26.3 二次函数与一元二次方程（能力提升）（解析版）

26.3二次函数与一元二次方程知识点一二次函数与一元二次方程根的估算1．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数（，，，为常数）的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中的数据，判断方程的负数解的取值范围可能是（

）………………A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函数的图象与轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数的正负即可判断方程一个解的范围．【详解】解：由表可知，当时，；当时，，

方程的负数解的取值范围是，故选：B．2．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：判断方程的一个解的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系．仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解．【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，的一个解的取值范围为．故选：．3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是（

）11.11.21.31.40.040.591.16A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39【答案】B【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的近似值．【详解】解：∵时，；时，；∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间，∴方程有一个根在和点之间．故选：B．4．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）根据下表中二次函数的自变量与函数值的对应值估算一元二次方程的一个近似解的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象的性质解一元二次方程，掌握二次函数自变量与函数值的变换是解题的关键．根据，，，，由函数值的正负变换即可求解．【详解】解：由表格信息可得当时，；当时，，∴当一元二次方程的一个近似解的范围是，故选：B．知识点二利用函数图象解一元二次不等式1．（25-26九年级上·广西南宁·月考）二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与一元二次不等式的关系，能根据图象正确得到信息是解题的关键．由图象可得抛物线位于x轴下方时，所对应的自变量的取值范围即为的解集．【详解】解：二次函数图象位于x轴下方时，所对应的x的取值范围为．故选：D．2．（25-26九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与x轴的一个交点是，其对称轴为直线，结合图象得到，不等式的解集是______．【答案】或【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系，关键是利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点坐标，再结合抛物线的开口方向确定不等式的解集．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，，∴根据抛物线的对称性，可得另一个交点的横坐标为，即另一个交点为；又∵抛物线开口向上，∴不等式的解集是或；故答案为：或．3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为______．【答案】或【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．根据图象即可直接得出答案．【详解】解：二次函数的图象经过点，，由图象可知：当时，或，故答案为：或．4．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】本题考查了二次函数与不等式．根据图象可以直接回答即可．【详解】解：观察图象得：当时，二次函数的图象位于一次函数的图象的下方，∴当时，的取值范围是，故选：B．知识点三由抛物线与x轴交点情况求参数范围1．（25-26九年级上·北京·期中）已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】抛物线顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的根的判别式等于，据此列方程求解的值．【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上，∴抛物线与轴只有一个公共点，∴根的判别式满足，解得．2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知抛物线与轴有交点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与x轴交点个数与的关系求解．【详解】解：抛物线与轴有交点，．解得，故选：A．3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．运用根的判别式，代入系数，可直接求解．【详解】解：∵的图象与x轴有两个不同的交点，∴，∴．故选：D．4．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_______．【答案】【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴没有交点，则，进而求解．【详解】解：抛物线与轴没有交点，∴，解得，的取值范围是．故答案为：．1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围．【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点，令，则，即，∵二次函数有两个不相等的不动点，即有两个不相等的实数根，∴，解得：，令，该抛物线开口向上，对称轴为，∵方程的两个根都小于，∴当时，，解得：，综上所述，的取值范围是．2．（25-26九年级下·山东威海·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（

）A．图象的对称轴是B．当且仅当时，随的增大而增大C．若则D．若，则（m为任意实数）【答案】C【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D．【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线，故选项A错误，不符合题意；B、当或时，函数值随值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C、∵，∴，∵，∴由图可知，当时，，当或时，，∴当时，，∴，∴，故选项C正确，符合题意；D、∵，∴抛物线开口向下，有最大值，∵对称轴为直线，∴当时，，∴(为任意实数)，∴，∵，∴，∴抛物线开口向上，有最小值，∵对称轴为直线，∴当时，，∴(为任意实数)，∴，∴，综上，若，则（m为任意实数），故选项D错误，不符合题意．3．（2026·湖北武汉·一模）抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，下列五个结论：①；②；③若且，则；④对任意实数，不等式恒成立；⑤若一元二次方程两根为，则．其中正确的是_______（填写序号）．【答案】①②④⑤【分析】根据与轴交点坐标及得出对称轴为直线，，，抛物线开口向下，即可判断，，可得出①②正确；利用平方差公式化简得出，可得③错误；根据对称轴得出有最大值，可判断④正确；把变形为，可得、是与的交点的横坐标，根据二次函数及一次函数的性质可得，得出⑤正确；综上即可得答案．【详解】解：∵抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，∴对称轴为直线，，∴，故②正确；∵，∴抛物线的开口向下，，∵对称轴，∴，∴，故①正确；∵，∴，即，∵，∴，故③错误；∵对称轴为直线，开口向下，∴当时，有最大值，∴对任意实数，不等式恒成立，故④正确；∵，∴，∴、是与的交点的横坐标，∵与轴交于和两点，经过一、三象限，抛物线开口向下，∴，故⑤正确；综上所述：正确的结论有①②④⑤．4．（2026·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为．(1)当，求抛物线的对称轴及抛物线与坐标轴交点坐标；(2)①若该函数在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大，求a的取值范围；②设点在抛物线上，点在抛物线上，当时的最大值为，求a的值．【答案】(1)对称轴为直线，与坐标轴的交点坐标为；(2)①；②或【分析】（1）根据对称轴公式求出对称轴，分别令，，求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可；（2）①求出对称轴，根据增减性，判断对称轴的位置，列出不等式组进行求解即可；②易得，根据二次函数的性质，分3种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当时，，∴抛物线的对称轴为直线，当时，，当时，解得，∴抛物线与坐标轴的交点坐标为；（2）解：①∵，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴在对称轴的左侧，随着的