26.1 二次函数的概念（能力提升）（解析版）

.1二次函数的概念知识点一根据二次函数的定义求参数1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值．【详解】解：函数是关于的二次函数，，且，解方程，即，解得或，又∵，，．2．（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数．【答案】【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答．【详解】解：由题意得，解得，，故答案为：．3．（25-26九年级上·广东江门·期中）若函数是关于的二次函数，则的值为_____．【答案】【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，需满足的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此进行求解即可.【详解】解：是关于的二次函数，，且，.4．（25-26九年级上·山东烟台·期末）若是关于x的二次函数，则m的值为______．【答案】2【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义．根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件且系数条件．【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即，解方程得，所以或，又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去，因此．当时，函数为，满足二次函数定义．故答案为：2．知识点二参数分类讨论判定函数类别1．（25-26九年级上·河南信阳·月考）已知函数，m是常数．(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，求m的值．【答案】(1)；(2)且【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解；【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数，此时：；（2）当时，这个函数是二次函数，此时：且2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知函数，其中为常数．(1)当取什么值时，它为二次函数？(2)当取什么值时，它为一次函数？【答案】(1)；(2)或．【分析】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（）根据二次项系数等于零且一次项系数不等于零是一次函数，可得答案．【详解】（1）解：根据题意，得，解得；（2）解：当，即时，原函数为，是一次函数；当即时，原函数为，也是一次函数，综上所述，当或时，是一次函数．3．（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时：(1)y是x的一次函数？(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．【答案】(1)(2)，纵坐标为的点的横坐标【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键．（1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值．【详解】（1）解：（1）由题意，得，且，解得，当时，y是x的一次函数；（2）由题意，得，且，解得，当时，y是x的二次函数，当时，，解得，纵坐标为64的点的横坐标．4．（25-26九年级上·湖北咸宁·月考）已知函数．(1)若这个函数是一次函数，求m的值．(2)若这个函数是二次函数，求m的值．【答案】(1)m的值为(2)m的值为1【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，掌握二次函数和一次函数的定义是解决本题的关键．（1）根据一次函数的定义即可求解；（2）根据二次函数的定义即可求解．【详解】（1）解：∵是一次函数，∴当时，则，解得，∴，不是一次函数，当时，则，∴，综上所述，m的值为；（2）解：∵是二次函数，∴，当时，，是一次函数，不符合题意，∴当时，，综上所述，m的值为1．1．（25-26九年级上·江西宜春·月考）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点．探究1（一次函数）（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；①是“倍动点函数”，倍动点为；②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；③是“倍动点函数”，倍动点为．探究2（二次函数）（2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点．【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点【分析】本题考查了倍动点函数的定义．（1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误；（2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可．【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，，∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误；对于②：，对于任意t，当时，，∴有无数个倍动点，故②正确；对于③：当时，，，∴是倍动点，故③正确，故答案为：②③．（2）将代入，得，解得，将代入，得，令，则，即，解得，∴该函数没有其他倍动点．2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让以的速度沿NM运动，最终点A与点M重合．(1)求重叠部分面积y（单位：）关于时间t（单位：s）的解析式，并写出t的取值范围．(2)当时，求y的值．(3)当时，求t的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意AM的值的求法．（1）根据△ABC是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解；（2）代入函数解析式求值；（3）代入函数解析式计算求解．【详解】（1）解：是等腰直角三角形，重叠部分也是等腰直角三角形由题意，得，则重叠部分面积；（2）解：当时，．（3）解：当时，，解得（舍去），．3．（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．(1)线段与有什么数量关系？．①当点M坐标时，点P的坐标是；②当点M坐标时，点P的坐标是．(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线．．(3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？【答案】(1)；①②(2)见解析，抛物线(3)x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案；①根据题意画出对应的图形即可得到答案；②根据题意画出对应的图形即可得到答案；（2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案；（3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论．【详解】（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上，∴，故答案为：；①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是；故答案为：；②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是，∴，∴，即点P的坐标是，故答案为：；（2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3，故答案为：抛物线；（3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下：∵点P的坐标是，轴，∴，∵，，，∴，∵，∴得出的结论与猜想一致．4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）【问题提出】（1）如图1，正方形的边长为6，点、分别在边、上（点不与、重合，点与、重合），且，点为边的中点，分别连接、，，五边形的面积为，求与之间的函数解析式；【问题解决】（2）如图2，在菱形中，，，点是菱形内一点，连接、、，，点、分别在边、上，连接、，，设的长为，四边形的面积为．①求与之间的函数解析式；②当最小时，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）根据四边形为正方形，边长为6，得出，结合，表示出，，根据点G为边的中点，得出，根据五边形的面积求解即可．（2）①如图，过点P作，在菱形中，，，，，证明是等边三角形，得出，证明，得出，则，根据，得出，，，求出，即可求解．②根据，，得出当时，最小，此时，点共线，结合四边形是菱形，得出，求出，代入①中解析式求解即可．【详解】解：（1）∵四边形为正方形，边长为6，，，，，∵点G为边的中点，，，，，∴五