DO，()A．若AC=AD，则四边形ABCD是菱形B．若AC=BD，则四边形ABCD是正方形C．若AO=DO，则四边形ABCD是矩形D．若AO⊥DO，则四边形ABCD是正方形10．“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成.如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点AB，CD，则线段CD的长是()A．13 B．25 C．21 D．二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11．化简12=12．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，点E在AB上，PE⊥AB，若PE=2，则点P到AD的距离为.13．若关于x的一元二次方程x2+3x14．如图，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH.若AC=BD=6，AC⊥BD，则线段EG的长为.15．一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数m后平均数不变，则m=；这组新的数据的方差为.16．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折得到△CB'E，B'E与B'C分别交AD于点G，H，若GA=GB'，CD=6，BC=9，则线段AE的长为.三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．计算：（1）3（2）−18．某校组织八年级学生开展科技创新素养比赛，参赛学生需参加理论、操作、答辩三项测试，并把三项测试成绩按照一定的比例折算成总评成绩.现从八年级1班和2班各随机抽取10名学生的理论成绩进行统计(单位：分).1班：82，80，95，80，90，70，60，80，65，98；2班：90，70，60，90，90，98，82，90，70，60.将以上两组数据进行整理，如表1：表1班级平均数中位数众数1班8080a2班80b90表2选手测试成绩/分理论操作答辩方方829096圆圆859090根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a=，b=.（2）方方是被抽取的20名学生中的一员，他说：“我的理论成绩是82分，超过了本组一半以上的同学”，由此可判断他是班的学生(填“1”或者“2”).（3）方方和圆圆的三项测试成绩如表2所示，若将理论、操作、答辩三项测试成绩按5：3：2的比例折算成总评成绩，请通过计算比较方方和圆圆谁的总评成绩高.19．已知关于x的一元二次方程x（1）当k=4时，求该方程的根.（2）甲说：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根；乙说：无论k为何值，方程至少有一个整数根.请选择其中一人的说法进行判断，并说明理由.(若选择两个人的说法分别作答，以第一个计分)20．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径画圆弧分别交AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于12（1）求证：AB=AP.（2）求△DHP周长.21．新定义：如果两个含有二次根式的代数式a，b满足a·b=c，且c是有理数，那么我们称a与b是关于c的“友好二次根式”.例如：a=3+2,b=3（1）若23与3是关于n的“友好二次根式”，求n的值.（2）若p与7−（3）若2+3与6+22．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，CE平分∠ACD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.（1）求证：BC=BE.（2）求S△BDF23．小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米.（1）如图①，当AD≤MN时，①AD=▲米(用含x的代数式表示).②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB的长.（2）如图②，当AD>MN时，养蜂场的面积是否可以达到70平方米?请说明理由.24．综合与实践【问题情境】如图1，在菱形ABCD中，点E在BC边上，AE⊥BC，点F在CD上，AF⊥CD.（1）【初步探究】求证：AE=AF.（2）【深入探究】将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转得到△AB'E'，点B，E的对应点分别为点B'，E'.①如图2，当线段AB'经过点C时，直线B'E'分别与边CD，AD交于点P，Q，求证：B'C=DQ.②已知BE=12，CE=1，在旋转过程中，AB'交BC于点H，AE'所在直线交CD于点K，延长AE交B'E'于点R，若AH=AK，请在图3中画出示意图并求线段ER的长.

答案解析部分1．【答案】B【知识点】求二次根式的值【解析】【解答】解：当x=5时，x−1=即当x=5时，二次根式x−1的值为2．故答案为：B.【分析】将x的值代入，计算二次根式的值即可．2．【答案】C【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：由x2=2x得x2−2x=0，

即x(x−2)=0，故选：D．【分析】先移项，然后提公因式x，分解因式解方程即可．3．【答案】C【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法【解析】【解答】解：A、8+B、8−C、8×D、8÷故选：C．【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．4．【答案】D【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）【解析】【解答】解：根据图中信息，四人中成绩好的是丙和丁，∵丁的方差较小，∴选择丁参加比赛．故答案为：D.【分析】先比较平均数，平均数大的成绩更好；再比较方差，根据方差小的成绩稳定解答即可．5．【答案】A【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【解析】【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程∴x1+x∴x1故答案为：13.【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x26．【答案】B【知识点】箱线图【解析】【解答】解：对于A，观察图形可知，1班的极差和四分位距（箱体长度）均大于2班，说明1班成绩比2班成绩分散，故A错误；对于B，1班成绩的最大值（上须顶端）在120分与140分之间，说明1班有同学的成绩超过120分，故B正确；对于C，观察图形可知，2班成绩的下四分位数（箱体下沿）略高于80分，故C错误；对于D，箱线图主要反映数据的中位数、四分位数及极差等，无法直接确定平均数的大小，故D错误．故答案为：B.【分析】根据箱线图的特征，分析两班成绩的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值以及数据的离散程度解答即可．7．【答案】B【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x，依题意，得：160(1+x)故答案为：B.【分析】设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为x，根据“一款扫地机器人2023年的销售量为160万台，到2025年销售量达到220万台”列一元二次方程即可．8．【答案】A【知识点】旋转对称图形；中心对称的性质【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AB，∠ACB=∠BAC=60当α=60∘时，点B绕点C顺时针旋转∵∠ACB=60∘且∴点B的对应点B'与点A重合点A的对应点为A∴CA=CA'，∴∠BAC=∠ACA∴AB∥CA∵AB=AC=CA∴四边形ABA∴△ABC与△A'B'C故α=60∘当α=90∘时，点B绕点C顺时针旋转当α=120∘时，点B绕点C顺时针旋转当α=150∘时，点B绕点C顺时针旋转故答案为：A.【分析】根据中心对称的性质得到旋转前后对应线段平行且相等，利用等边三角形的性质逐一验证解答即可．9．【答案】C【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定【解析】【解答】解：∵AO=CO，BO=DO，即对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．A选项，若AC=AD，无法推出平行四边形ABCD满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，A错误；B选项，若AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不是正方形，B错误；C选项，若AO=DO，则AC=2AO=2DO=BD，即平行四边形对角线相等，对角线相等的平行四边形是矩形，C正确；D选项，若AO⊥DO，对角线垂直的平行四边形是菱形，不是正方形，D错误．故答案为：C.【分析】先根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，然后根据菱形、正方形和矩形的判定定理逐项判断即可．10．【答案】D【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；勾股树模型【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于点F，由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和，∴AC为边长的正方形面积为S①+S②=2+7=9，边长AC=9=3∵图形由正方形和直角三角形构成，∴AE=DE，∠AED=∠ACE=∠F=90°，∴∠EDF=∠AEC=90°−∠FED，∴△ACE≌△DFE(AAS)，∴AC=EF=3，CE=DF=2，∴CF=CE+EF=3+2=5，∴Rt△CDF中，CD=C故答案为：D.【分析】根据勾股树的特征求出中间两个正方形的面积及边长，过点D作DF⊥CE交CE的延长线于点F，然后根据AAS得到△ACE≌△DFE，即可得到AC=EF=3，CE=DF=2，然后根据勾股定理解答即可．11．【答案】2【知识点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：12=4×3=4×3=23。

故答案为：【分析】根据二次根式乘法法则的逆用即可化简。12．【答案】2【知识点】角平分线的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：如图，过点P作PF⊥AD于点F，∵四边形ABCD是菱形，且点P在对角线AC上，∴AC平分∠BAD，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF=PE=2，即点P到AD的距离为2．故答案为：2.【分析】过点P作PF⊥AD于点F，根据菱形的性质，利用角平分线的性质解答即可．13．【答案】−【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴Δ=3解得k=−9故答案为：−9【分析】根据方程根的情况得到Δ=b14．【答案】3【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：连接EF，FG如图∵点E，F分别是边AB,∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，EF=1同理FG是△BCD的中位线，∴FG∥BD，FG=1∵AC⊥BD，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG∴∠EFG=90°在Rt△EFG中，EG=E故答案为：32【分析】根据三角形中位线定理求出EF,15．【答案】4；3【知识点】平均数及其计算；方差【解析】【解答】解：∵一组数据2，2，4，5，7，若加入一个数m后平均数不变，∴2+2+4+5+75解得m=4；这组新的数据的方差为s2故答案为：4，3.【分析】先根据平均数的定义求出m的值，然后利用方差公式计算即可．16．【答案】1【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；矩形翻折模型；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，CD=6，BC=9，∴∠A=∠B=∠D=90由折叠性质可知△CBE≅△CB∴CB∵GA=GB∴△AEG≌△B∴AE=B设AE=x，AG=y，则AE=B'H=x，BE=∴EG=HG=B'E−∴DH=AD−AG−GH=9−y−(6−x−y)=3+x，在Rt△CDH中，DH∴(3+x)2解得x=1.即线段AE的长为1.故答案为：1.5.【分析】根据矩形和折叠的性质，根据ASA得到△AEG≌△B'HG，即可得到AE=B'H,EG=HG，设AE=x，17．【答案】（1）解：3==6−3=3；（2）解：(−=5−[−(1−=5+1−=6−5【知识点】二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法立方根，然后加减解答即可；（2）根据二次根式的性质化简，计算绝对值，然后加减解答即可．18．【答案】（1）80；86（2）1（3）解：方方的总评成绩为：82×5+90×3+96×25+3+2圆圆的总评成绩为：85×5+90×3+90×25+3+2∵87.∴圆圆的总评成绩更高．【知识点】加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数【解析】【解答】（1）解：1班成绩中80出现了3次，出现次数最多，因此众数a=80；将2班成绩从小到大排序为：60，60，70，70，82，90，90，90，90，98，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，因此b=82+902=86；

故答案为：80，86；

（2）解：∵1班的中位数为80分，2班的中位数为86分，方方理论成绩为82分，满足82>80∴方方的成绩超过本班一半以上同学，可判断他是1班的学生；

故答案为：1；【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可；

（2）根据1班和2班的中位数解答即可；

（3）计算方方和圆圆的加权平均数，然后比较大小解答即可.19．【答案】（1）解：将k=4代入方程x2−(k+1)x+k=0得因式分解得(x−1)(x−4)=0，∴x−1=0或x−4=0，解得x1=1，（2）解：选择甲的说法进行判断：甲的说法错误，理由如下：对x2−(k+1)x+k=0，因式分解得∴x−1=0或x−k=0，解得x1=1，当k=1时，x1选择乙的说法进行判断：乙的说法正确，理由如下：对x2−(k+1)x+k=0，因式分解得∴x−1=0或x−k=0，解得x1=1，∴无论k取任何值，x1∴无论k为何值，方程至少有一个整数根，故乙的说法正确．【知识点】因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数【解析】【分析】（1）把k=4代入得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可；

（2）选择甲：先解方程求出两根，然后根据相等的实数根求出k的值；选择乙：解方程求出x的值然后判断根的情况解答即可.20．【答案】（1）证明：根据作图过程可知：BG平分∠ABC．∴∠ABP=∠CBP．∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠CBP=∠APB．∴∠ABP=∠APB．∴AB=AP．（2）解：在平行四边形ABCD中，AD=BC,∴∠ABP=∠H．∵∠ABP=∠APB,∴∠H=∠HPD．∴DH=DP．∵AD=BC=6,∴DP=DH=2．在平行四边形ABCD中，∵∠ABC=60°，∴∠ADC=60°．∴∠H=∠HPD=30°．过点D作DM⊥PH于点M，

∴DM=1∴PM=D∵DH=DP,∴PH=2PM=23∴△DHP的周长为DP+DH+PH=2+2+23【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线【解析】【分析】（1）根据作图得到BG平分∠ABC，再根据平行四边形的性质可即可得到∠ABP=∠APB，根据等角对等边证明即可；（2）先根据平行四边形的性质得到DP=DH=2，过点D作DM⊥PH于点M，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出PH长，即可求出周长．21．【答案】（1）解：由“友好二次根式”的定义得n=23（2）解：由“友好二次根式”的定义得p⋅(7∴p=4（3）解：由“友好二次根式”的定义得(2+3展开并整理左边：(12+3m)+(2m+6)3∵m是有理数，3是有理数，3是无理数，∴12+3m=32m+6=0解得m=−3．【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算【解析】【分析】（1）根据新定义判断即可；

（2）根据“友好二次根式”的定义列式，然后进行分母有理化解答即可；

（3）由“友好二次根式”的定义列式展开合并，然后根据对应系数相等求出m的值解答即可.22．【答案】（1）证明：∵在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∴∠OBC=∠OCB=45°=∠OCD，∵CE平分∠ACD，∴∠OCE=∠DCE=1∴∠BCE=∠OCB+∠OCE=45°+22.∴∠BEC=180°−∠OBC−∠BCE=180°−45°−67.∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE；（2）解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，∴∠DHE=90°，∵在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∴∠ODC=45°，∠BAD=∠ADC=90°，AB=CD，AD∥BC，∴S△BDF=1∠DEH=90°−∠EDH=90°−45°=45°=∠EDH，∴EH=DH，∴DE=E∵AD∥BC，∠BEC=∠BCE，∴∠DEF=∠BEC=∠BCE=∠DFE，∴DF=DE=2∴S∴S△BDFS△CDE【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和角平分线的定义可得∠OBC=∠OCB=45°=∠OCD，即可得到∠OCE=∠DCE=22.5°，然后根据角的和差和三角形的内角和求得（2）过点E作EH⊥CD于点H，根据正方形的性质，利用三角形的面积公式得到S△BDF=12DF⋅CD=S△CDF，S23．【答案】（1）①(22-2x)

②解：依题意，得：(22−2x)x=56，解得：x1=4，当x=4时，22−2x=22−2×4=14>10，不符合题意，舍去；当x=7时，22−2x=22−2×7=8<10，符合题意，∴AB的长为7米；（2）解：养蜂场的面积不能达到70平方米．理由如下：假设养蜂场的面积可以达到70平方米，∵AB长为x米，∴BC=20+2+10−2x依题意，得：(16−x)x=70，整理得：x2∵Δ=(−16)∴原方程没有实数根，∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到70平方米．【知识点】一元二次方程的应用-几何问题【解析】【解答】解：（1）①依题意，得：AD=BC=20+2−2x=(22−2x)（米）；

故答案为：(22-2x)；

【分析】（1）①利用“AD的长=木栏总长+门的宽度−2×AB的长”列式即可；

②根据“围成的养蜂场面积为56平方米”列关于x的一元二次方程，求出x的值并检验即可；（2）假设养蜂场的面积可以达到70平方米，由AB长为x米，可得出BC长为(16−x)米，根据“题意列方程，整理为一般式，由根的判别式Δ=−24<0，可得出原方程根的情况解答即可．24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=90°=∠AFD，在△ABE和△ADF中，∠B=∠