考点06 二次函数中的存在性问题（3考点5题型＋能力强化）（解析版）

考点06二次函数中的存在性问题考点一：二次函数常用解析式形式一般式：y=ax顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，与考点二：通用标准化解题步骤所有二次函数存在性问题均可套用统一解题流程，规避思路混乱、漏解等问题：1.求基础信息：求解二次函数解析式、抛物线顶点、与坐标轴交点、配套直线解析式等固定关键点信息；2.合理设动点坐标：抛物线上动点常设P(x,ax2+bx+c)3.列式建模：根据题目几何条件、图形性质、数量关系，列出方程或不等式；4.求解验根：解方程后，结合自变量取值范围、图形位置、三点共线等情况，舍去不合理的解；5.规范作答：整理有效坐标，总结最终结论。考点三：必备核心公式（坐标系通用）两点间距离公式：已知A(x1中点坐标公式：AB中点坐标为(直线位置关系：两直线平行k1=线段简化计算：水平线段长度|y1题型一：面积的存在性问题固定直线AB，设抛物线上动点P(x,y)，通过水平宽与铅锤高计算面积：S=12×水平宽【例1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线经过点和．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，点M的坐标为或【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：存在点使．当时，，解得或，∵点在点的左侧，∴点，点；当时，，∴点．∵抛物线的顶点坐标为，设直线的解析式为，把和代入得到，，解得，∴直线的解析式为，当时，，∴抛物线的对称轴与直线的交点为，∴，∵点是位于轴上方的抛物线上一点，，∴，设点的坐标为，∴，整理得，解得或，∴点的坐标为或．【变式1-1】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C．(1)当时，的取值范围是______；(2)求二次函数的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)或；(2)；(3)存在，点的坐标为和【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于、，且开口向下，∴当时，的取值范围是或；故答案为：或．（2）解：∵二次函数图象与轴交于、，∴设二次函数的交点式为，∵函数图象与轴交于点，∴将，代入得，解得，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴，∴，设点的纵坐标为，∴，解得，∵二次函数，其最大值为，∴不符合抛物线的取值范围，舍去；当，解得，∴点的坐标为和．【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

(1)求m的值及C点坐标．(2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标．(3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由．【答案】(1)，；(2)或(3)【详解】（1）解：将代入，解得，，二次函数解析式为，令，得，；（2）解：如图，

点P在抛物线上，设，当四边形是菱形时，点P在线段的垂直平分线上，，，线段的垂直平分线的解析式为，，，或；（3）解：过点M作y轴的平行线交于点H，如图，

令，解得或，，．．，所以当的面积有最大值时，则四边形的面积最大，设直线的解析式为将点B、C的坐标代入得：，解得直线的解析式为，设点，则点，，故当时，有最大值，此时四边形的面积最大值为，故点【变式1-3】（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为．(1)该抛物线的表达式为______；(2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为．①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______；②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．【答案】(1)；(2)①；②的面积不随点在线段上的位置变化而变化，．【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点、，，，又对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为．点的坐标为．将，，代入，得，解得，该抛物线的函数表达式为，故答案为：；（2）解：①，设新抛物线的函数表达式为，，抛物线的顶点在线段：上点处，，，抛物线经过点，，解得或（此时，点与点重合，抛物线与轴只有一个交点，舍去），，新抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，，，点的坐标为．，故答案为：；②的面积不随点在线段上的位置变化而变化，，设抛物线顶点为，，过作直线的平行线交抛物线于点，由平移得当点平移到点时平移到点，则，为定值，的面积不随点在线段上的位置变化而变化，根据①得点、，．【变式1-4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．(1)求该抛物线的表达式；(2)求点坐标和面积；(3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由．【答案】(1)(2)，6(3)存在最大值，最大值为2，此时【详解】（1）解：把代入中，得：，解得，抛物线解析式为；（2）解：令，得，∴，∴，∵，；（3）解：存在最大值，理由如下，设，，如图所示，，当时，取得最大值为2，此时，则．题型二：角度的存在性问题1.等角存在性依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等价于两角的正切值相等。2.特殊角存在性针对30∘、45【例2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．(3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)P点见解析；(3)或【详解】（1）解：把，两点，代入抛物线，∴，解得，故抛物线的解析式为：．（2）如图，P点即为所求，∵抛物线的解析式为：，当时，，∴，设直线的解析式为：，代入，，得到，∴，∴，∵二次函数，∴函数的对称轴为直线，两点关于直线对称，∴，∴的周长为：，∴当三点共线时，的周长取到最小值，此时点在对称轴上，∴将代入，得到，∴点坐标为．（3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下：当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图：∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，，∴，∵，∴解得∴，设直线解析式为，把，代入得，解得，∴直线解析式为，联立，解得，∴；当Q在下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图：同理可得，∴，设，∴，解得，∴，设直线解析式为，把，代入得，，解得，，∴直线解析式为，联立，解得，∴，综上所述，Q的坐标为或．【变式2-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接．(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；(2)求的面积；(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)(3)存在，【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点，，解得，∴抛物线的解析式为，∵．∴顶点．（2）解：如图，由（1）知，，∴抛物线的对称轴为直线，设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，点在抛物线上，且横坐标为，∴代入中，得，，，设直线的解析式为，∵，∴，解得：，∴直线，令，得，∴．，，即的面积为；（3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点．设直线的解析式为,把，代入，得,∴，∴（舍去），，∴，∴，∴，，∴．轴，，∴，又，，．，化简，得，解得或0（舍）由（2）知当时，，．即在第一象限内的抛物线上存在点，使．【变式2-2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)求出抛物线的函数表达式；(2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由；(3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)点Q的横坐标为2或【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，所以抛物线的函数表达式：；（2）解：存在，，理由如下：连接，，设，∴，∵，∴当时，四边形面积最大，把代入中得：，∴；（3）解：存在，理由如下：如图，在y轴上取点，连接，过点D作轴于点T，则，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵，∴，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：或，∴；过点A作交的延长线于点L，过点D作交于点S，则，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴，∴，∴，设直线的解析式为，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为，联立方程组，得：，解得：（舍）或，∴综上，点Q的横坐标为2或．【变式2-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______．(3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①；②，；③；(3)当时，取得最大值为，此时(4)【详解】（1）解：由题意知，解得，∴解析式为；（2）解：∵抛物线解析式为；∴抛物线的顶点坐标为：，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大，∴当时，在时，函数取到最大值为：；在时，函数取到最小值为，∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线，∴，当，，∴，设直线表达式为：，∴，解得，∴直线表达式为，故答案为：，，，；（3）解：设，则，∴，∵，∴当时，取得最大值为，此时；（4）解：存在，理由如下：当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，∵，∴当时，，解得：或，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，如图，点与点重合，∴．【变式2-4】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点．(1)求的表达式；(2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值；(3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)最大值为(3)存在，点P的坐标为【详解】（1）解：∵由平移得来，∴设，∵与交于点，且与y轴交于点，得：解得∴的表达式为：．（2）解：由（1）知，的表达式为：，∴，∴点的坐标为，设直线的表达式为，把，代入得，解得：，∴直线的表达式为：，联立与直线得：，解得，∴，∵E在线段上，G在上，轴，设，则，则，∵，∴当时，有最大值，最大值为．（3）解：如图，作的对称轴，则，∴，过点A作直线的垂线，交于点，∵的对称轴是直线，∴的坐标为．∵A，关于对称，∴，∴，即点P和点重合时满足条件，当点P在对称轴的右边时，，故这样的点P不存在，综上所述，点P的坐标为．题型三：等腰三角形的存在性问题先计算AB长度、线段中点、垂直平分线解析式；设抛物线上动点坐标，分三类列方程求解；最后排除三点共线、图形不存在的无效点。已知定点A、B，动点P，探究△PAB1.PA=PB：动点P在AB的垂直平分线上；2.PA=AB：以定点A为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上；3.PB=AB：以定点B为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上。【例3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，，，【详解】（1）解：对于直线，当时，；时，；∴，，∵，设二次函数解析式为，代入得，，解得，∴二次函数的解析式为；（2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为，∴，∵，∴；①如图1，当时，，∴，；②如图2，当时，过点C作于点H，∴，∵，∴，∴，∴，∴；综上所述：存在，，，．【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？(3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，线段的长度最大，最大值是(3)或或或或．【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图，设直线的解析式为，把点，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵点P的横坐标为m，轴，∴点，∴，∵，∴当时，线段的长度最大，最大值是，（3）解：由（1）得：点，设抛物线的对称轴为直线l，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴可设点，当时，如图，过点P作于点E，则，在中，，∴点；当时，如图，过点P作于点E，则，在中，，∴点；当时，如图，过点D作于点F，则，在中，，∴点；当时，如图，过点D作于点F，则，在中，，∴点；当时，如图，此时点Q在的垂直平分线上，∴点Q的纵坐标为，∴点；综上所述，点Q的坐标为或或或或．【变式3-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D．(1)求该二次函数的解析式；(2)求顶点D的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点P坐标为【详解】（1）解：将代入得，，解得，∴该二次函数的解析式为；（2）解：顶点横坐标为，顶点纵坐标为，∴顶点D的坐标为；（3）解：存在，理由如下：连接，作线段的垂直平分线交轴于点，∴,此时，为等腰三角形，假设，根据勾股定理得，∴，解得，∴点P的坐标为；根据勾股定理得,，分别以点为圆心，以长为半径画圆，与轴无交点，∴点P的坐标只有．【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．∴解得：∴抛物线的解析式为.（2）解：如图，设M的坐标为，∵．∴，∴，，，∴，∴当时，的面积最大，最大值是，∴，∴.（3）解：存在，理由如下：∵抛物线与x轴交于、两点，∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意：①当时，，解得：，∴，②当时，，解得：，，∴，，综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形．题型四：直角三角形存在性针对竖直线、无斜率场景，使用勾股定理分类列式：PA2+A已知定点A、B，动点P，探究△PAB1.∠A=90∘：PA⊥AB2.∠B=90∘：PB⊥AB3.∠P=90∘：PA⊥PB【例4】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求的值；(2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标；(3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标．【答案】(1)(2)面积的最大值为，此时点P坐标为(3)存在，点的坐标为或或或【详解】（1）解：将、入得：解得：，∴抛物线解析式为（2）解：将代入得：，，设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，解得：即直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，则面积，，故面积有最大值，当时，面积的最大值为，此时点P坐标为；（3）解：存在，由抛物线的表达式知，其对称轴为，设点，由勾股定理得：，同理可得：，，由为直角三角形，分三种情况讨论：当时，则，解得：，即点或；当时，则，解得：，即点；当时，则，解得：，即点，综上，点的坐标为：或或或．【变式4-1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线．(1)求该抛物线的解析式；(2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)四边形面积的最大值为，P的坐标是(3)Q的坐标为或或或【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，设，把代入得：，解得：，∴，则抛物线的解析式为；（2）解：连接，如图：设，在中，令得，令得：，解得：或，∴，∴，∵，∴，∴四边形面积，，，∴当时，四边形面积最大为，∴当时，，∴P的坐标是；（3）解：在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得是直角三角形，理由如下：如下图，由抛物线的对称轴为直线，设，∵，∴，当为斜边时，，∴，解得或，∴此时Q坐标为或；当为斜边时，，∴，解得，∴此时Q坐标为；当为斜边时，，∴，解得，∴此时Q坐标为；综上所述，Q的坐标为或或或．【变式4-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F．(1)求抛物线和直线的表达式；(2)求线段的最大值；(3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的解析式为(2)(3)或【详解】（1）解：把点代入，得：，解得：抛物线的表达式为；设直线解析式为，∵直线经过点，，∴，解得．∴直线的解析式为．答：抛物线的表达式为，直线的解析式为．（2）解：如图设，则，∵抛物线与轴相交于点，∴．∵，∴；∴当时，取得最大值；（3）解：由（2），得，，∴．①当时，如图∵，∴由勾股定理，得．即，，解得或（不符合题意，舍去），∴．②当时，如图∵，∴由勾股定理，得．即，整理，得，，，解得或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去），∴．③当时，如图，∵轴于点M，∴，∴，即，∴当时，不符合题意，舍去．综上，存在满足条件的点M，其坐标为或．【变式4-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，．(1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，．①求此时抛物线的解析式和点的坐标；②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标．(2)如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)①，；②(2)存在的值为或，使得为直角三角形【详解】（1）①解：抛物线经过点，，把点，分别代入，可得，解得，抛物线的解析式为，点在边上，且四边形是矩形，当时，，解得，，．答：，．②如图，过点作轴交于点，连接，，设直线的解析式为，把点代入，得，解得，直线的解析式为，设，则，，的面积等于的面积，，即，解得，（舍去），故点的坐标为．答：．（2）解：由（1）知，则抛物线的解析式为，当时，，，则点坐标为，当时，，则点坐标为，，，，①当时，，即，解得；②当时，，即，解得或，当时，点与点重合，不符合题意，舍去，当时，点在的延长线上，不符合题意，舍去；③当时，，即，解得或（舍去），当时，点与点重合，不符合题意，舍去，则，综上所述，存在的值为或，使得为直角三角形．答：存在的值为或，使得为直角三角形．题型五：（特殊）四边形的存在性问题核心解题规律已知两点A(x1,1.AB为边：利用平移性质，AB∥PQ且AB=PQ，通过坐标平移求解动点；2.AB为对角线：AB与动线段PQ互相平分，中点坐标完全相同。特殊平行四边形判定条件菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件；矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直/对角线相等条件；正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。【例5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点．(1)求抛物线的表达式和顶点的坐标；(2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，．将，代入，得解得抛物线的表达式为，，顶点的坐标为；（2）存在．如图，设．①以为对角线．此时，，，，即，解得．，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得，平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度．②以为对角线．，点在轴上，，则，平移的方向为向左平移1个单位长度．③以为对角线时，矩形不存在．综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度．【例5-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．(1)求A、B，C三点的坐标．(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)存在；或【详解】（1）解：对于来说，当时，；故点，当时，有，解得：，∴，；（2）解：存在：设直线的表达式为：；将，代入得：，解得：故直线的表达式为：；设点D的坐标为，其中，∵，，∴，，，∵，∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当时，四边形为菱形，∴，∴，解得：，（舍去），∴点D的坐标为，∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为；如图，当时，四边形为菱形，∴，∴，解得：，（舍去），∴点D的坐标为，∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，∴点E的坐标为；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；【例5-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．(1)求点的坐标；(2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标；(3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，顶点坐标为；(3)，【详解】（1）如图，作轴于点，∵四边形为正方形，∴，∵，∴，又∵∴，∵，，∴，，∴，∴，∴点坐标为；（2）∵抛物线经过点，∴，∴，∴抛物线的解析式为∴顶点坐标为；（3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形．如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，∴，，∴点坐标为，点坐标为．由（2）抛物线，当时，；当时，．∴、在抛物线上．故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形．【例5-4】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为．(1)求抛物线及直线的函数解析式；(2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)拋物线解析式为，直线的解析式为(2)(3)能，点E的坐标为或或．【详解】（1）解：将点代入得，，解得，∴拋物线解析式为；

设直线的解析式为将点代入，得，∴∴直线的解析式为；（2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点．设，则，，∴当时，的面积有最大值，最大值为；（3）解：∵抛物线解析式为当时，，，∵，∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，∴；设，则，∴，∴或，解方程得或（舍去），解方程得或，当时，，当时，当时，综上，满足条件的点的坐标为或或．【变式5-1】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限．(1)求二次函数的表达式；(2)连接，，试判断的形状，并说明理由；(3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)直角三角形，理由见解析(3)【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等∴对称轴为直线∴∴将代入得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）如图所示，连接，，联立抛物线与直线，得，解得或，∴，，∵∴，∴，∴是直角三角形；（3）如图所示，由（2）得，∴∵点是线段的中点，∴，∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形∵，，∴，即，设点N的横坐标为n，∵∴∴∴将代入∴．【变式5-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且．(1)判断的形状，并说明理由；(2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标；(3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标．【答案】(1)为直角三角形．(2)，当时，四边形的面积为最大，．(3)或或或或．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，．∴，解得：，∴抛物线为：，当时，，∴，当时，则，解得：，，∴，而，∴，∴，∴为直角三角形．（2）解：点是抛物线在第四象限部分上的点，∴，如图，连接，∴，其中：，∴当时，四边形的面积为最大，最大面积为，此时．（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，设，∵以、、、为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下：当时，如图，∴，解得：，∴，当时，如图，∴，解得：，∴或，如图，当时，∴，解得：，∴或，综上：或或或或．【变式5-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．(1)求抛物线的表达式；(2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标；(3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)或或；(3)或．【详解】（1）解：∵抛物线过原点，∴，∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线表达式为；（2）解：设直线的解析式为，∵直线过，∴，解得∴直线的解析式为，设，∵轴，∴，∵，∴，即，当时，，解得或，∴或，当时，，解得（舍去）或，∴，综上，点M的坐标为或或；（3）解：联立，解得或，∴，情况1：当为对角线时，设，，∵矩形对角线互相平分，∴，，∵，由勾股定理：，，代入，解得，，或，，（舍去），∴，∴，情况2：当为对角线时，设，，∵矩形对角线互相平分，∴，，∵，由勾股定理：，，代入，解得，，或，(舍去)，∴，，∴，综上，的坐标为或．【变式5-4】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)的面积的最大值为(3)点的坐标为或或【详解】（1）解：将点，，代入，得，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：令直线的表达式为，将点，代入，得，解得，∴直线的表达式为，令点坐标为，过点作轴，交直线于点，如下图所示：可得点的坐标为，∴，∴，即求的最大值，得，∵∴的最大值为．（3）解：∵，若以为顶点的四边形是平行四边形，则满足即可，∵抛物线的解析式为，∴点，当时，，∴点，∴，令点坐标为，同理可得点坐标为，当点在点下方时，即，得，∵，∴，化简得，解得（舍去）或，当时，，∴点的坐标为；当点在点上方时，即或，得，∴，化简得，解得或，当时，，当时，，∴点的坐标为或；综上，点的坐标为或或．【变式5-5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．(1)求抛物线的表达式；(2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标；(3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，正方形的边长为或【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．∴设抛物线的解析式为：，把代入，得：，∴，∴；（2）当时，解得：，∴，∵，∴设直线的解析式为：，把代入，得：，∴，作轴，垂足为点，设，则：，∴，∵与的面积相等，∴，即：，∵，∴，∴，解得：或（舍去）；∴；（3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，，由（2）可知，直线的解析式为，设，直线解析式为，联立得：，消去得：，，为等腰直角三角形，，，，，∵四边形为正方形，∴，，整理得：，解得：或，正方形边长为，或．即正方形的边长为或．1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E．(1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由．(2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标．(3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析；(2)或或；(3)存在，或或或【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：∵抛物线与y轴交于点C，令，则，∴点，令，则，解得，∴，，∴由平移的性质可知，∵，∴是平行四边形；（2）∵抛物线的解析式为，∴点，设点，∵，，①若为的对角线时，则与互相平分，∴

∴解得

∴②若为的对角线，则与互相平分，∴

∴解得

∴③若为的对角线，则与互相平分∴

∴解得

∴综上所述，点G的坐标为或或；（3）存在，要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，∵点G在对称轴上，∴设点G的坐标为，由勾股定理，得，，①若，则即，得，此时点G的坐标为，②若，则，解得，此时点G的坐标为，③若，则，解得，此时点G的坐标为或，综上可知，点G的坐标为或或或．2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，(3)点坐标为或．【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为，∴设抛物线的解析式为，∵抛物线过点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为，令，则，∴，设直线的解析式为，代入和可得：，解得：，∴直线的解析式为：，∵抛物线的对称轴与交于点，∴把代入可得：，∴，∴，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示：设点G的坐标为，则，，∴，，∴，，∵，∴，解得或（舍去），∴；（3）解：由（2）知，，又，∴，设点关于直线的对称点为，如图所示，则，，∵，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴，由抛物线的对称性可知，，∴，∴，∴，∴．∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线，∴，设，∵，，，∴，∴或，当时，，∴，当时，，∴，综上所述：点坐标为或．3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．(1)求抛物线的表达式；(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；(3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)最大值为，(3)存在，，【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴当；当，则，解得，∴，，∵对称轴为直线∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）解：∵，抛物线对称轴为，∴，∴过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，∴∵，∴，∵，，∴当时，取得最大值为，此时；（3）解：存在，如图，设，∵四边形是菱形，∴，∴，解得，∴∵四边形是菱形，∴，∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样，∵，，，∴由平移的性质可得．4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．(1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由：(3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式．【答案】(1)，，，对称轴为直线；(2)存在，的坐标为或；(3)，直线的解析式为【详解】（1）解：当时，，∴，当时，，解得或，∴，；∴，∴对称轴为直线；（2）解：存在点M，使，理由如下：设，∵，，∴的中点，，∴，∴，解得，∴点的坐标为或；（3）解：∵和的面积差为S，∴和的面积差为S，设点P的坐标为，∴的面积，的面积，∴，当时，S有最大值为，此时，设直线的解析式为，∴，即，∴直线的解析式为．5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为．(1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________．(2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标．(3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线；(2)；(3)，【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得，，解得，∴抛物线的解析式为，∴顶点D的坐标是，对称轴是直线；（2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，∵，，∴，，即点为的中点，∴，即，设直线的函数解析式为，把、代入得，，解得，∴直线的函数解析式为，由，解得，，∴；（3）解：存在．∵，∴，设，，如图，∵，∴，整理得，，∴，∴，∴对角线交点的坐标为，∴，，∴，，∴．6．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点．(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；(2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标．【答案】(1)，顶点(2)存在，(3)满足条件的点坐标为或或或【详解】（1）解（1）∵抛物线经过两点和，∴，解得抛物线的表达式为：，∵，∴顶点；（2）解：存在．理由：设直线的解析式为,把，代入，得,解得，∴直线，∵二次函数对称轴为直线，∴点，过点作轴的平行线交于点，设点，点，，又，即，即，解得：或（舍去），故点；（3）设点，点，当是平行四边形的一条边时，∵，，点向左平移个单位向下平移个单位得到，同理，点向左平移个单位向下平移个单位为，即为点，即：，，而，解得：或，故点或；当是平行四边形的对角线时，∴由中点公式得：，而，解得：，故点或；综上，满足条件的点坐标为或或或．7．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点．(1)求抛物线的表达式；(2)点是直线的上方的抛物线上一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标．(3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)面积的最大值为8，此时点的坐标为(3)存在，符合条件的点坐标为或或或【详解】（1）解：∵抛物线与轴交点，点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）解：如图，过点M作轴，交于点N，设直线的解析式为，把点，点代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点M的坐标为，则点N的坐标为，∴，∴，∴当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为．（3）解：存在，∵，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，∴，设点P的坐标为，∵点，点，∴，，，∵是以为直角边的直角三角形，∴或，当时，∴，解得：或5，此时点P的坐标为或；当时，，解得：或，此时点P的坐标为或；综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或．8．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)当点P在第一象限的抛物线上时，求面积的最大值及此时点P的坐标；(3)是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)，(3)存在，点Q的坐标为或或【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点，，解得：，抛物线解析式为，把代入得：，∴点C的坐标为．（2）解：如图，过点P作轴，交于点D，如图所示：设直线的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设点P的坐标为，则，∴，∴，∵，∴当时，取最大值，此时点P的坐标为.（3）解：存在．理由如下：∵抛物线的解析式为，∴抛物线对称轴为直线，设，当四边形为平行四边形，如图所示：此时点C向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点B，∴点Q向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点P，∴，即，把代入得：，解得：，∴此时点Q坐标为；当四边形为平行四边形时，如图所示：此时点B向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点C，∴点Q向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点P，∴，即，把代入得：，解得：，此时点；当四边形为平行四边形时，如图所示：设点，根据中点坐标公式得：，解得：，∴点，把代入得：，解得：，此时点；综上所述，满足条件的Q点坐标为或或．9．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接．(1)求抛物线的函数表达式．(2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标．(3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)点；(3)存在，，【详解】（1）解：（1）把点代入，得解得抛物线的函数表达式为．（2）如图1，过点作轴，交于点．令，得，解得，点．设直线的解析式为，则，解得，∴直线的函数表达式为．设点，则点，，．，当时，的面积取得最大值，最大值为，此时点.（3）解：．理由：，．，．如图2，设交轴于点，过点作于点．设，则．，∴是等腰直角三角形，，，，点．设直线的函数表达式为．将点代入，得解得直线的函数表达式为．联立解得（舍去），点的横坐标为．10．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于三点，且，P是抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在直线下方，点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标．(3)直线上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，Q的坐标为或【详解】（1）解：∵，且，∴，设二次函数的解析式为，把代入得：，解得，∴二次函数的解析式为；（2）解：∵点P在抛物线上，∴可设，过P作轴于点E，交直线于点，如图：∵，设直线解析式为，则，∴，∴直线解析式为，，∴，当最大时，四边形的面积最大，∴∴，∴当时，最大值为8，此时，∴当P点坐标为时，，故此时四边形的最大面积，最大面积为；（3）解：直线上存在一点，使得以点组成的四边形是平行四边形，理由如下：设，，而，①若为平行四边形对角线，则的中点重合，∴，解得（此时Q与B重合，舍去）或，∴；②为对角线，，方程组无实数解；③为对角线，，解得（此时P与A重合，舍去）或，∴，综上所述，Q的坐标为或．11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点．(1)求抛物线解析式及顶点D坐标；(2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为；(3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值；(4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或(3)(4)存在，或或或【详解】（1）解：由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；，故抛物线的顶点．（2）解：，，解得，故，根据题意，得，∵，，即，则，或，或，解得或无解，故或，故答案为：或．（3）解：设直线的解析式为，将，代入直线解析式得：，解得，∴直线的解析式为：，设，则，则，故，∵，∴抛物线开口向下，函数有最大值，∴当，最大，且最大值为．（4）解：存在，理由：设，，，，故，当为对角线时，由中点坐标公式得：解得：或，，故或；当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得，故；当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得，故；故存在点Q，使得A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形且坐标为或或或．12．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标：(3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)或或【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点，∴设抛物线的解