25.2.4 一元二次方程根与系数的关系 导学案（解析版）

.2.4一元二次方程根与系数的关系（导学案）(1)理解一元二次方程根与系数关系的推导过程，熟记韦达定理公式；掌握定理成立的前提条件（）；能不解方程，利用根系关系求两根和、两根积、含两根的代数式的值，能简单检验方程根的正确性、求解简单参数问题.(2)经历“计算观察—猜想归纳—严谨证明—应用拓展”的探究过程，提升从特殊到一般的归纳推理能力、代数逻辑证明能力，体会数形结合、整体代入的数学思想.(3)在自主探究与合作交流中感受数学规律的简洁性与统一性，培养严谨的数学思维习惯；通过定理的推导与应用，增强学习代数知识的兴趣，提升自主探究、合作解题的自信心.重点：一元二次方程根与系数的关系公式理解与基础应用，能够熟练利用韦达定理求解两根和、两根积及简单根系代数式的值.难点:根与系数关系的严谨推导过程；解题中精准把握定理成立的前提条件，规避无实数根时误用定理、看错系数符号的易错问题；灵活运用整体代入思想变形求解复杂的根系代数式.第一环节自主学习温故知新：情境导入，特例探究教师出示三组简单一元二次方程，要求学生快速解方程，求出两根并计算两根之和、两根之积：①②③学生独立计算后汇报结果，教师板书整理数据，引导学生观察：方程的两根和、两根积与方程的二次项、一次项、常数项之间存在什么规律？学生小组交流，自主猜想：当二次项系数为1时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项；当二次项系数不为1时，两根和、两根积与系数存在固定比例关系.【学法指导】新知自研：自研课本第15-16页的内容【学法指导】自研课本P15-16页内容(一)严谨推导，得出定理活动1：猜想的规律是否适用于所有有实数根的一元二次方程？怎样进行推导.师生共同推导：对于一般形式一元二次方程，当时，方程的两个实数根为：，.分步计算两根和、两根积：；.归纳总结：一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个实数根为，则.核心前提：方程必须有实数根，即.特例：当a=1时，方程，则.（二）理解定理，及时应用活动2.判断下列说法是否正确.方程的两根和为-2，两根积为3.（×，无实数根，不能用定理）方程的两根和为2，两根积为.（√，根据一元二次方程根与系数关系结论正确）活动3：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积:（1）；（2）；（3）.（1）（2）（3）方程化为，所以（三）灵活运用拓展提升活动4：代数式变形求值（核心应用）已知是方程的两根，不解方程，求下列代数式的值：（1）（2）学生讨论交流：结合完全平方公式、分式通分，将所求代数式整体变形为含、的形式，再代入计算.推导核心变形公式：学生独立完成解题，教师规范解题步骤，强调整体代入思想.活动5：参数解决综合问题已知方程的两根之和为1，求m的值及两根之积。学生交流讨论：1.根据根系关系得：-(m-2)=1，解得m=1；2.验证，确保方程有实数根；3.代入求两根积.【自研自探】自研课本P15-16页内容典型例题例1.已知关于x的方程有两实数根．(1)求k的取值范围：(2)设方程两实数根分别为：，，且，求实数k的值．【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程；（1）根据方程有两个实数根得出，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用表示出的值，根据条件可得到关于的方程，可求得的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，∴解得：；（2）解：∵方程两实数根分别为：，，∴，，∵∴∴解得：，（经检验都是原方程的解），∵故．例2．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可．【详解】解：设方程的另一个根为，根据题意，得，解得，∴，方程的另一个根为．例3．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，(1)求的值(2)求的值(3)求的值【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．（1）根据根与系数的关系即可得到答案；（2）根据根与系数的关系即可得到答案；（2）根据（1）（2）所求结合进行求解即可．【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴；（2）解：∵，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，∴；（3）解：∵，∴．第二环节合作探究讨论怎样推导一元二次方程根与系数的关系定理讨论应用一元二次方程根与系数的关系定理的条件是什么？讨论如何拓展应用一元二次方程根与系数的关系定理解决问题.拓展提升：1．已知关于的一元二次方程．(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，，解得：，即的取值范围是；（2），，，，，即，解得或．；．故的值为2．课本课堂练习（P16）.1．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴x1+x2=-ba=4，x1•x2故选：D．2．（2025•绥化）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）＝．【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的两个根，∴m+n＝2025，mn＝1，∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝1+2025+1＝2027，故答案为：2027．3．（2025•眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为．【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2．4．（2025•广安）已知方程x2﹣5x﹣24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2﹣4a+b的值为．【解答】解：∵方程x2﹣5x﹣24＝0中的两根分别为a、b，∴a+b＝5，a2﹣5a﹣24＝0．∴a2﹣5a＝24，∴a2﹣4a+b＝a2﹣5a+a+b，＝24+5，＝29．故答案为：29．5．（2025•泸州）若一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，则2α2﹣3α+3β的值为．【解答】解：将x＝α代入原方程得：2α2﹣6α﹣1＝0，∴2α2﹣6α＝1．∵一元二次方程2x2﹣6x﹣1＝0的两根为α，β，∴α+β＝3，∴2α2﹣3α+3β＝（2α2﹣6α）+3（α+β）＝1+3×3＝10．故答案为：10．6．（2025•南充）设x1，x2是关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2的两根．（1）当x1＝﹣1时，求x2及m的值．（2）求证：（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．【解答】解：（1）把x1＝﹣1代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2，得m2＝6，∴m=±6∴（x﹣1）（x﹣2）＝6，即x2﹣3x﹣4＝0．∴（x﹣4）（x+1）＝0．∴x1＝﹣1，x2＝4．∴x2（2）方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2可化为x2﹣3x+2﹣m2＝0．∵Δ＝9﹣4（2﹣m2）＝4m2+1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∵方程（x﹣1）（x﹣2）＝m2即x2﹣3x+2﹣m2＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝2﹣m2．∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝2﹣m2﹣3+1＝﹣m2．∵m2≥0，∴﹣m2≤0，即（x1﹣1）（x2﹣1）≤0．1.知识与技能：（1）核心定理：对于，当时，方程两个实数根为，则；（2）特殊形式：方程，则两根和为-p，两根积为q；（3）核心应用：不解方程求根系代数式的值、求方程参数、检验方程根的正确性.2.思想方法：（1）特殊到一般：从具体方程猜想规律，再推导一般公式，是代数探究的核心方法；（2）整体代入：将复杂代数式变形为两根和、两根积的整体形式代入计算，简化运算；（3）转化思想：将陌生的代数式求值问题转化为熟悉的