教学材料《工程图》-第3章 平面

3.1平面的投影3.1.1平面表示法第3章平面北理工——画法几何及机械制图返回章首3.1.2各种位置平面的投影特性

平面可由几何元素组确定其空间位置，平面的投影可以用几何元素组的投影来表达。根据平面与投影面位置不同，可将平面分为投影面平行面、投影面垂直面及投影面倾斜面，其投影各有其特点。本节本节主要介绍平面投影及各种位置平面的投影特性。

3.1平面的投影3.1.1平面表示法1、几何元素表示法不在同一直线上的三点直线与线外一点相交两直线两平行直线平面图形第3章平面北理工——画法几何及机械制图3.1平面的投影3.1.1平面表示法2、迹线表示法北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1平面的投影3.1.2各种位置平面的投影特性一般位置平面(投影面倾斜面)：与三个投影面都倾斜的平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面{垂直一个投影面与另两个投影面倾斜的平面平行一个投影面与另两个投影面垂直的平面平面与水平投影面、正投影面、侧立投影面的倾角分别为α、β、γ。北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性1、投影面垂直面1)铅垂面（1）铅垂面的水平投影积聚成一条直线，该投影与OX、OY轴夹角分别反映平面与正投影面、侧立投影面的倾角；铅垂面投影特性：（2）平面的正面投影，侧面投影是其类似形。第3章平面北理工——画法几何及机械制图3.1.2各种位置平面的投影特性1、投影面垂直面2)正垂面（1）正垂面的正面投影积聚成一条直线，该投影与OX、OZ轴夹角分别反映平面与水平投影面，侧立投影面的倾角；（2）平面的水平投影，侧面投影是其类似形。正垂面投影特性：北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性1、投影面垂直面3)侧垂面（1）侧垂面的侧面投影积聚成一条直线，该投影与OY、OZ轴夹角分别反映平面与水平投影面、正投影面的倾角；（2）平面的水平投影，正面投影是其类似形。侧垂面投影特性：（1）垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该投影与投影面上两投影轴夹角分别反映平面与另两投影面真实的倾角；（2）另两投影是该平面类似形。北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性2、投影面平行面1)正平面（1）正平面的正面投影反映实形。正平面投影特性：（2）正平面的水平投影和侧面投影分别积聚成一条直线，并分别平行于X轴、Z轴或同时垂直于Y轴。北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性2、投影面平行面2)水平面（1）水平面的水平投影反映实形。（2）水平面的正面投影和侧面投影分别积聚成一条直线，并分别平行于X轴、Y轴或同时垂直于Z轴。水平面投影特性：北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性2、投影面平行面3)侧平面（1）侧平面的侧面投影反映实形。（2）侧平面的水平投影和正面投影分别积聚成一条直线，并分别平行于Y轴、Z轴或同时垂直于X轴。侧平面投影特性：（1）平行面在其所平行的投影面上的投影反映实形。（2）另两投影分别积聚成直线，分别平行于相应的投影轴（同时垂直同一条投影轴）。北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.1.2各种位置平面的投影特性3、投影面倾斜面（1）投影面倾斜面的三面投影都是其类似形，不反映平面的实形。（2）三面投影都不反映平面与投影面的倾角α、β、γ。倾斜面投影特性：北理工——画法几何及机械制图第3章平面例3-1如图所示，已知点A的两面投影，过A作β=45°的铅垂面。分析：作图：

（1）过a作直线ab与OX夹角为45°。45°bb′c′c

（2）过a′作直线a′b′、a′c′，连b′c′。

（3）由c′作铅垂投影连线交ab于c，即可得铅垂面的两面投影。

过点A的水平影投影作与OX夹角为45°的直线，其方向、位置不唯一，因此有多解。如图所示。北理工——画法几何及机械制图第3章平面【例3-2】如图所示，过直线CD作正垂面。分析：

作图：（1）过d作de。ee′北理工——画法几何及机械制图第3章平面（2）过e作铅垂投影连线交c′d′于e′。【例3-3】如图所示，已知点M的水平投影，过M作水平面，距H面20。

（2）在OX上方作直线∥OX，且距OX轴20。nlm′n′l′20（3）过n、m、l作铅垂投影连线，交∥OX的直线于n′、m′、l′。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析：

作图：（1）作△MNL的水平投影mnl（任意作）。

3.2平面上的直线和点3.2.1平面上取直线和点北理工——画法几何及机械制图第3章平面返回章首3.2.2平面上的特殊直线

点在平面的直线上，则点在平面上。直线过平面上两点或直线过平面上一点且与平面上另一条直线平行，则直线在平面上。本节主要介绍平面上点、平面上直线的判断方法及作图方法。

3.2平面上的直线和点3.2.1平面上取直线和点{1．平面上的直线（1）直线通过平面上的两点。直线从属于平面的几何条件是：（2）直线通过平面上的一点,且平行于该平面上的另一条已知直线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.2.1平面上取直线和点2．平面上的点若点在平面内的任一直线上，则点一定在该平面上。点从属于平面的几何条件是：北理工——画法几何及机械制图第3章平面3.2平面上的直线和点【例3-4】如图所示，在△ABC平面上作直线EF，使EF∥BC，点E在AC上距V面15。分析:

作图:

1、在OX轴下方作辅助线∥OX，且距OX轴15，交ac于e。

2、过e作铅垂投影连线交a′c′

于e′。3、作ef∥bc、e′f′∥b′c′。第3章平面北理工——画法几何及机械制图【例3-5】如图，已知平面△ABC，（1）点E在平面△ABC上，知E点的水平投影，求其正面投影；（2）已知点F的两面投影，判断点F是否在平面上。分析：作图：1、连ae交bc于1，过1作铅垂投影连线交b′c′于1′，连a′1＇并延长，过e作铅垂投影连线与a′1′延长线交于e′。2、连bf交ac于2，过2作铅垂投影连线交a′c′于2′，连b′2′，f＇不在b′2′上，则点F不在△ABC上。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析：作图：【例3-6】如图所示，已知平面图形ABCDE的正面投影和部分点的水平投影，完成平面图形的水平投影。北理工——画法几何及机械制图第3章平面1、连a′c′、ac，连b′d′、b′e′交a′c′于1′、2′。2、过1′、2′作铅垂投影连线交ac

于1、2，连b1、b2并延长，与过d′、e′铅垂投影连线交于d、e。3、连cd、de、ea，完成平面图形ABCDE的水平投影。3.2平面上的直线和点3.2.2平面上的特殊直线{1．平面上的投影面平行线投影面平行线：平面上与投影面倾角为零的线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面投影面的最大斜度线：平面上与投影面倾角为最大的线。平面上的特殊直线

面上的投影面平行线即要满足投影面平行线的投影特性，也要满足直线在平面上的投影特性。分析：作图：【例3-7】如图所示，在△ABC平面上作：（1）水平线和正平线；

(2)距H面20的水平线和距V面15的正平线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面1、过c′作c′1′∥OX轴，由1′求1，连c1即得△ABC上的水平线；2、过a作a2∥OX轴，由2求2′，连a′2′即得△ABC上的正平线。（1）分析：作图：【例3-7】如图所示，在△ABC平面上作：（1）水平线和正平线；（2）距H面20的水平线和距V面15的正平线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面1、在OX上方作直线∥OX，且距OX轴20，交a′b′、b′c′于d′、e′，由d′、e′作d、e，连de即得。2、在OX下方作直线∥OX，且距OX轴15，交ac、bc于f、g，由f、g作f′、g′，连f′g′即得。（2）3.2平面上的直线和点3.2.2平面上的特殊直线2．平面上的最大斜度线北理工——画法几何及机械制图第3章平面

平面上的最大斜度线应满足直线在平面上的投影特性，同时也要满足直线对投影面倾角为最大。1)最大斜度线与投影面平行线关系：平面对投影面的最大斜度线必定垂直平面上对该投影面的平行线；2)最大斜度线的投影特性：最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直平面上对该投影面的平行线的投影。

平面对投影面的倾角即是平面上对该投影面的最大斜度线对该投影面的倾角。平面对H面、V面、W面的最大斜度线各不相同，因此，求平面对三投影面的倾角，首先求平面对H面、V面、W面的最大斜度线，在分别求相应的最大斜度线对H面、V面、W面的倾角α、β、γ。分析：作图：【例3-8】如图所示，求△ABC平面对V面的倾角β。北理工——画法几何及机械制图第3章平面1、过A作平面上的正平线a1、a′1′；2、过b′作b′d′⊥a′1′，作bd，即为最大斜度线；3、用直角三角形法求BD对V面的倾角即为△ABC对V面的倾角β。3.3直线与平面、平面与平面的相对位置3.3.1平行问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面返回章首3.3.2相交问题3.3.3垂直问题

直线与平面、平面与平面的相对位置分为：平行、相交和垂直。本节主要介绍直线与平面、平面与平面的平行、垂直判定方法及作图方法。利用积聚性法、辅助平面法求直线与平面、平面与平面相交的交点、交线作图方法及利用重影点判断可见性。

3.3直线与平面、平面与平面的相对位置3.3.1平行问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面1.直线与平面平行

几何定理：若平面外的一条直线与平面上任意一条直线平行，则此直线一定平行于该平面。投影特性：（1）一直线与平面上任意意一条直线的同面投影平行，则直线平行于该平面。（2）一直线与投影面垂直面有积聚性的同面投影平行，则直线平行于该平面。平行问题分为：直线与平面平行、平面与平面平行。3.3直线与平面、平面与平面的相对位置

3.3.1平行问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面【例3-9】如图所示，过点E作一条距V面15mm的正平线EF∥△ABC。分析作图1、过a作a1∥OX轴，由1求1′，连a′1′；2、作ef∥a1，且ef距OX轴15，e′f′∥a′1′。·【例3-10】如图所示，过点C作一平面CDE∥直线AB。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、过c、c′作ce∥ab、c′e′∥a′b′；2、作de

、d′e′。3.3直线与平面、平面与平面的相对位置

3.3.1平行问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面2.平面与平面平行几何定理：一个平面上的两条相交直线与另一平面上的两条相交直线对应平行，则两平面平行。投影特性：（1）一个平面上的两相交直线与另一平面上的两相交直线的同面投影对应平行，则两平面平行。（2）两投影面垂直面在其垂直的投影面上有积聚性的同面投影相互平行，则两平面平行。【例3-11】如图所示，过点K作一平面∥已知平面△ABC。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、过k作kn∥bc、km∥ac；2、过k′作k′n′∥b′c′、k′m′∥a′c′。3.3直线与平面、平面与平面的相对位置3.3.2相交问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面平面与平面相交。直线与平面相交必有交点，交点是直线与平面的共有点。平面与平面相交必有交线，交线是平面与平面的共有线。求交点、交线的方法有两种：相交问题按几何元素分有两种：直线与平面相交。{辅助平面法。{投影的积聚性法1.利用投影的积聚性求交点、交线

当两相交的几何元素之一在某一投影面上的投影有积聚性，则交点或交线在该投影面上的投影可直接求得，再利用直线上取点或平面上取点、取直线的方法即可求出交点或交线在另外投影面上的投影。【例3-12】如图所示，求铅垂线与倾斜面的交点。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、求交点。标出k，连bk延长交ac于f，作f′，连b′f′交d′e′于k′。2、判断可见性。3、连线。可见画成粗实线，不可见画成虚线。f（1）垂直线与倾斜面相交【例3-13】如图3-22a所示,求倾斜线AB与正垂面CDEF的交点。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、求交点。c′d′e′f′与a′b′的交点即为k′；由k′作投影连线交ab于k。2、判断可见性。3、连线。可见画成粗实线，不可见画成虚线。（2）垂直面与倾斜线相交【例3-14】如图3-23a所示,求铅垂面与倾斜面的交线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、求交点。kl与defg重合可直接求得，K在AB上，L在AC上，求得k′、l′；交线可见，则k′l′画成粗实线。2、判断可见性。3、连线。可见画成粗实线，不可见画成虚线。(3)垂直面与倾斜面相交3.3直线与平面、平面与平面的相对位置

3.3.2相交问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面2.利用辅助平面法求交点、交线用辅助平面法求交点的步骤为：①包含已知直线作一辅助平面；②求辅助平面与已知平面的交线；③求该交线与已知直线的交点，即为已知直线与已知平面的交点。(1)倾斜直线与倾斜平面相交【例3-15】如图所示,求倾斜线DE与倾斜面△ABC相交。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、求交点。包含de作PH。作P面与△ABC的交线KL。DE与KL的交点F

即为DE与△ABC的交点。2、判断可见性。可见画成粗实线，不可见画成虚线。(1)倾斜直线与倾斜平面相交【例3-16】如图所示,求倾斜面与倾斜面相交的交线。北理工——画法几何及机械制图第3章平面分析作图1、分别包含已知直线DF、EF作辅助平面P、R⊥H。包含d′f′作PV,包含e′f′作RV。利用辅助平面P、R分别求出直线DF、EF与△ABC的交点K（k，k′）、L(l，l′)。连线kl，k′l′即为交线KL的投影。2、判断可见性。可见画成粗实线，不可见画成虚线。(2)倾斜平面与倾斜平面相交3.3直线与平面、平面与平面的相对位置

3.3.3垂直问题北理工——画法几何及机械制图第3章平面垂直问题分为：直线与平面垂直。两平面垂直。{1.直线与平面垂直

几何定理：如果一条直线垂直平面上的任意两条相交直线，则直线垂直该平面。反之，如果直线与平面垂直，则直线垂直平面上的所有直线。

投影特性：如果一条直线垂直一个平面，则