八年级数学下册 23.2 平行四边形（第1课时）（原卷版）

第第页23.2平行四边形（第1课时）梯形、平行四边形1.梯形、平行四边形的定义定义有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形.教材注解：也有一些书中定义的梯形不包括平行四边形.注意：教材注解中中的这句话，看似与前面的说法矛盾，但这个一些书中的定义是只有一组对边平行的四边形叫作梯形，因此它并不矛盾。希望同学们遇到此类题注意区分。2.梯形的基本元素在梯形中，把一组平行的边称为梯形的底，另外的两边称为梯形的腰，如图23-2-2(1)所示.图23-2-23.平行四边形的表示平行四边形用符号“▱”表示，如图23-2-2(2)所示的平行四边形ABCD,记作“▱ABCD”二、平行四边形的性质1.定义性质（即由定义得到的性质）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。文字语言：已知四边形ABCD是平行四边形，则AB平行CD，AD平行BC.符号语言：已知▱ABCD，则AB∥CD，AD∥BC.2.平行四边形的性质定理1定理1平行四边形的对边相等.符号语言：已知▱ABCD，则AB=CD，AD=BC.定理证明如图23-2-3,已知：四边形ABCD是平行四边形.求证：AB=CD,BC=AD.如图23-2-4,连接AC.因为四边形ABCD是一个平行四边形，由平行四边形的定义，得AB//DC,AD//BC.所以∠1=∠2,∠3=∠4.又因为AC是△ABC和△CDA的公共边，所以△ABC≌△CDA.由此可得AB=CD,BC=AD.2.平行四边形的性质定理2定理2平行四边形的对角相等.请自行证明该定理.（提示：可根据平行线的性质证明，也可构造全等三角形证明，其他合理即可）三、两条平行线之间的距离1.两条平行线之间的距离如图23-2-6,直线l1、l2平行，A是直线l1上任意一点，AB⊥l₂,垂足为B,线段AB的长度就是直线l1、l2之间的距离.同理，线段AB的长度也是直线l1、l2之间的距离.两条平行线之间的距离性质：直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度都相等。（通俗的讲：两条平行线之间的距离处处相等）性质证明如图23-2-6,已知直线l₁//l₂,A、C是直线l₁上两点，AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D.试问：AB与CD是否相等?为什么?AB=CD.证明如下：∵AB⊥l₂,CD⊥l₂,垂足分别为B、D,∴∠ABD=∠CDB=90°.∴ABD+∠CDB=180°.∴AB//CD.又∵l₁//l₂,∴四边形ABDC是一个平行四边形.∴AB=CD(平行四边形的对边相等).思考：“两条平行线之间的距离”与前面已经学过的“点与点之间的距离”“点到直线的距离”有何区别与联系?参考：三种距离本质上都是点与点之间的距离：点与点之间的距离是连接两点的线段长度，是基础概念；点到直线的距离是该点到直线上垂足的两点间距离，即点与点之间的距离的最小值；而两条平行线之间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的点到直线的距离，因此也归结为点与点之间的距离。‌四、四边形具有不稳定性我们知道三角形具有稳定性，那么四边形也具有稳定性吗?如图23-2-7,用4根木条制作四边形的木框，随意拉动木框的边，它的形状和大小会发生变化吗?我们发现，四边形的边长确定后，其形状和大小不能完全确定，这说明四边形具有不稳定性.题型1：平行四边形的性质的辨析1．下列属于平行四边形性质的是（

）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角互补 D．对边平行2．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相平分 B．两组对边分别平行C．对角线互相垂直 D．内角和为3．如图，在中，对角线、相交于点，且，则下列关系不正确的是（

）A．B． C． D．题型2：根据平行四边形的性质求角度Ⅰ4．在平行四边形中，，度，度．5．在平行四边形中，已知，则等于(

)A． B． C． D．6．在平行四边形中，已知，则的度数为（

）A． B． C． D．题型3：根据平行四边形的性质求角度Ⅱ7．如图，四边形是平行四边形，，，则的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，在平行四边形中，，平分，则的度数是．9．如图，在平行四边形中，于点，若，则为（

）A． B． C． D．10．如图，在中，，，于E，则．题型4：根据平行四边形的性质求长度11．如图，在中，，则的值为（

）A． B． C． D．12．如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（

）A．1 B．2 C． D．313．如图，在平行四边形中，，，平分线交于E，交的延长线于点F，则（

）A． B． C． D．题型5：求角度中的比值问题14．已知中，，则的大小是（

）A． B． C． D．15．在平行四边形中，若∠A与∠B的度数之比为，则的度数为（

）A． B． C． D．16．在中，，则、的度数分别是（

）A．， B．， C．， D．，17．在中，，则．18．在中，的度数比值可能是（

）A． B．C． D．题型6：周长问题19．如图，在平行四边形中，的周长为12，则的周长为．20．已知平行四边形的周长为，，则（）A． B． C． D．21．如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（）A． B． C． D．题型7：面积问题22．在中，，，高为4，则面积为（

）A．20 B．15 C．12 D．以上都有可能23．如图，的对角线，相交于点，若，则的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．1224．如图，在中，于点，于点，若平行四边形的周长为，，，则平行四边形的面积等于（

）A．32 B．48 C．60 D．6425．如图，点A在平行四边形的对角线上，图中两个阴影三角形的面积分别为，，则，的大小关系是．题型8：平行四边形的综合应用26．如图，的对角线与相交于点，，，，则为（

）A． B． C．3 D．27．如图，已知，于点E，，，，，则的长为．28．如图，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的位置可以在（）A．① B．② C．③ D．④29．已知平行四边形的一条边长为，下列各组数能分别作为它的对角线长的是（

）A．和 B．和8 C．和 D．和30．如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（）A． B．C． D．31．如图，的对角线，相交于点O，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．题型9：平行线之间的距离及其应用32．如图，已知，，，则与间的距离是．33．已知一点到两条平行线的距离分别是，，则这两条平行线之间距离是．34．，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为．35．如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝．题型10：解答证明题36．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O．求证：．37．已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，求证：38．如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：．39．已知：在中，、是对角线上两点，连接、，若，求证：40．如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证．41．如图，在中，，，的面积为6，则求的面积．42．如图，在中，E，F是对角线上的两点，．求证：(1)；(2)43．如图，在边长为1的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画出格点四边形．

(1)在图1中画一个，使．(2)在图2中画一个，使其面积为10．44．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．(1)求证：；(2)若，，，求四边形的周长．45．如图，在中，对角线和交于点O，点E、点F分别为的中点，连接．(1)求证：；(2)已知，．若，求的面积．一、单选题1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是(

)A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（

）A．B．C．D．3．已知平行四边形的周长为，，则（）A． B． C． D．4．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质：②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（

）．A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5．在中，下列结论错误的是（

）．A． B． C． D．6．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题7．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为．8．在平行四边形中，，则的度数为．9．如图，在中，，，平分交边于点E，则的长为．10．如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为、．

11．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有．（填序号）12．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为．三、解答题13．如图，在中，，求和的度数．14．如图，四边形是平行四边形．求：（1）和的度数；（2）和的长度．15．如图，在中，的平分线交于E点，且，．(1)求的周长；(2)连结，若，求的面积．16．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点.（1）求证:；（2）若，求的长．17．如图，在平行四边形中，点E为