27.1 反比例函数的概念（讲义）（解析版）

第二十七章反比例函数27.1反比例函数的概念知识点一反比例函数的有关概念定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.反比例函数解析式的特征：1）k≠02）分母中含有自变量x，且自变量的指数为-1.反比例函数常见解析式的形式：1）分式型：（k为常数，k≠0）2）负指数幂型：y=kx-13）乘积型：xy=k（k为常数，k≠0）即学即练1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据反比例函数的定义判断各选项函数类型，即可得到答案．【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合定义；选项B：是二次函数，不符合定义；选项C：符合（）的形式，是反比例函数，符合要求；选项D：是正比例函数，不符合定义．2．（2026·辽宁大连·二模）某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P（）与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强P（）是时，木板面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据图象上的已知点求出反比例函数解析式，再将给定的压强值代入解析式求出对应的木板面积【详解】解：设压强与木板面积的函数解析式为．∵函数图象过点，∴，∴，∴函数解析式为．当时，，∴．3．（2026·云南昆明·模拟预测）若反比例函数的图象经过点，则的值是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】D【分析】求出时的函数值即可.【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴.知识点二反比例函数解析式的确定1.待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需给出一组x，y的对应值或图像上一个点的坐标，代入解析式求出k的值，即可确定反比例函数的解析式.2.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：（1）设：设所求的反比例函数的解析式为；（2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程；（3）解：解方程求出k的值；（4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可.【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数.即学即练1．（2026·贵州黔南·一模）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（

）A． B． C．3 D．12【答案】A【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴2．（2026·重庆·模拟预测）下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（

）1124A． B． C． D．【答案】A【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。【详解】解：∵反比例函数为，取已知对应值代入解析式得解得∴反比例函数解析式为将代入解析式得，解得3．（2026·云南楚雄·二模）若一个反比例函数的图象经过，两点，则m的值为（

）A．3 B． C．5 D．【答案】A【分析】先利用点A的坐标求出，再代入点B的坐标列方程求解即可．【详解】解：设反比例函数解析式为．∵反比例函数图象经过点．∴．又∵点也在反比例函数图象上．∴．解得．知识点三反比例关系与反比例函数的比较1）如果ab=k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式.例如：①若y+2与r-5成反比例关系，则②若y与x2成反比例关系，则2）成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，如表示y与与x2成反比例关系，但y不是关于x的反比例函数.题型01反比例函数的识别判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或y=kx-1或xy=k(k为常数，k≠0).典｜例｜精｜析【例1】（25-26九年级上·陕西延安·期末）下列函数不是反比例函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键；反比例函数的形式为，或，其中k为常数且，根据反比例函数的定义分别进行分析即可．【详解】解：A、，是反比例函数，故此选项不符合题意；B、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意；C、，即，是反比例函数，故此选项不符合题意；D、，为正比例函数，不是反比例函数，故此选项符合题意；故选：D．变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·山东日照·阶段检测）在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合．【详解】解：①符合形式，，是反比例函数；②是正比例函数形式，不是反比例函数；③符合形式，，是反比例函数；④，即，符合形式，，是反比例函数⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数；⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数；故是反比例函数的有①、③、④，共3个，故选：C．2．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有________．（填序号）【答案】②④⑥【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数，④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，⑤是二次函数，不是反比例函数，⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数，⑦是正比例函数，不是反比例函数，综上所述，反比例函数有②④⑥．故答案为：②④⑥．题型02根据反比例函数的定义求参数忽视这个条件，而得到错误结论.典｜例｜精｜析【例2】（25-26九年级下·广东潮州·阶段检测）若是反比例函数，则m的值为_______．【答案】3【分析】反比例函数的一般形式为(,为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值．【详解】解：根据反比例函数的定义，可得，解得．变｜式｜巩｜固1．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则的值为_________．【答案】4【分析】若点在反比例函数图象上，则点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值．【详解】解：点在反比例函数的图象上，将，代入得：，则．2．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知．(1)当为何值时，是的正比例函数？(2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值．【答案】(1)(2)；【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义：（1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解；（2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解．【详解】（1）解：∵是正比例函数，∴且，解得：；（2）解：∵是反比例函数，∴且，解得：；∴该反比例函数的解析式为，当时，，解得：．题型03求反比例函数值典｜例｜精｜析【例3】（2026·贵州铜仁·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______．【答案】【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得，，整理得，解得．变｜式｜巩｜固1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的表达式为，当时，的值为______．【答案】【分析】把代入即可求解．【详解】解：当时，．2．（2026·山西晋中·二模）某农场有一个储水量为的圆柱形储水罐，现计划对农场进行改造，需减少储水罐的占地面积．在储水量不变的前提下，储水罐的高度（m）与底面积（）成反比例函数关系，则当储水罐底面积由变为时，其高增加了________m．【答案】0.4【分析】根据圆柱体积公式，已知储水量（体积）不变，因此可得反比例关系：．【详解】解：由题意可知：，即．当原底面积时，原高度；当底面积变为时，新高度；则当储水罐底面积由变为时，其高增加了．3．（25-26九年级下·陕西西安·开学考试）点都在反比例函数的图象上，若，则的值为_____．【答案】/【分析】因为都在反比例函数的图象上，可知，把已知代入可求得的值，再通分后代入求解即可．【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，，，且，，∴．题型04由反比例函数值求自变量典｜例｜精｜析【例4】（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点与点在函数的图象上，则的值为______．【答案】0【分析】根据点在反比例函数图象上，点的坐标满足函数解析式，得到与，与的关系，再推导计算的值即可．【详解】解：∵点和点都在函数的图象上，∴将两点坐标代入函数解析式，可得，，整理得，，∴，即，∴．变｜式｜巩｜固1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，电路中在电压保持不变的条件下，电流I（）与电阻R（）成反比例函数关系，当电流（）时，电阻R为______．【答案】5【分析】设反比例函数解析式为，由图知，点在反比例函数图象上，运用待定系数法求出反比例函数解析式，再把（）代入计算，即可解题．掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．【详解】解：设反比例函数解析式为，由图知，反比例函数图象过点，，反比例函数解析式为，当电流（）时，有，解得．2．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则______．【答案】【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可．【详解】解：由图可知，，将代入，得：，，将代入得：，解得：，故答案为：．题型05用反比例函数描述数量关系对于一个实际问题，应根据已知条件或数量关系列出函数表达式，判断其中的两个变量是否为反比例函数关系，实际问题中的函数自变量的取值范围，除了要使函数表达式有意义，还要使得实际问题有意义.典｜例｜精｜析【例5】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键．根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可．【详解】解：∵去程速度，时间，∴路程，返回时，路程不变，且匀速返回，∴，∴，即函数关系式为．故选：A．变｜式｜巩｜固1．（2025·湖南长沙·三模）已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积．【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，∴S与n的函数关系式是：；故选B．2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．(1)若绳长为，则与的关系式为，是的函数；(2)若矩形的面积是，则与的关系式为，是的函数；(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为，是的函数．【答案】(1)；一次(2)；反比例(3)；二次【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据题意可得，化简即可得出答案；（2）根据题意可得，化简即可得出答案；（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，∴，即，∴是的一次函数，故答案为：，一次．（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，∴，即，∴是的反比例函数，故答案为：，反比例．（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，∴，，∴，∴，∴是的二次函数，故答案为：，二次．3．（2026·甘肃兰州·一模）如图，的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．下列说法中，不正确的是（

）A．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为一次函数B．若与正方形的周长之和为定值，则关于的函数关系为二次函数C．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数D．若与正方形的面积之积为定值，则关于的函数关系为反比例函数【答案】D【分析】分别表示出与正方形的周长之和，面积之积，然后得出，进而得出，，，然后再根据函数的定义判断即可．【详解】解：∵的半径为，正方形的边长为，∴与正方形的周长之和为，与正方形的面积之积为，阴影部分的面积为，∴，，，∴若与正方形的周长之和即L为定值时，y关于x的函数关系式为∶，为一次函数，选项A不符合题意，S关于x的函数关系为∶为二次函数，选项B不符合题意，若与正方形的面积之积即为定值，y关于x的函数关系为∶，为反比例函数，选项C不符合题意S关于x的函数关系为∶，不是反比例函数，选项D符合题意．题型06已知反比例关系求解析式典｜例｜精｜析【例6】（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知与成反比例关系，且当时，．(1)求y与x的函数表达式．(2)试判断点是否在该函数图象上，并说明理由．【答案】(1)(2)不在，理由见解析【分析】本题考查求反比例函数解析式，求函数值．（1）根据题意，设，待定系数法求解析式即可；（2）令，求出值，进行判断即可．解题的关键是正确的设出函数关系式，准确的计算．【详解】（1）解：设，∵当时，，∴，∴，∴；（2）不在；理由如下：当时，，∴不在该函数图象上．变｜式｜巩｜固1．（2025八年级下·全国·专题练习）如表，如果与成正比例关系，那么表格中“？”处应填__，如果与成反比例关系，那么表格中“？”处应填__．15？35【答案】259【分析】本题考查正比例关系及反比例关系，如果与成正比例关系，则，求解即可得到答案；如果与成反比例关系，则，求解即可得到答案．熟记正比例关系及反比例关系是解决问题的关键．【详解】解：如果与成正比例关系，则，解得；如果与成反比例关系，则，解得；故本题答案为：．2．（25-26九年级上·全国·单元复习）已知函数，与x成反比例关系，与成反比例关系．当时，，当时，求y关于x的函数表达式．【答案】【分析】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式的方法，解决本题的关键是得到与的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．首先根据题意，分别表示出与，与的函数关系式，再进一步表示出与的函数关系式，然后根据已知条件，得到方程组，即可求解．【详解】解：设则∵当时，，当时，，∴解得∴y关于x的函数表达式为题型07判断反比例函数图象上的点典｜例｜精｜析【例7】（2026·重庆·二模）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：反比例函数为，可得．A选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；B选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意；C选项：点，，不满足等式，点不在图象上，符合题意；D选项：点，，满足等式，点在图象上，不符合题意．变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）反比例函数的图象经过点，，则a的值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，∵点在该反比例函数图象上，∴，∴．2．（江苏省宿迁市泗洪育才北辰学校2024-2025学年上学期10月份八年级数学期中模拟测试卷）在平面直角坐标系中，有五个点，其中有四个点在同一反比例函数图象上，则不在这个反比例函数图象上的点是（

）A．点E B．点D C．点C D．点B【答案】C【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．在同一反比例函数上，k的值就相等．由题意得：，横纵坐标相乘得比例系数．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果相等的，就在此函数图象上．【详解】解：A、；B、；C、；D、；E、．由以上可知C点与其余四点不在同一函数图象上．故选：C．3．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）．【答案】【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点坐标代入，用表示出和，计算后，结合的条件判断其与的大小关系即可．【详解】解：