初中数学九年级上册“用树状图法求概率”教案

初中数学九年级上册“用树状图法求概率”教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段“统计与概率”领域明确提出，要引导学生“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而计算简单事件的概率”。本节课“用树状图法求概率”正是这一要求的具体化与深化。从知识技能图谱看，它上承“随机事件与概率”的基本概念，是古典概型计算的入门与奠基；下启用列举法（包括列表法与树状图法）解决更复杂的概率问题（如三步及以上、有放回与无放回等），是构建概率知识网络的关键枢纽，认知要求从“理解”迈向“综合应用”。从过程方法路径看，本节课是培养学生“模型思想”与“数据分析观念”的绝佳载体。树状图作为一种直观的、结构化的分析工具，其构建过程本身就是将实际问题抽象为数学模型的过程。学生需要经历“分析事件步骤—明确每一步的可能结果—有序展开所有路径—计算目标路径概率”的完整逻辑链条，这体现了数学建模的核心思想。从素养价值渗透看，通过解决诸如游戏公平性、决策优化等现实问题，学生能体会概率与生活的紧密联系，发展“应用意识”；在严谨的列举与计算中，培养思维的条理性、逻辑性与批判性，即“理性精神”。

基于“以学定教”原则进行学情诊断：学生在知识储备上，已掌握了随机事件、概率的古典定义及用直接列举法计算一步事件的概率，但面对两步及以上、结果较多的复杂事件时，常感到无从下手，易出现重复或遗漏。思维难点在于，如何从“无序枚举”过渡到“有序、分层、系统化”的列举。在过程评估设计中，我将通过前置性提问（如“如何不重不漏地分析两次摸球的所有可能？”）、观察小组探究中的列举方式、分析随堂练习中的典型错误，动态把握学生对“有序思考”的掌握程度。教学调适策略上，对于基础薄弱的学生，提供“两步操作”的实物模拟或动画演示，帮助其直观理解“步骤”与“结果”的对应关系；对于思维活跃的学生，则引导其挑战“三步或条件约束”问题，并鼓励其对比树状图法与列表法的优劣，发展其高阶思维与元认知能力。

二、教学目标

知识目标：学生能准确阐述树状图法的适用情境（涉及两个或以上步骤的随机事件），并能在具体问题中，独立、规范地绘制树状图，清晰列出所有等可能的结果，进而正确计算指定事件的概率，理解“有序、不重不漏”是该方法的核心。

能力目标：学生能通过对现实问题的抽象，将复杂事件分解为有序步骤，并运用树状图这一模型工具进行系统分析，从而提升将实际问题转化为数学问题的建模能力。在小组合作中，能够清晰地表达自己的列举思路，并对他人的树状图进行逻辑性评价。

情感态度与价值观目标：在探究概率应用（如游戏公平性分析）的过程中，学生能体会到数学的严谨性与实用性，初步形成基于数据分析进行理性决策的意识。在合作学习中，乐于分享自己的思考，并能倾听、理解同伴的不同解法。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展“模型思想”与“有序思维”。学生需要经历“识别问题结构—选择建模工具（树状图）—实施模型建构—利用模型求解—回归问题解释”的完整建模过程，从而将具体的概率问题抽象为可操作的图形化模型，养成有条理、分层次思考复杂问题的习惯。

评价与元认知目标：学生能够依据“步骤清晰、结果完整、标注明确”等标准，对自己或同伴绘制的树状图进行评价与修正。在课堂小结环节，能够反思列举法（直接列举、列表法、树状图法）各自的特点与适用条件，初步建立方法选择的策略性认知。

三、教学重点与难点

教学重点是引导学生掌握用树状图法分析涉及两个步骤的随机事件，并据此计算概率。确立依据在于，树状图法是《课程标准》明确要求掌握的基本概率计算方法，是解决古典概型问题的通用且核心的工具之一。它在学业水平考试中是高频考点，不仅考查计算，更考查学生系统化、有序化的逻辑思维能力，是体现“模型思想”这一核心素养的重要落点。掌握了树状图法，就为解决更复杂的概率问题奠定了坚实的方法论基础。

教学难点在于学生如何将实际问题中的随机过程，准确地抽象为树状图的层次结构，并确保列举的完备性（不重不漏）。成因在于，学生从理解“一步事件”到分析“多步关联事件”，认知跨度较大。他们容易混淆“步骤”与“结果”，或者在绘制时思维跳跃，导致遗漏某些路径。预设依据来自常见错误分析：学生在作业中常出现步骤划分错误、同一层级结果不等可能、或直接跳步思考等问题。突破方向是强化对事件过程的“慢镜头”分解，并通过正反例对比，深化对“等可能”与“有序”原则的理解。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态演示树状图生成过程的动画）、实物投影仪。

1.2教学资源：分层设计的学习任务单（含探究引导、分层练习题）、小组活动卡片（写有不同的概率情境问题）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习概率的古典定义及简单事件的概率计算。

2.2学具：草稿纸、彩笔（用于绘制和标注树状图）。

3.环境准备

3.1座位安排：便于四人小组讨论的布局。

3.2板书规划：左侧预留用于呈现核心问题与树状图绘制步骤，右侧作为学生作品展示与要点总结区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.创设冲突情境：“同学们，上节课我们学会了计算简单事件的概率。现在有一个新挑战：一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三个除颜色外完全相同的小球。小明先随机摸出一个，记下颜色后不放回，再摸出一个。请问，两次摸到不同颜色球的概率是多少？大家先直观感觉一下，然后试试看能不能算出来。”（给学生1分钟尝试）

2.提出核心问题：巡视后提问：“有同学很快算出来了吗？是不是感觉情况有点多，容易数乱？当我们遇到步骤不止一步，且前后结果相互影响时，直接列举好像有点力不从心了。那么，有没有一种方法，能像地图一样，清晰、完整地给我们展现出所有可能的‘路径’呢？”

3.明确学习路径：“今天，我们就来学习这样一种强大的工具——树状图法。它将帮助我们把复杂的过程一层一层地展开，让所有可能的结果一目了然。我们先从最简单的两步问题入手，逐步掌握它的画法和用法，最后再来攻克刚才这个‘摸球难题’。”

第二、新授环节

###任务一：感知“步骤”，初识树状图

教师活动：呈现基础问题：“掷一枚质地均匀的硬币，观察正面朝上（H）还是反面朝上（T）；同时掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数。问：硬币正面朝上且骰子点数为偶数的概率是多少？”首先引导学生识别事件包含两个独立的“步骤”：第一步掷硬币，第二步掷骰子。接着提问：“我们能不能用一种树枝分叉一样的图，把第一步的两种可能，以及每一种可能下第二步的六种可能，都画出来呢？”教师在黑板上示范起始点，并邀请学生口述，共同完成树状图的绘制。“看，这就是树状图，像不像一棵从树根开始不断分叉长大的树？”

学生活动：识别问题中的两个独立步骤。跟随教师的引导，口头参与构建树状图的过程，理解第一层分支代表掷硬币的结果，第二层分支代表在每种硬币结果下掷骰子的结果。直观感受所有可能结果（共12种）是如何被系统呈现出来的。

即时评价标准：1.能否准确说出事件包含哪两个独立的步骤。2.在共同构建时，能否清晰说出下一层分支是“在某种情况下”的进一步结果。3.能否从完成的树状图中快速数出所有等可能结果的总数。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图法的基本结构：树状图始于一个“根”，代表事件的起点。每一个分叉点代表一个步骤或一次选择，从该点引出的每条分支代表这一步的一种可能结果。分支的末端（树叶）表示一个完整事件的结果。

★适用情境初判：适用于涉及两个或两个以上步骤的随机事件。当步骤较多或每步结果较多时，其系统性的优势尤为明显。

▲有序思考的起点：绘制树状图的过程，强制我们进行有序思考：先考虑第一步的所有可能，再针对第一步的每一种可能，考虑第二步的所有可能。这种“层层推进”的思维模式是关键。

###任务二：合作探究，规范绘制

教师活动：发布小组探究任务（写在卡片上）：“一个盒子中装有红、白两个乒乓球，除颜色外无区别。从中随机摸出一个，记录颜色后放回摇匀，再随机摸出一个。请用树状图法分析所有可能的结果，并计算两次都摸到红球的概率。”巡视指导，关注各小组是否理解“放回”对第二步结果的影响，绘制是否规范（标注步骤、结果、概率）。挑选一份有代表性的作品（可能是规范的，也可能有典型错误）准备用实物投影展示。

学生活动：以小组为单位合作探究。首先分析事件步骤（两步，且放回），讨论树状图第一层、第二层应分别表示什么。动手绘制树状图，列出所有可能结果（红红，红白，白红，白白）。计算目标概率（P=1/4）。小组内部交流绘制的体会。

即时评价标准：1.小组绘制的树状图是否清晰地区分了两个步骤。2.是否体现了“放回”这一条件（即第二步的分支结果与第一步结果无关，仍为红、白两种）。3.是否在分支上或末端明确写出了结果。4.小组内分工是否明确，讨论是否围绕问题展开。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图的绘制规范：1.明确步骤，分层绘制。2.在分支上可以写明该结果（如“红”），也可以在末端写出最终结果序列（如“（红，红）”）。3.通常默认每种结果可能性相等，若不等需在分支上标出概率。

★“放回”与“不放回”的初步比较：在“放回”试验中，第二步的可能结果集合与第一步完全相同，树状图形状对称；而“不放回”试验中，第二步的可能结果集合受第一步结果影响而减少。这是应用树状图时必须首先判定的关键条件。

教师点评：“我看到第三组画得非常清晰，用不同颜色区分了两次摸球，而且明确标注了‘第一次’和‘第二次’。大家觉得这个方法怎么样？是不是比我们之前一个个数要清晰多了？”

###任务三：对比辨析，深化理解

教师活动：将任务二的“放回”条件改为“不放回”，提出问题：“条件变了，树状图该怎么画呢？它和‘放回’的图有什么本质区别？”引导学生独立尝试绘制。随后，将“放回”与“不放回”的两幅树状图并列投影展示。组织学生讨论：“仔细观察，两幅图在第二步的分支上有什么不同？这导致了什么结果？”引导学生从图中发现，“不放回”时，第二步可选的球少了一个，因此总结果数从4种变为2种，两次摸到红球的概率也从1/4变为0。“所以，树状图不仅能帮我们列结果，还能直观地反映条件变化如何影响整个概率模型。”

学生活动：独立尝试绘制“不放回”情境下的树状图。通过观察对比两幅图，积极参与讨论，指出“不放回”图中，若第一次摸到红球，则第二次只能摸到白球，分支数减少。理解条件改变对等可能结果总数和具体事件概率的影响。

即时评价标准：1.能否独立画出“不放回”条件下的正确树状图。2.在对比观察中，能否精准指出两图在第二层分支上的差异。3.能否将图形差异与概率计算结果的变化联系起来进行解释。

形成知识、思维、方法清单：

★核心步骤——判定每一步的可能结果集：这是绘制树状图最关键的思维活动。必须根据题意，明确每一步进行时，所有可能的结果有哪些，特别是后续步骤是否受前面步骤结果的影响。

▲易错点警示：常见错误是忽略条件（如“不放回”）对后续步骤可能结果集的改变，想当然地套用对称结构。绘制时必须“身临其境”，动态思考。

教师设问：“如果不放回，第一次摸到红球和第一次摸到白球后，第二次摸球的情况还一样吗？树状图是怎么把这种‘不一样’体现出来的？”

###任务四：归纳方法，提炼步骤

教师活动：引导学生回顾前三个任务的探究过程，共同总结使用树状图法求概率的一般步骤。可以提问：“经历了这几次画图，大家能不能总结一下，用树状图法从头到尾解决一个概率问题，要分几步走？每一步要注意什么？”将学生的回答进行梳理和精炼，板书关键步骤。

学生活动：回顾反思，小组讨论，尝试归纳步骤。可能总结出：先审题明确步骤和条件，再画图（从根开始，分层分支，标注结果），然后数出所有等可能结果数（n）和目标事件包含的结果数（m），最后用公式P=m/n计算。

即时评价标准：1.归纳的步骤是否完整覆盖了从分析到计算的全过程。2.语言表述是否清晰、有条理。3.是否强调了“审题（判断条件）”和“有序画图”这两个核心环节。

形成知识、思维、方法清单：

★用树状图法求概率的一般步骤：1.审析：明确试验涉及几个步骤，每一步有几种可能结果，前后步骤是否相互影响（放回/不放回）。2.绘图：从“根”开始，分步画出所有可能结果，确保有序、不重不漏。3.列举：数出所有等可能结果的总数n，以及事件A包含的结果数m。4.计算：应用公式P(A)=m/n求出概率。

★方法的价值：将复杂的思考过程可视化、程序化，降低了思维难度，提高了问题解决的确定性和准确性。

###任务五：挑战应用，解决导入问题

教师活动：回到导入环节留下的“不放回摸两球，颜色不同”的问题。“现在，请同学们拿起这个强大的工具，独立地、完整地解决这个一开始难住我们的问题吧！”巡视，个别辅导。请一位学生上台板演绘制树状图并计算过程。

学生活动：独立应用刚归纳的步骤解决问题。分析：两步，不放回。绘制树状图：第一层（第一次摸）：红、黄、蓝；第二层：在“红”下，可能为黄、蓝；在“黄”下，可能为红、蓝；在“蓝”下，可能为红、黄。共6种等可能结果，其中颜色不同的有6种？不，需要仔细数：实际是（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（黄，蓝）、（蓝，红）、（蓝，黄）共6种，而颜色相同的情况在此条件下不存在（因为只有一球）。故概率为6/6=1？显然不对，总数算错了。所有可能结果总数应为3×2=6种，目标事件（颜色不同）包含了其中全部6种？这引发思考，检查发现，实际上树状图末端结果应为6个，且每个等可能。摸出两球颜色不同的结果有（红，黄）、（红，蓝）、（黄，红）、（黄，蓝）、（蓝，红）、（蓝，黄），恰好6种，所以概率是1？这似乎违背直觉。重新审题：袋中三球颜色不同，摸出两个，必然颜色不同！所以概率确实是1。这是一个有趣的发现，说明树状图能帮助我们发现一些直观不易察觉的结论。

即时评价标准：1.能否正确绘制“不放回摸两球”的树状图。2.在计算总数和目标数时是否仔细。3.能否对计算结果（概率为1）作出合理的解释。

形成知识、思维、方法清单：

★树状图的检验功能：规范的树状图可以帮助我们验证对问题的直观判断，有时能得出反直觉的正确结论，体现了数学的严谨性。

▲思维进阶：对于三步或更多步骤的问题，树状图法同样适用，原理不变，只是层数增加。核心依然是“分步、有序、不重不漏”。

第三、当堂巩固训练

基础层：1.从甲、乙、丙三人中随机选派两人参加某项活动，请用树状图法列出所有可能的选择结果，并计算甲被选中的概率。（直接应用两步不放回选择模型）

综合层：2.小颖有两件不同的上衣和三条不同的裙子，她随机拿出一件上衣和一条裙子穿上。请用树状图法计算她上衣和裙子搭配恰好是红色的概率（假设一件上衣是红色，一条裙子是红色）。（情境略加生活化，需区分两个步骤的对象）

挑战层：3.（小组讨论）小明和小华用一副去掉大小王的扑克牌（52张）设计游戏：小明先后随机抽两张牌，不放回。若两张牌花色相同，则小明胜；否则小华胜。这个游戏公平吗？请用树状图思路进行分析，并说明理由。（不要求画出完整庞大的树状图，但要求阐述清楚分析步骤和判断依据，涉及多结果时的策略思考）

反馈机制：基础层和综合层练习由学生独立完成后，通过实物投影展示不同解法，重点讲评树状图的规范性和计算的准确性。挑战层问题由小组讨论后派代表汇报思路，教师引导全班关注其分析问题的逻辑框架（如何简化或思考这个步骤多、结果多的问题），而非具体计算，渗透“当结果过多时，树状图可作分析工具，计算可借助排列组合原理”的后续学习接口。

第四、课堂小结

知识整合：“今天我们共同探索了一种重要的概率工具。谁能用一句话说说树状图法的精髓是什么？”（引导学生说出“分步、有序、可视化”等关键词）。鼓励学生尝试用思维导图的形式，总结树状图法的“适用条件”、“绘制步骤”、“注意事项”和“核心思想”。

方法提炼：回顾解决概率问题的几种方法：直接枚举（结果少时）、列表法（适合两步且结果为数字等）、树状图法（适合多步，尤其步骤间有关联）。引导学生初步体会根据不同问题特征选择合适方法的重要性。

作业布置：必做（基础性作业）：课本相关练习题，重点巩固树状图的规范绘制与概率计算。选做A（拓展性作业）：设计一个可以用树状图法解决的实际情境概率小问题，并附上解答。选做B（探究性作业）：思考：树状图法和我们之前学过的列表法有什么异同？各自在什么情况下用起来更方便？写一篇简短的比较报告。

六、作业设计

基础性作业（全体必做）：

1.一个不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，除颜色外完全相同。从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，摇匀后再随机摸出一个球。请用树状图法列出所有可能结果，并计算两次摸出的球颜色相同的概率。

2.从A、B、C、D四位同学中随机选取两人担任本周的值日班长，试用树状图法列出所有可能的选法，并求出A同学被选中的概率。

拓展性作业（建议大多数学生完成）：

3.小明的书包里有语文、数学、英语三本课本，他随机从书包里先后拿出两本书（不放回）复习。请你用树状图法分析他拿书的可能顺序，并计算他第一本拿到数学书且第二本拿到英语书的概率。

4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率。试用树状图法求解，并思考与列表法相比有何优劣。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

5.（微型项目）请你为班级元旦联欢会设计一个抽奖游戏规则。要求：游戏过程包含两个步骤（例如：先转动一个转盘分区，再从对应的箱子里摸奖），需要使用树状图法来分析中奖概率，并确保游戏的公平性或设置一个合理的获奖概率（如约30%）。请写出完整的游戏规则、树状图分析过程及概率计算。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.树状图法的定义：树状图是一种利用树形分支分层列举随机事件所有可能结果的图形方法。它像一棵倒立的树，从“树根”开始，到“树枝”末端结束，每条路径代表一个可能的结果。

★2.核心适用条件：主要解决涉及两个或两个以上步骤（或环节）的随机事件的概率计算问题。当事件过程可以清晰地分解为连续的几个阶段时，尤为有效。

▲3.与列表法的比较：列表法通常适用于两步试验，且每一步的结果作为表格的行和列，呈现为矩阵形式，直观显示所有组合。树状图则能清晰展示多步过程及其层次关系，对“不放回”等条件变化的动态过程体现得更直观。两者本质都是“有序枚举”。

★4.绘制树状图的关键步骤：第一步，明确“根”（事件开始）；第二步，根据第一步的可能结果画出第一层分支；第三步，针对第一层的每一个结果，分析第二步的可能结果，画出第二层分支；依此类推。每一步分支必须穷尽所有等可能结果。

★5.“放回”与“不放回”在树状图中的体现：这是中考常见考点。“放回”意味着后续步骤的可能结果集合不受前一步影响，对应层的分支结构完全相同；“不放回”则意味着后续步骤的可能结果集合会减少（被前一步结果占用），分支结构不对称。绘图前必须首先判定。

★6.等可能性的前提：使用树状图法计算概率（P=m/n），默认每个末端结果（每条路径）是等可能的。这要求试验的每一步中，各种结果本身是等可能发生的。

▲7.计算概率：从树状图中，所有末端结果的总数即为n。事件A包含的结果数m，即满足条件的末端路径数量。计算时需仔细数清。

★8.避免重复和遗漏的保证：“有序”是树状图法的生命线。严格按照步骤分层展开，并且每一层都穷尽该步骤下所有可能结果，是确保不重不漏的唯一方法。

▲9.常见错误警示：错误一：步骤划分不清，将不是步骤的因素画入图中。错误二：忽略“不放回”条件，导致后续步骤分支画多。错误三：在计算总数m和n时，数错路径。错误四：未理解等可能性前提，滥用树状图。

★10.学科思维（模型思想）的体现：将实际随机过程抽象为“步骤-分支”的图形模型，是运用数学模型解决实际问题的典型范例。树状图本身就是一个直观的概率分析模型。

▲11.考点链接：中考中，直接考查用树状图（或列表法）求概率是基础题型。更高阶的考查会结合游戏公平性判断、方案决策等实际问题，需要考生先准确建模（画图），再计算分析。

▲12.拓展思考——三步及以上的树状图：原理完全一致，只是层数增加。例如“连续抛掷三次硬币”，树状图会有三层分支，共8种结果。这体现了方法的可扩展性。

八、教学反思

（一）目标达成度评估：本节课的核心目标是使学生掌握用树状图法分析两步随机事件并求概率。从当堂巩固训练的完成情况看，约85%的学生能独立、规范地完成基础层和综合层练习，表明知识技能目标基本达成。在挑战层问题的讨论中，多个小组能清晰阐述分析思路，虽未完整画图，但理解了树状图作为分析框架的作用，体现了模型思想的初步建立。情感目标在解决导入问题的“恍然大悟”时刻体现得较为明显，学生感受到了数学工具的力量。

（二）环节有效性分析：导入环节的“问题悬置”策略成功激发了认知需求和求知欲。“任务一”的师生共筑，降低了入门难度。“任务二”的小组探究是亮点，学生在合作中暴露了关于“放回”条件的初始理解模糊，通过组内争论和教师巡视点拨得以澄清，这比直接讲授效果更深刻。“任务三”的对比辨析是突破难点的关键，将“放回”与“不放回”并置，差异一目了然，强化了审题意识。“任务五”的回马枪设计，让学生体验了用新工具攻克旧难题的成就感，完成了学习闭环。内心独白：“学生在对比两幅图时那个惊讶的表情，说明他们真正‘看到’了条件对概率结构的影响，这个瞬间比做对十道题都有价值。”

（三）学生表现深度剖析：在小组探究中观察到明显的分层：一部分学生能迅速把握要领，成为小组的“小老师”；一部分学生能跟随操作但理解不深，需依赖同伴引导；少数学生仍停留在机械模仿画图，对“为什么这么画”理解不透。针对后两者，在巡视中进行了个别化的追问和图示解释。差异化的