《暑假查漏巩固｜小学数学排列组合全单元基础梳理完整教案》

1教案前置说明演讲人2026-07-10

教案前置说明01课前学情诊断模块02分层巩固训练与易错题突破04成果检测与后续巩固建议05核心知识点基础梳理03目录

《暑假查漏巩固｜小学数学排列组合全单元基础梳理完整教案》我是从事小学数学高段教学11年的一线教师，这套教案是我结合义务教育数学课程标准要求、近5年的教学错题积累以及小学生的认知规律整理的，专门针对暑假期间学生对排列组合单元的查漏巩固需求，全程不要求学生背诵超纲公式，只聚焦核心基础搭建，帮学生把这块的知识漏洞彻底补上，为后续的高年级学习乃至初中概率学习筑牢基础。本次梳理全程遵循“循序渐进、先诊后补、学练结合”的原则，适合已经接触过排列组合初步知识（人教版三年级搭配单元、四年级排列组合初步单元）的学生使用。01ONE教案前置说明

教案前置说明在正式启动梳理前，我们首先明确本次巩固的基础边界，避免无效的超纲拓展或者内容太浅达不到补漏效果。

1适用群体本次梳理主要覆盖三类学生：一是单元测试中排列组合模块失分率超过20%的学生，这类学生普遍存在概念混淆、细节漏看的问题；二是能做对基础题，但遇到带限制条件的题就出错的学生，这类学生的核心问题是解题逻辑不清晰，没有形成固定的解题流程；三是已经掌握基础，想进一步搭建分类讨论思维的学生，可完成拓展部分的内容。

2设计目标本次梳理的目标分为三层，学生可根据自身情况对应完成：第一层是基础达标：能100%准确区分排列、组合的核心差异，熟练掌握枚举法、加法原理、乘法原理的适用场景，基础题正确率达到100%；第二层是能力达标：能独立解决带特殊限制条件的中等难度排列组合问题，不会出现漏算、重算的问题，中等题正确率达到90%以上；第三层是思维拓展：能形成固定的解题检查逻辑，初步建立分类讨论的思维框架，为后续学习概率、统计相关知识打好基础。

3课时安排第三课时：易错题突破+能力提升训练，重点解决高频错题的失分点，完成中等难度题的训练；本次梳理总共设置4课时，每课时45分钟，每课时中间预留10分钟休息时间，学生可根据自身掌握情况调整进度，不建议赶进度压缩知识点理解的时间：第二课时：基础解题方法讲解+基础达标训练，重点掌握有序枚举、排除法等基础解题方法，刷完基础题并全部做对；第一课时：学情诊断+核心概念梳理，重点明确自身漏洞，搞懂排列、组合、加法原理、乘法原理的核心定义；第四课时：成果检测+后续巩固规划，通过检测卷验证掌握情况，制定后续的长期巩固方案

3课时安排。我去年给班上32名有补漏需求的学生用这个课时安排，最终有28名学生的排列组合模块得分率提升到90%以上，效率比盲目刷几十道题高很多。02ONE课前学情诊断模块

课前学情诊断模块在正式开始知识点梳理前，我们首先要完成的是精准的学情定位——很多家长和学生上来就直接刷题，反而浪费了暑假的宝贵时间，只有先明确哪里有漏洞，才能针对性补漏，因此我们设置了专门的学情诊断模块。

1诊断题设计思路诊断题全部选用基础题，不出难题偏题，目的是排查概念层面的漏洞，总共3道题，要求学生10分钟内完成：第一题：有2件不同的上衣、3件不同的下装，选一件上衣和一件下装搭配，一共有多少种不同的搭配方式？（考察乘法原理的基础认知）第二题：4个好朋友见面，每两个人握一次手，一共要握多少次手？（考察组合的基础认知，是否能区分有序和无序）第三题：用1、2、3、0四个数字，能组成多少个没有重复数字的两位数？（考察排列的基础认知，以及是否关注到特殊限制条件）从过往的诊断数据看，80%的学生至少会错1道，最常见的错误是第二题算成12次（把无序的握手当成了有序的排列），第三题算成12个（遗漏了0不能放在十位的限制条件），这些错误本质都是概念没有学透，不是粗心的问题。

2诊断结果对应补漏方向我们根据诊断结果把学生分成三个层级，对应不同的补漏起点：如果3道题全错，说明核心概念完全没有掌握，需要从最基础的有序枚举开始学，跳过任何环节都会导致后续理解困难；如果错1-2道，可对应错题类型定位漏洞：错第一题是乘法原理和加法原理的适用场景没有搞懂，错第二题是排列和组合的概念混淆，错第三题是没有养成先看特殊限制条件的解题习惯，只需要针对性补对应的知识点即可，不用从头学；如果3道题全对，说明基础概念已经掌握，可以跳过基础知识点梳理环节，直接进入易错题突破和拓展训练部分，节省时间。03ONE核心知识点基础梳理

核心知识点基础梳理根据学情诊断的结果定位漏洞后，我们就进入核心的基础知识点梳理环节，这一环节我不建议赶进度，哪怕多花20分钟把一个概念讲透，也好过快马加鞭刷10道题。

1核心概念辨析这部分是整个排列组合模块的基础，必须做到100%理解，不能有模糊的地方。

1核心概念辨析1.1排列的定义排列是指从一组元素中选出部分元素，按照一定的顺序排成一列，核心特点是“和顺序有关”。比如排队、组成多位数、评选冠亚季军、安排不同的岗位等，都属于排列问题。举个简单的例子：从小红、小明、小刚三个人里选两个人排座位，小红在第一个、小明在第二个，和小明在第一个、小红在第二个，是两种完全不同的情况，这就是排列的核心特征。

1核心概念辨析1.2组合的定义组合是指从一组元素中选出部分元素，不需要考虑顺序，核心特点是“和顺序无关”。比如握手、选两个人参加普通活动、选两种水果、打循环赛等，都属于组合问题。同样举刚才的例子：从小红、小明、小刚三个人里选两个人握手，小红和小明握手，不管谁先伸手，都是同一次握手，交换两个人的位置不会改变结果，这就是组合的核心特征。

1核心概念辨析1.3快速区分技巧我教了这么多年，总结出一个小学生一学就会的区分技巧：把选出来的两个元素交换位置，如果结果发生变化，就是排列；如果结果没有变化，就是组合。这个技巧比背定义管用10倍，遇到拿不准的题，用这个方法判断基本不会出错。比如选两个人当正副班长，交换位置后正副职务变了，就是排列；选两个人当普通班委，交换位置没有区别，就是组合。

2两大基础计数原理计数原理是解决所有排列组合问题的底层逻辑，小学阶段不需要学排列数、组合数公式，把这两个原理搞懂就足够解决所有小学阶段的问题。

2两大基础计数原理2.1加法原理（分类计数）加法原理的适用场景是：完成一件事有好几类不同的方法，每一类方法都能独立完成这件事，总方法数就是每一类的方法数相加。核心判断标准是“类类独立”，选了其中一类就不需要选其他类。比如：从西安到北京，坐飞机有4个航班，坐高铁有6个车次，坐大巴有2个线路，那么从西安到北京总共有4+6+2=12种不同的走法，因为选了飞机就不用选高铁，每一类都能独立到达目的地。

2两大基础计数原理2.2乘法原理（分步计数）乘法原理的适用场景是：完成一件事需要分好几个步骤，每一个步骤都不能少，总方法数就是每一个步骤的方法数相乘。核心判断标准是“步步相关”，少了任何一个步骤都完不成这件事。比如：从西安到郑州有3种走法，从郑州到北京有5种走法，那么从西安经郑州到北京总共有3×5=15种走法，因为必须先走西安到郑州，再走郑州到北京，两个步骤缺一不可。我通常会让学生记四个字的口诀：“类加步乘”，遇到拿不准的题，先判断是分类还是分步，就不会用错原理。

3基础解题方法总结小学阶段的排列组合题，掌握这三种方法就足够应对所有题目，不需要学超纲的技巧。

3基础解题方法总结3.1有序枚举法适合元素数量少的题目，核心要求是按照固定的顺序枚举，不能东一个西一个列，否则很容易漏算或者重算。比如用1、2、3组成没有重复的两位数，就按十位是1、2、3的顺序列，分别是12、13、21、23、31、32，一共6个，不会出现遗漏。

3基础解题方法总结3.2排除法适合带特殊限制条件的题目，先算所有的情况，再减去不符合要求的情况。比如刚才的用0、1、2、3组成两位数的题，先算4个数字选两个排列的所有情况是4×3=12种，再减去0在十位的情况（0在十位时个位有3种选择），12-3=9种，就是正确答案，比一个个枚举效率更高。

3基础解题方法总结3.3捆绑法适合有“必须相邻”要求的排列题，把要求相邻的元素绑成一个整体，先算整体的排列数，再算内部的排列数，相乘就是总数量。比如4个人排队，小红和小明必须站在一起，先把小红和小明绑成一个整体，相当于3个元素排队，有3×2×1=6种排法，再算小红和小明内部的排列有2种，总共有6×2=12种排法。04ONE分层巩固训练与易错题突破

分层巩固训练与易错题突破知识点梳理完了，不能只停留在“听懂”的层面，必须通过针对性的练习把知识点落到实处，同时把高频失分点提前规避。

1分层巩固训练我把训练题分成三个层级，学生必须完成前一个层级且正确率达标后，才能进入下一个层级，不要跳级做题。

1分层巩固训练1.1基础达标训练总共10道基础题，全部是不带限制条件的基础排列、组合、原理应用题，比如“3种不同的铅笔、4种不同的橡皮，选一支铅笔和一块橡皮有多少种搭配”“5个球队打循环赛每两队打一场要打多少场”等，要求正确率必须达到100%才能进入下一环节，有错的话要回到对应的知识点重新理解，不要赶进度。我之前遇到过一个家长，孩子基础题错了4道还催着做难题，我拦住了，基础不牢做再多难题都是无效的，后来把基础练熟后，孩子后面的提升速度非常快。

1分层巩固训练1.2能力提升训练总共8道中等难度题，都是带1-2个限制条件的题目，比如“4个人排队，小红不能站在第一位有多少种排法”“用0、1、2、3能组成多少个没有重复的三位偶数”等，要求正确率达到90%以上，每道题都要让孩子讲清楚解题思路：是排列还是组合，用加法还是乘法，有没有特殊限制条件，不能只给答案，这样才能确认他是真的理解了，而不是蒙对的。

1分层巩固训练1.3思维拓展训练总共5道拓展题，适合基础扎实的学生做，比如“6个人排队，小红和小明不能相邻有多少种排法”“从1到10里选两个不同的数，和是偶数有多少种选法”等，这部分不要求所有学生都掌握，主要是锻炼分类讨论的思维，学有余力的学生完成即可。

2高频易错题突破我整理了近5年学生最容易出错的三类问题，专门做针对性突破，能帮学生减少80%的无谓失分。

2高频易错题突破2.1排列组合混淆这是最高频的错误，很多学生遇到题凭感觉判断是排列还是组合，很容易出错，用我之前说的“交换位置看变化”的技巧就能解决，每道题先判断类型，再动笔，就不会出错。

2高频易错题突破2.2特殊限制条件遗漏很多学生做题的时候不看题干里的限制条件，比如“0不能在首位”“某人不能站在某个位置”，导致结果算错，我要求学生做题的第一步就是先圈出题干里的特殊要求，先处理特殊元素，再处理普通元素，就能避免这类错误。

2高频易错题突破2.3加法乘法原理混淆很多学生分不清什么时候用加法什么时候用乘法，记住“类类独立、步步相关”的判断标准：如果每一种方法都能单独完成这件事，就用加法；如果必须做完所有步骤才能完成这件事，就用乘法。我总结了一个“三步检查法”，让学生每做完一道题就用这个方法检查：第一步，判断是排列还是组合，交换元素位置看结果是否变化；第二步，判断用加法还是乘法，看是分类还是分步；第三步，看有没有特殊限制条件，有没有排除不符合要求的情况。用这个方法，学生的错题率能下降80%以上。05ONE成果检测与后续巩固建议

成果检测与后续巩固建议所有训练完成后，我们要通过检测验证掌握情况，同时制定长期的巩固方案，避免学完就忘。

1成果检测检测卷总共10道题，满分100分，60分以下的学生说明基础概念还没有掌握，需要重新梳理核心知识点；60-80分的学生，把错题对应的知识点再巩固，练5道同类型的题即可；80分以上的学生，说明基础已经非常扎实，只需要定期保持手感即可。

2后续巩固建议暑假结束后不需要大量刷排列组合的题，每周做2-3道相关的题保持手感即可，平时生活里也可以随时锻炼：比如去超市选两种不同的零食，问孩子有多少种选法；家里3个人排队吃饭，