寒假作业11 绝对值及其应用（23道经典题型）-七年级数学寒假作业

完成时间：________月________日天气：寒假作业11绝对值及其应用积累运用1.绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|．2.绝对值的代数定义（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0.可用字母表示为：①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0．可归纳为①：a≥0|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数．）②a≤0|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数．）3.几何意义常见类型类型一：表示数轴上的点a到原点O的距离；类型二：表示数轴.上的点a到点b的距离(或点b到点a的距离)；类型三：表示数轴上的点a到点-b的距离(点b到点-a的距离)；类型四：表示数轴上的点x到点a的距离；类型五：表示数轴上的点x到点-a的距离.基础过关练1．数轴上点A，表示的数分别是，，它们之间的距离可以表示为（

）A． B． C． D．2．已知，若，则的值为（

）A．2 B． C．2或0 D．2或3．若，则a是（

）A．正数或0 B．0 C．负数或0 D．正数4．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则（

）A． B． C． D．5．下列符合要求的数唯一存在的是（

）A．最大的有理数 B．最大的负有理数 C．最大的负整数 D．绝对值小于3的整数6．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（

）A． B． C． D．7．古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音，如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（

）

A．10 B．8 C． D．8．如果数满足，则是（

）A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数9．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上的对应点分别是M、N、P、Q，若，则图中表示绝对值最小的数的点是__________________．

10．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．

(1)如果点A，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______；(2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？11．阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是____________；(2)若，则________；(3)满足的有理数x有_______个．12．阅读下列材料，完成后面任务：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．(1)． (2)．能力提升练13．已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列四个结论中：①；②；③；④，正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如果，则的值为________________．15．以下说法正确的是____________．①绝对值等于它本身的数是0和1；②如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负；③已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；④已知时，那么的最大值为8，最小值为；⑤若且，则代数式的值为．16．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．

(1)_______0，_______0，______0（请用“”或“”填空）；(2)化简：．17．我们知道，数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．请根据上述结论，解答下列各题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示x，两数的点之间的距离为2，那么x的值为______；(3)在数轴上，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为2．现有一只蚂蚁从点P出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点A，点B的距离之和是5?18．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b．则A，B两点间的距离可记作或．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为，0，6．点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为．(1)请直接写出结果，_____；_____．(2)设点P在数轴上对应的数为x．①若x与之间的距离为5，那么______；②若点P为线段上的一个动点，求的值．19．已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是．(1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为_______；(2)可以表示数轴上有理数x与有理数________所对应的两点之间的距离；若，则______；(3)若，将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；(4)在题（3）的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间离相等？若能，请写出移动方案．20．我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题：(1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______；(2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数；(3)如果，，且a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点之间最大的距离是多少？最小的距离是多少？21．我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的，的几何意义就是：数轴上数a和数b对应的两点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．如图数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

(1)点M、N之间的距离可以表示为_______，通过计算可以得到线段的长度是_______；(2)根据几何意义，表示_______（填“P、M”或“P、N”）两点之间的距离；如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值为_______；(3)若点P到点M的距离，求出x的值；(4)当点P到点M、点N的距离之和是20时，直接写出x的值．拓展培优练22．（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______．（2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．

（3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？

23．已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是a，b，c，其中a，c满足，a，b互为相反数（如图1）．

(1)求a，b，c的值；(2)如图1，若点A，B，C分别同时以每秒4个单位长度，1个单位长度和个单位长度向左运动，假设经过t秒后，点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间距离表示为，若的值始终保持不变，求m的值；(3)如图2，将图1中的数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中A，C两点在“折线数轴”上的距离为56个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发仍以（2）中的每秒m个单位长度的速度沿“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等．

寒假作业11绝对值及其应用参考答案基础过关练1．数轴上点A，表示的数分别是，，它们之间的距离可以表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】点A，表示的数分别是，，它们之间的距离为：．故选．2．已知，若，则的值为（

）A．2 B． C．2或0 D．2或【答案】C【解析】，，、、三数中只有1负2正，，，，，，只有为负数时，，或为负，其它为正数时，，的值为0或2．故选C．3．若，则a是（

）A．正数或0 B．0 C．负数或0 D．正数【答案】C【解析】，是负数或者0，故选C．4．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由数轴可得：，A.不成立，故不符合题意；B.不成立，故不符合题意；C.成立，故符合题意；D.不成立，故不符合题意；故选C．5．下列符合要求的数唯一存在的是（

）A．最大的有理数 B．最大的负有理数 C．最大的负整数 D．绝对值小于3的整数【答案】C【解析】A、最大的有理数不是唯一存在，故不符合题意；B、最大的负有理数不是唯一存在，故不符合题意；C、最大的负整数为，则是唯一存在，故不符合题意；D、的绝对值都小于3，则不是唯一存在，故不符合题意；故选C．6．生产厂家检测4个足球的质量，结果如图所示，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最标准的足球是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴最标准的足球为选项C的足球；故选C．7．古筝是中国独特的民族乐器之一，为了保持音准，弹奏者常使用调音器对每根琴弦进行调音，如图所示是某古筝调音器软件的界面，指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音（指针指在0处为标准音）的是（

）

A．10 B．8 C． D．【答案】C【解析】由题意可知，指针指向负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，选C或D，又指针越接近0就越接近标准音，，，，更接近0，故选C．8．如果数满足，则是（

）A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数【答案】B【解析】∵，∴，即是非负数，故选B．9．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上的对应点分别是M、N、P、Q，若，则图中表示绝对值最小的数的点是__________________．

【答案】N【解析】∵，∴M、Q关于原点对称，∴原点在N、P之间，∵点N到点M的距离大于点P到点Q的距离，∴，∴，∴图中表示绝对值最小的数的点是N，故答案为：N．10．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．

(1)如果点A，表示的数互为相反数，那么点表示的数是______；(2)如果点，表示的数互为相反数，那么______；哪一个点表示的数的绝对值最小？【解析】（1）∵点A、B表示的数是互为相反数，∴数轴上原点的位置如图，

故点C表示的数是．（2）∵点B、E表示的数是互为相反数，∴点C表示的数为0，点D表示的数为，∴，∵0的绝对值是0，为最小，∴C点表示的数的绝对值最小．11．阅读下面的材料：在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示6与的两点之间的距离是______________________；(2)若，则____________________；(3)满足的有理数x有____________________个．【解析】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是；故答案为：15；（2）表示与3的距离为3，则或6，故答案为：0或6；（3）表示与的距离与它与3的距离之和为5，则，这样的有理数有无数个，故答案为：无数．12．阅读下列材料，完成后面任务：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离．例1：已知，求的值．解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以的值为或2．例2：已知，求的值．解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以的值为3或．任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值．(1)．(2)．【解析】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为和8，∴x的值为或8．（2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和，∴x的值为8或．能力提升练13．已知a，b，c的大小关系如图所示，则下列四个结论中：①；②；③；④，正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】∵，，∴，，故①不正确，③正确．∵，，∴，∴，故②正确．∵，，∴，∴，故④正确．故选C．14．如果，则的值为________________．【答案】2【解析】∵，∴解得：∴，故答案为：2．15．以下说法正确的是____________．①绝对值等于它本身的数是0和1；②如果两个数的和为0，那么这两个数一定是一正一负；③已知a，b，c是非零有理数，若，则的值为0或；④已知时，那么的最大值为8，最小值为；⑤若且，则代数式的值为．【答案】③④⑤【解析】①绝对值等于它本身的数是非负数，故①不正确，不符合题意；②，故②不正确，不符合题意；③∵，∴a、b、c两负一正，当a和b为两个负数时：，当a和b为一正一负时：，故③正确，符合题意；④∵，∴，当时，，∴当时，取最大值，，当时，，当时，，故④正确，符合题意；⑤∵且，∴a和b互为相反数，∴，则，∴，，∴，∴，故⑤正确，符合题意；综上：正确的有③④⑤，共3个，故答案为：③④⑤．16．已知a，b，c在数轴上的位置如图，且．

(1)_______0，_______0，______0（请用“”或“”填空）；(2)化简：．【解析】（1）由图可知：，，∴，，，故答案为：，，；（2）∵，，，∴=．17．我们知道，数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作．请根据上述结论，解答下列各题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示x，两数的点之间的距离为2，那么x的值为______；(3)在数轴上，点P表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为2．现有一只蚂蚁从点P出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点A，点B的距离之和是5?【解析】（1）解：数轴上表示3和7的两点之间的距离是，数轴上表示2和的两点之间的距离是；故答案为：4；7；（2）解：∵数轴上表示x，两数的点之间的距离为2，∴，解得：或；故答案为：或．（3）解：设经过t秒时，蚂蚁所在的点到点A，点B的距离之和是5，∵点P表示的数为，一只蚂蚁从点P出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，∴蚂蚁在数轴上表示的数为，根据题意得：，整理得：，①时，，解得：；②时，，此方程无解；③时，，解得：；综上分析可知，t值为2或4.5．18．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b．则A，B两点间的距离可记作或．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为，0，6．点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为．(1)请直接写出结果，_____；_____．(2)设点P在数轴上对应的数为x．①若x与之间的距离为5，那么______；②若点P为线段上的一个动点，求的值．【解析】（1）解：∵在数轴上点A，B，C表示的数为，0，6，∴，，故答案为：2；8；（2）解：①∵与之间的距离为5，∴，∴或，解得：或；②∵点为线段上的一个动点，∴，∴．19．已知点A、B在数轴上分别表示数a，b，若A、B两点间的距离记为d，则d和a，b之间的数量关系是．(1)数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为_______；(2)可以表示数轴上有理数x与有理数________所对应的两点之间的距离；若，则______；(3)若，将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，则B点与数______表示的点P重合；(4)在题（3）的条件下，点A为定点，点B、P为动点，若移动点B、P中一点后，能否使相邻两点间离相等？若能，请写出移动方案．【解析】（1）解：数轴上有理数与有理数所对应两点之间的距离可以表示为，故答案为：；（2）∵，∴可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；∵，∴或，方程无解，解得到，故答案为：，；（3）∵，将数轴折叠，使得A点与表示的点重合，∴点A与表示的点的中间那个点表示的数是，∵，∴B点与表示的点P重合．故答案为：；（4）解：能，点A、B、P在数轴上表示如图，

∴点B向右移动个单位，或点B向右移动8个单位，或点B向左移动7个单位，或点P向右移动个单位，或点P向右移动个单位，或点P向左移动个单位，都能使相邻两点间距离相等．20．我们知道，在数轴上表示数a到原点的距离，这也是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A，B分别用a，b表示，那么A，B两点之间的距离．根据数轴和绝对值的知识解答下列问题：(1)数轴上4和1之间的距离是______，和3之间的距离是______；(2)在数轴上如果表示x的数和之间的距离是2，求x表示的数；(3)如果，，且a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点之间最大的距离是多少？最小的距离是多少？【解析】（1）解：4和1之间的距离是，和3之间的距离是，故答案为：3，5；（2）解:由题意得：，即，或，或，故答案为：或；（3）解：，，或，或，或1，或2，当A表示9，B表示时，，当A表示9，B表示2时，，当A表示1，B表示时，，当A表示1，B表示2时，，，A，B两点之间最大的距离是13，最小的距离是1．故答案为：13，1．21．我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离．类似的，的几何意义就是：数轴上数a和数b对应的两点之间的距离．比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3．如图数轴上两点M、N对应的数分别为、4，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

(1)点M、N之间的距离可以表示为_______，通过计算可以得到线段的长度是_______；(2)根据几何意义，表示_______（填“P、M”或“P、N”）两点之间的距离；如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值为_______；(3)若点P到点M的距离，求出x的值；(4)当点P到点M、点N的距离之和是20时，直接写出x的值．【解析】（1）解：∵轴上两点M、N对应的数分别为、4，∴点M、N之间的距离可以表示为，故答案为：；12．（2）解：根据几何意义，表示表示P、N两点之间的距离；∵点P到点M、点N的距离相等，∴点P一定在点M与点N之间，∴，解得：，故答案为：P、N；．（3）解：∵点P到点M的距离，∴，∴或，解得：或．（4）解：∵点P到点M、点N的距离之和是20，∴，即，当时，上式为：，解得：；当时，上式为：，此方程无解；当时，上式为：，解得：；综上所述，x的值为：或8．拓展培优练22．（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______．（2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．

（3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？

【解析】（1）．（2）PA的值为，的值为，则．如图，当点P在点A左侧时，．

如图，当点P在点B右侧时，．

如图，当点P在点A，