江苏无锡市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题含答案

2026.06注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项A.{1,2,4,6,7,8}B.{3,4,5}C.{4,7}2.某电商平台的消费者中，男性用户占40%,其对某商品的好评率为80%;女性用户占60%,A.0.36B.0.74取1个球.则在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率为()X345678yA.a>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b<0D.a<0,b>0A.6πcm²B.9πcm²C.12πcm²D.18πc则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为()A.120B.60C.P(A|B)=P(A|B)二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.C.a+a₂+…+q₁=0D.q+2a₂+3a₃+…+1lq₁=0三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14.有6张相同的卡片，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取3次，每次四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设关于x的不等式x²-(2m+3)量占总产量的70%.现按车间采用分层抽样的方法从该厂生产的产品M中抽取50件进行检测，车间等级甲车间乙车间合计一等品二等品合计k18.2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演.某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p(0<p<1),左移的概率为1-p.0123456…(1)当n=6,时，求机器人最终回到0号位置的概率；(3)当n=5时，机器人最终位于4号位置的概率为f(p),求f(p)的最大值.(i)若a=1,且互不相同的正实数x₁和x₂满足f(x₁)+f(x₂)=0,求证：x₁+x₂>2;(ii)若对任意m,n∈[1,+∞]且m>n,都恒成立，求实数a的取值范围.【详解】因为全集U={x|x是小于9的正整数},A={1,4,6,7},B={2,4,7,8},所以AUB={1,2,4,6,7,8},所以C(AUB【分析】首先定义事件，明确各事件的概率，根据全概率公式求解即可.由题意P(A)=40%=0.4,P(A₂)=60%=0.6,所以P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A₂)·P(B|A)=0.4×0.8+0.6×0.7=0.74.【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin²x+cos²x=1可得：所以当x∈R,sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.【分析】先求出第一次取得白球的和第一次取得白球且第二次取得红球的概率，再利用条件概率公式求解即可.【详解】解：设A事件为第一次取得白球，B事件为第二次取得红球，试卷第1页，共12页试卷第2页，共12页【详解】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在V轴上的截距大于0,所以a>0,b<0.图表标题考点：1.散点图；2.线性回归方程；【详解】因所以当水面高度为6cm时，体积关于高度的瞬时变化率为9πcm².【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可.【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A2=12种方法，同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5×12=60种.【分析】选项A:利用对立事件概率关系，由已知的补事件概率直接推导并集概率；选项B:通过计算两事件各自概率的乘积，并与已知交事件概率比较，验证独立性条件；选项C:分别计算条件概率与另一条件下的条件概率，对比两者是否相等来判定；选项D:依据条件概率定义，通过交事件概率与另一事件概率的比值进行验证，判断其是否满足题设关系.【详解】选项A:,选项A正确；选项C:选项D错误.试卷第3页，共12页试卷第4页，共12页此时选项B:a₁是等式两侧x¹¹的系数，左边最高次项为2x·x¹⁰=2x¹¹,故q₁=2,B正确.选项C:令x=2,代入等式左边得(2×2-1)×(2-2)¹⁰=0,即a%+q+a₂+…+a₁₁=0,令x=2,左边值为0,即q+2a₂+…+1la₁=0,D正确.【详解】对f(x)=(x²+ax)e求导得：f'(x)=(2x+a)e+(x²+ax)e=[x²+(a+2)x+a]e,h(x)=x²+(a+2)x+a,选项A:因为△=a²+4>0恒成立，h(x)总有两个不同零点x₁,x₂,不妨设x₁<x₂,试卷第5页，共12页选项B:h(-1)=1-(a+2)+a=-1<0,故f'(-1)=h又p(-4)=5e⁻⁴<1,且p(0)=1,所以(x²+3x₀+1)e⁰=1只有唯一解0,所以当a=1时，曲线f(x)仅在x=1处的切线斜率为1,且与直线y=x重合，C错误.选项D:若令a=1,则h(x)=x²+3x+1,其零点当x<x₁或x>x₂时h(x)>0,g(x)不可能等于0,若满足g(x)=f'(x)+e⁻¹有唯一零点，即M(x)=x²+3x+1+e⁻×¹=0结合M(x)的单调性可得M(x)=0有唯一解x=-1,因此g(x)只有唯一零点x=-1,故存在这样的a,D正确.【详解】随机变量X～N(μ,σ²),其概率密度曲线关于直线x=μ对称，即P(X≥μ)=0.5,由题意可知μ=1.又因为P(X>2a-1)=P(X<a+1),由正态分布的对称性可知2a-1+a+1=2μ,即3a=2,【分析】先对函数求导，进而求出切线斜率，根据两直线垂直列方程求解.【详解】则m=4.【分析】根据题意X的可能取值为0,1,2,3,求出相应的概率，并计算X的期望；设第一次取出的卡片上的数字为a,第二次取出的卡片上的数字为b,第三次取出的卡片上的数字为C,可,即2c-2≤a+b≤2c+2,对C的取值讨论，求出满足题意的a,b,c,利用古典概率公式求解.所以X的期望设第一次取出的卡片上的数字为a,第二次取出的卡片上的数字为b,第三次取出的卡片上的数字为c,试卷第6页，共12页试卷第7页，共12页若c=3,则4≤a+b≤8,满足要求的有若c=1,则0≤a+b≤4,没有a,b满足题意，综上，满足题意的a,b,c共计36组，【详解】(1)不等式化简为(x-m)[x-(m+3)]≤0,∵m<m+3,则解得0≤m≤1.【分析】(1)通过求导确定函数在给定区间上的极值点与端点，并比较各点的函数值，从而判定最值；(2)将恒成立不等式转化为参数与函数最值的关系，通过分离变量将问题化为求函数的最小值，运用换元法简化函数形式，再利用导数分析新函数在定义域内的单调性与极值，最终确定参数的取值范围.【详解】(1)当a=-2时，f(x)=-2x³-x²+4x+求导得f'(x)=-6x²-2x+4=-2(3x-2)(x+1),令f'(x)=0,得x=-1和试卷第8页，共12页单调递减，当时，f'(x)>0,f(x)单调递减，故x=-1为极小值点，为极大值点，计算极大值.,端点值f(-2)=7,f(1)=4,故f(x)在区间[-2,1]上的最大值为7.求导得g'(t)=-9t²-8t+1=-(9t令g'(t)=0,得定义域内临界点舍去):因此g(t)在t=-1处取最小值g(-1)=-2,要使a≤g(t)恒成立，得a≤-2,综上，实数a的取值范围为(-∞,-2).17.(1)根据分层抽样，甲车间抽取数量：50×30%=15件，乙车间抽取数量：50×70%=35件，据此填写2×2列联表：等级\车间甲车间乙车间一等品46二等品因为0.595<2.706(a=0.1对应的临界值),因此依据α=0.1的独立性检验，不能认为产品为一等品与生产车间有关.试卷第9页，共12页【分析】(1)先由分层抽样可得甲、乙两个车间的产品数，进而可完成2×2列联表并进行独立性检验可得；(2)根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得；(3)先计算某件产品至少被选中一次的概率为再由期望的性质可得所求期望.【详解】(1)略(2)因为10件一等品中，甲车间4件，乙车间6件，从10件中任选3件，全是乙车间的情况数为因此所以所以所抽取的3件产品中，至少有1件是甲车间生产的概率为(3)设指示变量X(i=1,2,.….,10),X=1表示第i件产品至少被检测一次，X₁=0表示未被检测，则X036P419【分析】(1)设右移x∈{0,1,…,n}次，可知机器人最终位于3x-n号位置，且x～B(n,p).根据题意可得机器人最终回到0号位置，则右移2次，结合二项分布运算求解即可；(2)可知X=3x-3∈{-3,0,3,6},结合二项分布求分布列即可；试卷第10页，共12页(3)分析可知机器人最终位于4号位置，则右移3次，结合二项分布可得f(p)=10p³(1-p²,0<p<1,利用导数求最值即可.【详解】(1)移动了n次，设右移x∈{0,1,…,n}次，则左移n-x次，所以机器人最终位于2x-(n-x)=3x-n号位置，且x～B(n,p).即机器人最终回到0号位置，则右移2次，所以机器人最终回到0号位置的概所以X的分布列为X036P419机器人最终位于4号位置，则右移3次，则f(p)=P(x=3)=C³p³(1-p²=10p³(1-p)²,0<p<1,可得f'(p)=30p²(1-p)²-20p³(1-p)=10p²(1-p)(3-5p),因为0<