26.4 实际问题与二次函数（第1课时 用二次函数刻画两变量之间的关系）导学案（解析版）

.4实际问题与二次函数（第一课时用二次函数刻画两变量之间的关系）（导学案）（1）能准确识别实际问题中的自变量与因变量；掌握从实际情境中提炼数量关系、构建二次函数解析式的方法；会根据实际意义确定自变量的取值范围；能利用解析式简单分析两个变量的变化规律.（2）经历“实际情境—提取变量—分析关系—建立模型—验证范围”的完整建模过程，掌握数学建模的基本流程，提升抽象概括、数据分析和数学转化能力.（3）感受二次函数在生活、几何、运动问题中的广泛应用，体会数学源于生活、用于生活的特点，增强数学应用意识，培养严谨的建模思维和求真务实的解题习惯.重点:分析实际问题中两个变量的变化关系，正确列出二次函数解析式；根据实际情境的限制条件，准确确定自变量的取值范围.难点:从复杂实际情境中剥离无关信息，精准提取核心数量关系，完成从实际问题到数学模型的抽象转化.结合生活、几何实际意义，全面、准确限定自变量的取值范围，理解实际函数与纯理论二次函数的区别.第一环节自主学习温故知新：创设情景，引入新课旧知回顾：（1）二次函数的一般形式是什么？自变量、因变量分别是什么？（2）二次函数的核心特征：两个变量满足自变量最高次数为2的整式函数关系.情境设问：矩形周长固定时，面积随边长的变化而变化；物体抛射过程中，高度随时间的变化而变化。这些生活中的变化关系，是否是二次函数关系？我们如何用数学式子精准刻画两个变量的关系？【学法指导】新知自研：自研课本第51-52页的内容【学法指导】自研课本P51-52页内容(一)跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？活动1.在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t²+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.)学生合作交流，完成下列问题：追问1.运动员在跳水过程中重心的高度是时间什么函数，于是最大高度问题转化为什么问题？运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题.追问2.运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，转化为什么问题？运动员在跳水过程中何时达到最高点问题，可以转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题.追问3.你能画出函数图象，结合函数图象解决问题吗？可以用描点法画出函数图象如下图，由图象知，当时，达到最大高度，h的最大值是.追问4.函数的图象能直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员的整个运动过程吗？先上升，后逐步下降.具体解答如下：对于二次函数h=-4.9t²+2.8t+11，当时，有h最大值因此，运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.（二）篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？活动2如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？学生合作交流，完成下列问题：追问1.设垂直于墙的一边长为xm，菜园面积为Sm²，探究S与x的函数关系.篱笆总长20m，垂直于墙的一边长为xm，则另一边长为：（20-2x)mS=x(20-x)=-x²+20x.追问2.自变量x的取值范围是什么？在实际问题中，函数自变量的取值应使问题有现实意义，菜园的边长应为正数，即x>0，且20-2x>0，于是自变量的取值范围是0<x<10.追问3.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？转化成什么问题？转化为当x取什么值时，二次函数S有最大值，最大值是多少的问题？具体解答如下：解：设设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的边长为（20-2x)m，菜园面积为Sm²，则S=x(20-x)=-x²+20x（0<x<10）当时，S有最大值因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积是50m².活动3.师生归纳通用建二次函数模型的步骤：①定变量：确定题目中的自变量、因变量；②找关系：根据公式、题意梳理两个变量的等量关系；③列式子：整理化简，得到二次函数解析式；④定范围：根据实际意义，确定自变量取值范围.【自研自探】自研课本P51-52页内容典型例题例1.合肥市中学生运动会中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线（如图），其中出球点B离地面的距离是米，球落点的水平距离是多少？【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线与轴的交点得出球落点的水平距离．【详解】解：令，则，解得：，（舍去），球落点的水平距离是5米．例2.如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为．(1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；(2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积．【分析】本题考查了二次函数的应用．（1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果；（2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果．【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，，故．∵．∴；（2）解：，∵，∴当秒时，S有最小值．第二环节合作探究1.讨论如何求出跳水运动中运动员起跳后多长时间达到的最高点？2.讨论篱笆围成一个矩形菜园，如何围菜园的面积最大？.拓展提升：1.阅读思考，并解答下列问题：在2022年北京冬季奥林匹克运动会上，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：）与滑行时间t（单位：）之间的关系式，测得一组数据(如下表)．滑行时间01234滑行距离01448(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，请描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；

(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数的图象的一部分？请你推测滑行距离与滑行时间的关系，并用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；(3)如果该滑雪者滑行了，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒？（参考数据：）【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：

（2）解：观察函数图象可知，s与t的关系可近似看成二次函数，

设s与t的函数关系式为，

将代入，得：

，解得：，∴s与t的函数关系式可近似地表示为；（3）解：把代入得：，

∴，解得：（舍去），

答：推测滑雪者滑行的时间是10秒．课本P52课堂练习.1.（2026淮安校考）一个小球从地面竖直向上抛出，它的运动高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）满足数量关系：小球初始速度为20m/s，重力加速度影响下，每秒高度减少5t²m.（1）请刻画高度h与时间t的函数关系，写出函数解析式；（2）求自变量t的取值范围.【详解】解：（1）根据题意分析高度变化规律：运动高度=初始速度运动高度−重力衰减高度可得关系式：h=20t-5t²整理为标准二次函数形式：h=-5t²+20t.（2）根据实际意义分析：①时间为正数：t>0；②小球落地后高度为0，不再运动，即h≥0.令h=0，则-5t²+20t=0，因式分解得：-5t(t-4)=0，解得：综上，时间t的取值范围为：0<t≤4高度与时间的函数关系为h=-5t²+20t(0<t≤4).2．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的函数解析式；（2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，顶点为(122，8)，即（设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0），代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0，解得：a=-2∴抛物线解析式为y=-2（2）能安全通过，理由如下：如图，由题意得：xA将x＝2代入y=-2则y=-2∵409∴能安全通过．知识技能：（1）核心认知：生活中动态变化的最值类、面积类、运动类双变量关系，常可用二次函数刻画.（2）核心技能：掌握实际问题二次函数四步建模法（定变量—找关系—列解析式—定范围）.（3）关键细节：实际二次函数必须结合情境，确定自变量取值范围，不可默认全体实数.思想方法：（1）数学建模思想：将复杂实际问题抽象为熟悉的二次函数数学模型，用数学知识解决实际问题.（2）数形转化思想：将文字情境的数量关系转化为代数解析式，实现文字语言到符