26.2.3 二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质（能力提升）（原卷版）

26.2.3二次函数的图象和性质知识点一根据二次函数的图像符号判断1．（25-26八年级下·山东东营·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．2．（2026·安徽合肥·二模）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（25-26九年级下·四川成都·月考）二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．当时， D．知识点二限定自变量取值范围求最值1．（25-26九年级上·福建莆田·月考）二次函数的最小值为______．2．（2026·河北廊坊·一模）已知抛物线，则当时，函数的最大值与最小值的差为______．3．（25-26九年级上·山东滨州·月考）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是______．4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为，则的取值范围是_____．知识点三利用二次函数的对称性求最短路径1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____．2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值．3．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点．点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，则的最小值是多少？4．（25-26九年级上·河北沧州·月考）如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线经过B，C两点，则_______，________；(3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标．知识点四线段、周长最值（二次函数综合）1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为．(1)求的面积．(2)若P是第四象限内抛物线上任意一点，轴于点H，与BC交于点M．求线段PM的最大值．2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值．知识点五面积最值（二次函数综合）1．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线其中为常数且经过点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标．2．（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值；知识点六特殊三角形问题（二次函数综合）1．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接．(1)求抛物线解析式；(2)当线段的长度最大时，求点P的坐标；(3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标．2．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作轴，交于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)若点D的横坐标为2，求的周长；(3)当是直角三角形时，求点P的坐标．3．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，对称轴是直线，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标；(3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点．点从点出以每秒3个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒）．当以为边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值．知识点七特殊四边形问题（二次函数综合）1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，已知抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若抛物线的顶点为，抛物线的对称轴交直线于点，点为直线右侧抛物线上一点，点在直线上，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．2．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴交于点A，若点A关于x轴的对称点D在一次函数的图象上．(1)求b的值；(2)若一次函数与一次函数交于B，且点B关于原点的对称点为点C．求过A，B，C三点对应的二次函数表达式；(3)在（2）的条件下P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q．当四边形为菱形时，求点P的坐标．3．（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标；(3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．4．（24-25九年级上·河南开封·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A、B．设点P的横坐标为m．①当四边形为正方形时，求m的值；②根据①的结果，直接写出．时，m的取值范围．知识点八角度问题（二次函数综合）1．（24-25九年级下·福建南平·开学考试）如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C．(1)求m的值；(2)①求抛物线顶点C的坐标；②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式；(3)已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标．2．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是抛物线的顶点，求出的面积；(3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标．1．（25-26九年级上·全国·期末）已知：如图，抛物线上任意一点到定点的距离与到定直线l：的距离相等，点G坐标为，于点H，当位于y轴左侧的点C的坐标为______________时，有最大值．2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点和．(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；(2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，求n的值．3．（25-26九年级上·辽宁营口·月考）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为